otvet2 / мат-6-ответы 2
.pdf
НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ЯДЕРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИФИ»
А. Н. Рурукин
К. Г. Чайковский
Решения и ответы задания № 2
по курсу
«Математика 5–6»
Москва
Задание № 2
ДРОБНЫЕ И РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
– А –
А2.1. Половину пути туристы шли пешком, а половину пути проехали на автобусе. На весь путь они затратили 5,5 ч. Если бы они весь путь проехали на автобусе, то затратили бы 1 ч. Сколько времени затратят туристы, если весь путь будут идти пешком? Во сколько раз скорость автобуса больше скорости туристов при движении пешком?
Решение. При движении на автобусе туристы на половину пути затратят 0,5 ч. Тогда при движении пешком туристы на половину пути затратят 5,5 – 0,5 = 5 ч. Поэтому на весь путь пешком будет затрачено 5 2 = 10 ч. Следовательно, скорость автобуса в 10 раз больше скорости движения пешком.
Ответ: 10 ч; в 10 раз.
А2.2. От куска провода отрезали 40 %. После этого осталось 60 см провода. Сколько сантиметров провода было в куске?
Решение. Составим схему к задаче. Так как отрезали 40 %, то осталось 60 % провода, что по условию составляет 60 см. Переведем 60 % в дробь (60 % = 0,6) и найдем первоначальную длину («целое»):
60 см : 0,6 = 600 : 6 = 100 (см).
Ответ: 100 см.
А2.3. Поезд двигался 3 ч со скоростью 50 км/ч и 2 ч со скоростью 60 км/ч. Найдите среднюю скорость движения поезда.
Решение. Найдем весь путь, пройденный поездом: 50 3 + 60 2 = = 150 + 120 = 270 км. Время, затраченное на этот путь: 3 + 2 = 5 ч. Тогда средняя скорость движения поезда 270 : 5 = 54 км/ч.
Ответ: 54 км/ч.
2
А2.4. За 3,6 кг огурцов заплатили 216 руб. Сколько будут стоить 4,8 кг огурцов?
Решение. Очевидно, что стоимость покупки при постоянной цене за 1 кг прямо пропорциональна ее массе. Решим задачу с помощью пропорции. Составим таблицу:
Покупка |
Масса покупки, кг |
Цена покупки, руб. |
|
|
|||||||
1-я |
|
3,6 |
|
|
|
216 |
|
|
|
|
|
2-я |
|
4,8 |
|
|
|
х |
|
|
|
|
|
Получаем пропорцию |
3,6 = |
216 |
, откуда х = |
216 4,8 |
= |
216 |
4 |
= |
|||
|
|
4,8 |
х |
|
|
3,6 |
|
3 |
|
|
|
= 72 4 = 288 (руб.).
Ответ: 288 руб.
А2.5. К 600 г 15 %-ного раствора кислоты добавили 400 г воды. Каким стало процентное содержание кислоты в растворе?
Решение. Найдем количество кислоты в растворе 600 0,15 = = 90 г (15 % = 0,15). После добавления воды масса раствора стала равна 600 + 400 = 1000 г. Тогда процентное содержание кислоты в
новом растворе составляет 100090 100 =9% .
Ответ: 9 %.
А2.6. Как от куска ткани длиной |
2 |
м отрезать ровно полметра, |
|||||||||||||
3 |
|||||||||||||||
не проводя измерений? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2 |
|
1 |
|
4 −3 |
|
1 |
|
2 |
|
1 |
|
||||
Решение. Учтем, что |
− |
= |
= |
и |
: 4 = |
. Это означа- |
|||||||||
3 |
2 |
6 |
|
|
6 |
3 |
6 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ет, что ткань надо сложить вчетверо (т.е. пополам и еще раз попо-
лам) и отрезать эту четвертую часть (т.е. 16 м). Тогда длина остав-
шейся части ткани будет ровно полметра. Ответ: см. решение.
3
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|
4,9 |
|
−1 |
1 |
: (−2) |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
3 |
|
||||||||||||
А2.7. Найдите значение выражения |
|
|
|
|
5,1 |
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
(9 −1,5) : 25 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Решение. Учтем порядок действий и найдем значение данного |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
выражения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3 |
4,9 |
|
1 |
|
|
17 |
49 |
|
4 |
|
7 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
2 |
|
|
|
−1 |
|
: (−2) |
|
|
|
|
|
+ |
|
: 2 |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
= 3 10 |
|
|||||
7 |
5,1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
= |
7 |
51 |
3 |
= |
3 |
3 |
= |
=10. |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7,5 : 25 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
(9 −1,5) : 25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
75 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|||||||||||||||
Ответ: 10. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
250 |
|
|
|
10 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
А2.8. Вода при замерзании увеличивается на |
1 |
своего объёма. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
На какую часть своего объёма уменьшится лёд при превращении в воду?
|
Решение. После замерзания объем льда будет равняться |
|||
1+ |
1 |
= |
10 |
. При превращении льда в воду объем его уменьшается |
|
9 |
|
9 |
|
вновь на 19 , что составляет от объема 109 часть, равную 19 : 109 =101 .
