Электротехника+лекции

Рис. 2.16. Изображение вектора на комплексной плоскости

π/2 = 90° (умножение на j сводится к повороту вектора против часовой

Показательная форма записи комплексного числа получается из формулы Эйлера:

cosα ± j·sinα = e±jα

Комплексное число A = a1 – ja2 = ae-jα называется комплексно-сопряженным

числу А = a1 + ja2 = aejα . Произведение компексно-сопряженных чисел – число действительное, равное квадрату их модуля:

А А аe j ae j a2 .

X – реактивное сопротивление цепи, которое может быть индуктивным или емкостным;

z – модуль комплексного сопротивления;

φ – угол сдвига по фазе.

Рис. 2.18. Цепь переменного тока с комплексным сопротивлением Z

2.12. Комплексная проводимость

Под комплексной проводимостью Y понимают величину, обратную

комплексному сопротивлению Z:

проводимостей (рис. 2.19). Треугольник проводимостей – графическая интерпретация связи между модулем полной проводимости у и ее активной и

реактивной составляющими: y g 2 b2 .

Рис. 2.19. Треугольник проводимостей

При использовании комплексной проводимости закон Ома записывается следующим образом:

I= U ∙Y .

2.13.Активная, реактивная и полная мощность цепи переменного

тока

Под активной мощностью Р понимают среднее значение мгновенной

мощности р за период Т:

где: и = Umsin(ωt + φ) ; i = Imsinωt.

Активная мощность – это энергия, которая определяется в единицу времени

(предполагается, что в 1 секунду укладывается целое число периодов Т) в

резисторе R:

P = I2R [Вт].

Реактивная мощность Q = UIsinφ [вар].

Если sinφ > 0, то и Q > 0, если sinφ < 0, то Q < 0.

Полная мощность определяется из треугольника мощностей (рис. 2.20),

который подобен треугольнику сопротивлений:

S P2 Q2 или S = U·I [В·А].

Рис.2.20. Треугольник мощностей

Из треугольника мощностей получаем:

tg QP , sin QS , cos PS .

2.14. Комплексная форма записи мощности

Допустим, что к электрической цепи (см. рис. 2.18) подведено напряжение

Рис. 2.21. Комплексные напряжение и ток

Комплексная мощность

S U I Ue j 1 Ie j 2 UIe j se j s cos js sin P jQ ,

где: I – сопряженный комплекс тока;

s – модуль комплексной мощности.

Для действующих значений

U UR2 (UL UC )2 (IR)2 (IX L IXC )2 I R2 ( X L XC )2 ,

где: XL – XC = X – реактивное сопротивление цепи.

Ток в цепи определяется по закону Ома:

или в комплексной форме записи:

U

I Z ,

где: U – напряжение, приложенное к цепи;

Z – комплексное сопротивление цепи.

В данной цепи возможны следующие три варианта.

1. Индуктивное сопротивление больше емкостного XL > ХC , следовательно, UL > UC .

Векторная диаграмма для этого случая представлена на рис. 2.23, а. Вектор

Рис. 2.23. Векторные диаграммы для цепи с последовательным соединением

R, L, C: a – XL > XC ; б – XL < XC ; в – XL = XC

2.Индуктивное сопротивление меньше емкостного ХL < ХC,

является активно-емкостной.

3. Индуктивное сопротивление равно емкостному XL = Хс – условие резонанса напряжений (рис. 2.23, в).

Реактивное сопротивление цепи X = XL – Хс = 0, полное сопротивление равно активному Z = R. Ток в цепи определяется величиной активного

Явление резонанса напряжений широко используют в различных электрорадиотехнических устройствах.

2.17. Цепь переменного тока с параллельным соединением элементов

Основной схемой соединения приемников переменного тока является параллельная схема. На рис. 2.24 показано соединение двух приемников – катушки индуктивности и конденсатора. Каждый приемник характеризуется активным и реактивным сопротивлениями. Напряжение на приемниках одинаковое и равно сетевому U.

Анализ электрического состояния цепей с параллельным соединением приемников производится следующими методами.

Рис. 2.24. Цепь переменного тока с параллельным соединением R, L, С

1. Комплексный метод

Токи в ветвях схемы определяются по закону Ома в комплексной форме записи:

где: X1 = 2πfL1 – реактивное (индуктивное) сопротивление первой ветви

Z1 – комплексное сопротивление 1-й ветви;

вектора напряжения U , который откладываем по действительной оси. Далее

откладываем токи I1 , I2 , I под расчетными углами φ1 φ2, φ. Проекции токов