Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
50
Добавлен:
29.03.2016
Размер:
188.29 Кб
Скачать

Задача

Две длинные параллельные нити равномерно заряжены каждая с линейной плотностью = 0,50 мкКл/м. Расстояние между нитями = 45 см. Найти максимальное значение модуля напряженности электрического поля в плоскости симметрии этой системы, расположенной между нитями.

Решение.

Найдем чему равен модуль напряженности поля бесконечной равномерно заряженной нити на расстоянии r от нее. Для этого воспользуемся теоремой Гаусса. Поскольку модуль вектора напряженности в каждой точке зависит только от расстояния r до нити, то в  качестве воображаемой замкнутой поверхности выбираем цилиндр:

Воспользуемся принципом суперпозиции, как видно из рисунка

Чтобы найти максимальное значение модуля напряженности электрического поля, продифференцируем полученное выражение и приравняем его к нулю.

Теория 2

4.6. Энергия заряженного проводника.

Заряд, находящийся на некотором проводнике, можно рассматривать как систему точечных зарядов q:

Поверхность проводника является эквипотенциальной. Потенциалы одинаковы и равны .

; ;

4.1. Энергия взаимодействия системы зарядов.

Ранее мы получили формулу для потенциальной энергии взаимодействия зарядов и :

Пусть имеется система состоящая из N точечных зарядов .

Тогда потенциальная энергия взаимодействия будет равна:

- потенциал, создаваемый всеми зарядами кроме в точке, где помещается заряд .

4.2. Полная энергия взаимодействия.

Выше мы получили для энергии взаимодействия зарядов:

(4.1)

Если заряды распределены непрерывно, то, разлагая систему зарядов на совокупность электрических зарядов и переходя от суммирования к интегрированию, получим:

(4.2)

В (4.1) и (4.2) потенциал имеет различный смысл. С одной стороны по (4.1):

- потенциал, созданный в месте, где находится заряд , зарядом .

Согласно (4.2), мы должны разбить заряд каждого шарика на бесконечно малые элементы и каждый из них умножить на потенциал , создаваемый не положительными зарядами другого шарика, и элементами заряда этого шарика.

,

где

- энергия взаимодействия друг с другом элементов 1 шара

- энергия взаимодействия друг с другом элементов 2 шара

- энергия взаимодействия элементов 1 шара с элементами 2 шара

ТЕОРИЯ 1.

1.5. Поток вектора напряженности. Теорема Гаусса.

Пусть некоторую поверхность S пронизывает электрическое поле напряженности E (рис. 4.). В общем случае в каждой точке поверхности напряженность поля будет различной. Выберем бесконечно малый участок поверхности ds так, чтобы значение вектора было постоянным. Проведём единичный вектор нормали к выбранной площадке ds.

Рис. 4.

Построим псевдовектор . По определению поток через бесконечно малый участок поверхности ds будет равен:

,

где - проекция вектора на нормаль к площадке ds.

- вектор, модуль которого равен ds, а направление совпадает с нормалью к площадке.

Выбор направления вектора , а следовательно и условен. Его можно было бы направить в противоположную сторону.

Если имеется некоторая произвольная поверхность S, то поток вектора через неё равен:

Эта величина алгебраическая: она зависит не только от конфигурации поля , но и от выбора направления нормали. В случае замкнутых поверхностей принято нормаль брать направленную наружу области, охватываемой этими поверхностями, то есть выбирать внешнюю нормаль.

Теорема Гаусса: Поток вектора напряженности сквозь произ­вольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, находящихся внутри этой поверхности, делён­ной на :

Доказательство:

  1. Точечный заряд

Рис. 5.

Окружим заряд q замкнутой поверхностью S и найдём поток вектора сквозь элемент dS() :

= () = ,

где = - телес­ный угол. Часть пространства, ограниченная конической поверхностью, опирающейся на замкнутую кривую называется телесным уг­лом. Величиной телесного угла с вершиной в точке O называ­ется отношение площади, вырезаемой этим углом на поверхно­сти сферы к квадрату радиуса:

.

Интегрирование по всей поверхности S эквивалентно интегрированию по всему телесному углу; заменив на , получим:

= =

Рис. 6.

При более сложной поверхности углы могут быть больше и меньше , а значит и принимают как положительные, так и отрицательные значения. - величина алгебраическая. Если опирается на внутреннюю сторону поверхности S, то >0, если же на внешнюю, то <0.

Если заряд расположен вне поверхности, то поток вектора напряженности через неё равен нулю.

  1. Поле, создаваемое системой точечных зарядов .

По принципу суперпозиции имеем:

=

=

Каждый из интегралов равен , значит:

  1. Если заряды распределены непрерывно с объёмной плотностью равной , то

Также вводят понятие поверхностной плотности и линейной плотности .

Соседние файлы в папке 7 билет