7. Задание

Решить примеры 1aи4методом конечных разностей. Сравнить решения с аналитическими.

8. Численные методы 3. Метод Ритца

9. Краткие теоретические сведения

В методе Ритца решение вариационной задачи ищется в виде линейной комбинации известных, заданных заранее функций (они называются базисными). После подстановки такой линейной комбинации в функционал он становится функцией неизвестных коэффициентов этой комбинации. Коэффициенты подбираются так, чтобы функционал принимал экстремальное значение. Таким образом, вариационная задача сводится к задаче исследования на экстремум функции нескольких переменных.

Линейная комбинация базисных функций должна удовлетворять граничным условиям при любых значениях коэффициентов. Если граничные условия однородные (нулевые), то и базисные функции должны удовлетворять однородным граничным условиям. Если же граничные условия неоднородные, то можно применить следующий приём. Будем искать решение в виде линейной комбинации базисных функций, удовлетворяющих однородным граничным условиям, но прибавим к этой комбинации какую-либо функцию, удовлетворяющую заданным граничным условиям. Коэффициент при этой функции не варьируется, он всегда равен 1. Таким образом, полученная линейная комбинация при любых значениях варьируемых параметров будет удовлетворять заданным граничным условиям.

10. Примеры выполнения заданий

11. Пример 13a

Решить методом Ритца пример 1a. Взять базисные функции: одну полуволну синуса и две полуволны синуса. Сравнить решение с аналитическим.Построить графики.

Будем искать решение в виде

,(13.0)

где ₀(x) – любая функция, удовлетворяющая граничным условиям, а₁(x) и₂(x) – базисные функции, удовлетворяющие однородным (нулевым) граничным условиям. Выберем₀(x) в виде прямой, соединяющейграничные точкиM₁(x₁,y₁) иM₂(x₂,y₂)

.(13.0)

Базисные функции:

(13.0)

Составим программу для этого примера на основе программы для примера1a. Вводим исходные данные. Решаем пример1a.

Рис. 13.24. Решение примера 13a

Ответ.Решение задачи методом Ритца имеет вид

.(13.0)

График этого решения показан на рис.13.1 сплошной красной линией. Штриховая синяя линия – аналитическое решение.

12. Пример 13b

Решить методом Ритца пример 4. Взять в качестве базисных функций одну и две полуволны синуса по обеим координатам.Построить график. Сравнить с решением МКР 12bи МКЭ4. Удачно ли подобраны базисные функции?

Будем искать решение в виде

,(13.0)

где ₀(x,y) – функция, удовлетворяющая граничным условиям, а₁₁(x,y),₂₁(x,y),₁₂(x,y) и₂₂(x,y) – базисные функции, удовлетворяющие однородным (нулевым) граничным условиям. В качестве ₀(x,y) возьмём заданное граничное условие:

.(13.0)

Базисные функции _ik(x,y) – это функции, имеющие i полуволн синуса в направлении x и k в направлении y.

(13.0)

Используем программы для решения примеров13aи4. Описываем символические константы и вводим исходные данные.

Рис. 13.25. Решение примера 13b

Ответ.Решение задачи методом Ритца имеет вид

(13.0)

Решение показано на рис.13.2. Оно хорошо согласуется с результатами решения примеров 4и12b. Значит, выбор базисных функций (13.7) оказался удачным.

13. Задание

Решить примеры 1aи4методом Ритца. Решение примера 1aсравнить с аналитическим. График решения примера4сравнить с графиком решения этого примера МКР и МКЭ. Удачно ли выбраны базисные функции?