Ответ: на 101 часть.
А2.9. Сравните дроби 373737777777 и 3777 .
Решение. Разложим числитель и знаменатель первой дроби на множители и сократим ее: 373737777777 = 3777 1010110101 = 3777 . Теперь видно, что данные дроби равны.
Ответ: дроби равны.
А2.10. Вычислите наиболее рациональным способом:
2347 121 25 +348 : 25 −2346121 25 −48 : 25 +3 .
Решение. Сгруппируем слагаемые и найдем значение выражения:
4
2347 |
1 |
25 +348 : 25 |
−2346 |
1 |
25 −48 : 25 +3 = |
||||||||
12 |
12 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= 2347 |
|
25 |
−2346 |
|
|
25 |
+ |
(348 : 25 −48 : 25) +3 = |
|||||
12 |
12 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||
= 2347 |
|
|
|
−2346 |
|
|
25 |
+(348 −48) : 25 +3 = |
|||||
12 |
|
12 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
=1 25 +300 : 25 +3 = 25 +12 +3 = 40.
Ответ: 40.
– Б –
Б2.1. Миша заплатил в кассу буфета за 3 шоколадки, а Саша – за 2 шоколадки (все шоколадки одинаковые). За столом к ним присоединился Юра, и мальчики втроём съели 5 шоколадок поровну. Во время расчёта оказалось, что Юра должен заплатить товарищам 100 руб. Сколько денег Юра должен отдать Мише и сколько Саше? Сколько стоит одна шоколадка?
Решение. Очевидно, что Юра заплатил за съеденное им самим, т.е. за третью часть от 5 шоколадок. Поэтому эти шоколадки стоят втрое дороже, т.е. 100 3 = 300 руб. (соответственно, одна шоколадка стоит 300 : 5 = 60 руб.). Каждый из ребят (как и Юра) съел шоколада также на 100 руб. Но при этом Миша заплатил за три шоколадки 60 3 = 180 руб. Значит, ему надо дать 180 – 100 = 80 руб. Саша заплатил за две шоколадки 60 2 = 120 руб. Тогда ему надо дать
120 – 100 = 20 руб.
Ответ: Мише – 80 руб., Саше – 20 руб., шоколадка стоит 60 руб.
Б2.2. Туристы прошли за три дня некоторый путь. За первый день они прошли 83 пути, за второй 52 оставшегося пути, а за тре-
тий день – последние 21,6 км пути. Какова длина всего пути? Решение. Примем весь путь за х км. Тогда за 1-й день туристы
прошли |
3 |
|
3 |
|
= |
5 |
х |
км. За второй |
8 |
х км, и им осталось пройти х− |
8 |
х |
8 |
||||
|
|
|
|
|
|
5
день они прошли 52 85 хкм. Учитывая, что за 3 дня они прошли весь путь (х), составим и решим уравнение:
3 |
х+ |
|
2 |
|
5 |
х+21,6 = х, |
|
3 |
х+ |
2 |
х+21,6 = х, |
|
|
5 |
х+ 21,6 = х, |
||
8 |
5 |
8 |
3 |
8 |
8 |
|
|
8 |
|||||||||
|
|
|
5 |
|
|
|
3 |
|
|
||||||||
|
|
21,6 = х− |
х, |
х = 21,6 , х = 21,6 : |
, |
х = 57,6. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
8 |
|
|
|
|
8 |
|
|
|
Ответ: 57,6 км.
Б2.3. Рыбак выловил 4 рыбы по 300 г, 5 рыб по 240 г и 6 рыб по 270 г. Каков средний вес пойманных рыб?
Решение. Найдем вес всего улова: 4 300 + 5 240 + 6 270 = 4020 г.
Всего рыбак выловил 4 + 5 + 6 = 15 рыб. Тогда средний вес рыбы составляет 4020 : 15 = 268 г.
Ответ: 268 г.
Б2.4. Вычислите наиболее рациональным способом:
225 +375 138 .
375 139 −150
Решение. Представим число 139 в виде 138+1. Тогда получаем
225 +375 138 = |
225 +375 138 |
= |
225 + |
375 138 |
= |
375 139 −150 |
375 (138 +1) −150 |
|
375 138 |
+375 −150 |
|
=225 +375 138 =1.
375 138 +225
Ответ: 1.
Б2.5. Смешали 600 г 20 %-ного раствора кислоты и 400 г 10 %- ного раствора такой же кислоты. Найдите процентное содержание кислоты в полученном растворе.
