Теоретические обоснования
Докажем некоторые утверждения, упомянутые в первой части параграфа.
Теорема 2.6. Сокращенная
ДНФ функции
задает функцию
.
Доказательство. Пусть на некотором
наборе
функция равна 1.
Тогда найдется входящая в СДНФ функции
элементарная конъюнкция, которая на
этом наборе также равна 1.
Значит, эта элементарная конъюнкция -
импликанта функции. Удалением части
букв из этой импликанты можно получить
простую импликанту, которая также будет
обращаться в 1
на наборе
.
Поскольку всякая простая импликанта
входит в сокращенную ДНФ, то и сокращенная
ДНФ функции
на этом наборе обратится в 1.
С другой стороны, если сокращенная ДНФ
функции обращается на некотором наборе
в 1, то хотя бы
одна из образующих ее простых импликант
на этом наборе также равна 1.
А если импликанта на наборе равна 1,
то и функция на этом же наборе равна 1,
т.е.
.
Таким образом, на всяком наборе, на
котором функция равна 1, ее сокращенная
ДНФ равна 1. И,
наоборот, на всяком наборе, на котором
сокращенная ДНФ функции равна 1,
функция также равна 1.
Это означает, что значения сокращенной
ДНФ функции
и самой функции
совпадают при любых значениях
переменных
.
■
Теорема 2.7. Минимальная ДНФ функции является дизъюнкцией простых импликант этой функции.
Доказательство. Пусть
- произвольная минимальная ДНФ функции
.
Поскольку
задает
,
то все входящие в
элементарные конъюнкции являются
импликантами
.
Надо доказать, что они простые. Будем
рассуждать от противного. Предположим,
что в
входит импликанта
,
не являющаяся простой. Опустив часть
букв, выделим из
простую импликанту
.
Обозначим
дизъюнктивную нормальную форму,
полученную из
заменой
на
.
Докажем, что
задает функцию
.
Запишем
в виде
.
Тогда
.
Пусть на некотором наборе
равна 1. Тогда,
поскольку
,
то на этом наборе
или
равна 1. Если
равна 1, то и
равна 1, т.е. на
наборе
или
равна 1, откуда
равно 1. С другой
стороны, если на некотором наборе
равна 1, то хотя
бы одна из образующих ее импликант на
этом наборе также равна 1,
а значит, и
.
Таким образом,
содержит меньшее число букв, чем
,
и при этом реализует функцию
,
что противоречит предположению о
минимальности исходной ДНФ. ■
Теорема 2.8. Минимальная ДНФ функции является тупиковой ДНФ.
Доказательство. Будем рассуждать от противного. Предположим, что найдется минимальная ДНФ, которая не является тупиковой. Тогда из этой ДНФ можно удалить хотя бы одну простую импликанту так, чтобы образовавшаяся при этом новая ДНФ по-прежнему реализовала функцию. Но эта новая ДНФ будет иметь меньшую сложность, чем исходная минимальная ДНФ. А это противоречит тому, что сложность минимальной ДНФ наименьшая из возможных. ■