Теоретические обоснования

В первой части параграфа были приведены без обоснования несколько утверждений. Вернемся к их обсуждению.

Теорема 2.2 (принцип двойственности). Если формула задает функцию , то формула , полученная из нее заменой символов функций на символы двойственных к ним функций , задает функцию, двойственную к функции .

Доказательство. Доказательство проведем индукцией по структуре формул.

Базис индукции. Пусть . Тогда имеет вид , где - переменная из , или , где - константа из . В первом случае двойственная формула имеет вид , во втором - . В обоих случаях двойственная формула реализует функцию, которая двойственна к функции, заданной формулой .

Индуктивный переход. Пусть утверждение верно для любой формулы глубины, меньшей либо равной .

Произвольная формула глубины в соответствии с индуктивным определением формулы может быть записана в виде , где - функция из , , ,…, - формулы такие, что . Причем, согласно определению функции, заданной формулой, всем формулам сопоставлены соответственно некоторые функции , ,…, , а формуле - функция , значение которой на каждом наборе находится как значение функции на наборе .

Используя определение двойственной функции, зададим формулой функцию, двойственную к :

.

Поскольку глубина каждой из формул не превышает , то для этих формул выполнено предположение индукции, и, значит, функции реализуются формулами, двойственными к формулам , т.е. (). Но тогда , и, значит, . ■

Для доказательства утверждения о представлении функций в виде СДНФ нам понадобится следующая теорема.

Теорема 2.3 (о разложении функции по переменным). Каждую булеву функцию при любом можно задать формулой

(здесь дизъюнкция берется по всевозможным наборам значений переменных ).

Доказательство. Напомним, что Следовательно, , , , , т.е. тогда и только тогда, когда .

Возьмем произвольный набор значений переменных и найдем на этом наборе значение функции, заданной доказываемой формулой:

.

Поясним последний переход: если , то хотя бы при одном и, значит, , следовательно, .

Таким образом, имеем:

.■

В качестве примера приведем разложение функции :

а) по переменной :

;

б) по переменным :

.

Теорема 2.4 (о задании функции в виде СДНФ). Каждую булеву функцию от переменных, за исключением тождественно равной нулю, можно задать формулой

.

Доказательство. Запишем разложение функции по всем переменным и преобразуем его:

. ■

Теорема 2.5 (о задании функции в виде СКНФ). Каждую булеву функцию , не равную тождественно единице, можно задать формулой

.

Доказательство. Представим функцию , двойственную к , в виде СДНФ:

.

По принципу двойственности равенство сохранится, если перейти в левой части к двойственной функции, а в правой - к двойственной формуле. Переход к двойственной формуле означает замену всех конъюнкций дизъюнкциями, и наоборот (при этом выражения остаются неизменными, поскольку они представляют собой либо , либо ):

.

Так как , формула доказана. ■

12