Решение. Найдем количество кислоты в первом растворе: 600 0,2 = 120 г, во втором: 400 0,1 = 40 г (мы перевели 20 % и 10 %
в десятичные дроби). Значит, в полученном растворе будет 120 + 40 = 160 г кислоты. Масса полученного раствора 600 + 400 = = 1000 г. Тогда процентное содержание кислоты в полученном рас-
творе 1000160 100 =16% .
Ответ: 16 %.
6
Б2.6. Кузнечик может прыгать ровно на 0,5 м в любом направлении. Может ли он за несколько прыжков переместиться ровно на 7,3 м? Если да, то сколько надо сделать прыжков?
Решение. Кузнечик может сделать 14 прыжков вдоль прямой (т.е. переместиться на 14 0,5 = 7 м), затем 2 прыжка по сторонам АВ и ВС такого треугольника (АВ = ВС = 0,5 м), у которого сторона АС равняется 0,3 м. Значит, за 16 прыжков кузнечик сместится на 7,3 м.
Ответ: может, 16 прыжков.
Б2.7. Найдите значение выражения |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
8,88 |
+ 4 |
|
2,5 −1,6 |
2 |
|
: 7,5 2,12 |
|
: 6,25 |
|
|||||
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
10 |
−8 |
|
0,32 |
+9,6 : 9 |
|
(0,2) |
|
|
|
||||
|
|
|
8 |
5 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Решение. Учтемпорядокдействий инайдем значениевыражения:
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
8,88 + 4 |
|
2,5 −1,6 2 |
|
: 7,5 2,12 |
: 6,25 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
10 |
−8 |
|
0,32 |
+9,6 : 9 |
|
|
(0,2) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
8 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
(8,88 +(4,6 2,5 −1,6 2,5) : 7,5 2,12) : 6,25 |
= |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
(10 −8,625) 0,32 +9,6 : 9,6 0,04 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
= |
(8,88 +2,5 (4,6 −1,6) : 7,5 2,12) : 6,25 |
= |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,375 0,32 +1 0,04 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
= |
(8,88 +2,5 3: 7,5 2,12) : 6,25 |
= |
(8,88 +2,12) : 6,25 |
= |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
0,44 +0,04 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,48 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
= |
11: 6,25 = |
|
11 |
|
|
|
= |
11 |
=3 |
2 |
. |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
0,48 6,25 |
3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0,48 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
Ответ: 3 23 .
Б2.8. Зарплату сначала повысили на 20 %, а затем понизили на 30 %. На сколько процентов уменьшилась зарплата по сравнению с первоначальной?
7
Решение. Пусть первоначальная зарплата равна а руб. Ее повысили на 20 %, т.е. на 0,2а руб. Тогда зарплата стала а + 0,2а = 1,2а руб. После этого зарплату понизили на 30 %, т.е. на 1,2а 0,3 = = 0,36а руб. Зарплата стала составлять 1,2а – 0,36а = 0,84а руб. По сравнению с первоначальной зарплата уменьшилась на а – 0,84а = = 0,16а руб., что от первоначальной зарплаты составляет
0,16а а 100 =16%.
Ответ: на 16 %.
Б2.9. Сравните дроби 6141 и 611411 , не пользуясь калькулятором.
Решение. Найдем дроби, дополняющие данные до 1, и сравним их. Получаем 1− 6141 = 2061 , 1− 611411 = 200611 . Учтем, что 2061 = 610200 и
610200 > 200611 (так как в первой дроби знаменатель меньше) или
2061 > 200611 . Значит, первой дроби не хватает до 1 больше, чем второй, следовательно, она меньше второй.
Ответ: 6141 < 611411 .
Б2.10. Найдите сумму дробей:
112 + 213 + 314 +... + 98199 + 99 1100 .
Решение. Представим каждую данную дробь в виде разности
двух более простых дробей: |
|
1 |
|
= 1 |
− |
1 |
, |
|
1 |
|
= |
1 |
− 1 |
, |
|
|
1 |
= 1 |
− |
1 |
, |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
2 3 |
|
|
|
|
4 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 2 1 |
|
|
|
|
|
2 3 |
|
|
3 4 3 |
|
|
||||||||||||||||||||||
…, |
|
= |
|
− |
, |
|
1 |
= |
|
1 |
|
− |
|
|
1 |
|
|
|
. Сложим все эти дроби: |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
98 99 |
98 |
|
99 |
|
99 100 |
99 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
100 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
1 |
− 1 |
+ |
1 − |
1 |
+ 1 |
|
− 1 +... + |
|
1 |
− |
|
1 |
|
+ |
|
|
1 |
|
− |
1 |
|
= |
1 − |
|
1 |
= |
99 |
. |
|
|
||||||||||||||||
|
1 |
3 |
|
|
99 |
|
99 |
|
|
|
100 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
98 |
|
|
|
|
|
|
|
100 |
|
1 |
100 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
(в сумме взаимно уничтожились все дроби, кроме первой и по- |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
следней). |
Ответ: |
|
|
99 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
100 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
8