Kol_Fizika_3_semmestr / Кол. Физика 3 семместр / 7 билет / bilet_7
.docxЗадача
Две длинные параллельные нити равномерно заряжены каждая с линейной плотностью = 0,50 мкКл/м. Расстояние между нитями = 45 см. Найти максимальное значение модуля напряженности электрического поля в плоскости симметрии этой системы, расположенной между нитями.
Решение.
Найдем чему равен модуль напряженности поля бесконечной равномерно заряженной нити на расстоянии r от нее. Для этого воспользуемся теоремой Гаусса. Поскольку модуль вектора напряженности в каждой точке зависит только от расстояния r до нити, то в качестве воображаемой замкнутой поверхности выбираем цилиндр: |
|
Воспользуемся принципом суперпозиции, как видно из рисунка
Чтобы найти максимальное значение модуля напряженности электрического поля, продифференцируем полученное выражение и приравняем его к нулю. |
Теория 2
4.6. Энергия заряженного проводника.
Заряд, находящийся на некотором проводнике, можно рассматривать как систему точечных зарядов q:
Поверхность проводника является эквипотенциальной. Потенциалы одинаковы и равны .
; ;
4.1. Энергия взаимодействия системы зарядов.
Ранее мы получили формулу для потенциальной энергии взаимодействия зарядов и :
Пусть имеется система состоящая из N точечных зарядов .
Тогда потенциальная энергия взаимодействия будет равна:
- потенциал, создаваемый всеми зарядами кроме в точке, где помещается заряд .
4.2. Полная энергия взаимодействия.
Выше мы получили для энергии взаимодействия зарядов:
(4.1)
Если заряды распределены непрерывно, то, разлагая систему зарядов на совокупность электрических зарядов и переходя от суммирования к интегрированию, получим:
(4.2)
В (4.1) и (4.2) потенциал имеет различный смысл. С одной стороны по (4.1):
- потенциал, созданный в месте, где находится заряд , зарядом .
Согласно (4.2), мы должны разбить заряд каждого шарика на бесконечно малые элементы и каждый из них умножить на потенциал , создаваемый не положительными зарядами другого шарика, и элементами заряда этого шарика.
,
где
- энергия взаимодействия друг с другом элементов 1 шара
- энергия взаимодействия друг с другом элементов 2 шара
- энергия взаимодействия элементов 1 шара с элементами 2 шара
ТЕОРИЯ 1.
1.5. Поток вектора напряженности. Теорема Гаусса.
Пусть некоторую поверхность S пронизывает электрическое поле напряженности E (рис. 4.). В общем случае в каждой точке поверхности напряженность поля будет различной. Выберем бесконечно малый участок поверхности ds так, чтобы значение вектора было постоянным. Проведём единичный вектор нормали к выбранной площадке ds.
Рис. 4.
Построим псевдовектор . По определению поток через бесконечно малый участок поверхности ds будет равен:
,
где - проекция вектора на нормаль к площадке ds.
- вектор, модуль которого равен ds, а направление совпадает с нормалью к площадке.
Выбор направления вектора , а следовательно и условен. Его можно было бы направить в противоположную сторону.
Если имеется некоторая произвольная поверхность S, то поток вектора через неё равен:
Эта величина алгебраическая: она зависит не только от конфигурации поля , но и от выбора направления нормали. В случае замкнутых поверхностей принято нормаль брать направленную наружу области, охватываемой этими поверхностями, то есть выбирать внешнюю нормаль.
Теорема Гаусса: Поток вектора напряженности сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, находящихся внутри этой поверхности, делённой на :
Доказательство:
-
Точечный заряд
Рис. 5.
Окружим заряд q замкнутой поверхностью S и найдём поток вектора сквозь элемент dS() :
= () = ,
где = - телесный угол. Часть пространства, ограниченная конической поверхностью, опирающейся на замкнутую кривую называется телесным углом. Величиной телесного угла с вершиной в точке O называется отношение площади, вырезаемой этим углом на поверхности сферы к квадрату радиуса:
.
Интегрирование по всей поверхности S эквивалентно интегрированию по всему телесному углу; заменив на , получим:
= =
Рис. 6.
При более сложной поверхности углы могут быть больше и меньше , а значит и принимают как положительные, так и отрицательные значения. - величина алгебраическая. Если опирается на внутреннюю сторону поверхности S, то >0, если же на внешнюю, то <0.
Если заряд расположен вне поверхности, то поток вектора напряженности через неё равен нулю.
-
Поле, создаваемое системой точечных зарядов .
По принципу суперпозиции имеем:
=
=
Каждый из интегралов равен , значит:
-
Если заряды распределены непрерывно с объёмной плотностью равной , то
Также вводят понятие поверхностной плотности и линейной плотности .