Tarasov

Пример 3.14. Ниже в таблице приведены результаты опытов, в которых исследовалась зависимость глубины h (мм) проникновения снаряда в преграду от удельной энергии ε (т.е. энергии, приходящейся на 1 см2 площади соударения). Найти все вышеперечисленные оценки, а также построить эмпирические линии регрессии.

Решение. Находим несмещенные оценки:

После подстановки полученных оценок получим следующие эмпирические линии регрессии:

h на ε: h−21,08=0,124(ε−164,46); ε на h: ε−164,46=7,96(h−21,08).

Проверим эти расчеты с помощью программы « Statistica».

Рис. 3.16

Рис. 3.17

Результаты расчетов совпадают, разница только в том, что в расчетах мы использовали несмещенные оценки, что не влияет на конечный результат.

Эмпирические линии регрессии h на ε и ε на h показаны на рис. 3.18, 3.19

30

200

20

100

10

Результаты расчетов по программе «Statistica» подтверждают правильность проведенных расчетов.

3.12 Задание №2 на самостоятельную работу

3.1 Допустим, что данные о времени обслуживания (мин.), представленные в таблице 3.9, являются независимыми наблюдениями относительно времени обслуживания в системе массового обслуживания с одним устройством. Используя все подхо дящие методы, описанные в разделе 3 , построить гипотезу относительно формы распределения, определить оценки его параметра (параметров) с помощью оценок максимального правдоподобия и определить степень согласия.

Таблица 3.9

3.2 Предположим, что данные о погрешностях в диаметре шарикоподшипников, представленные в табл. 3.10, являются независимыми наблюдениями относительно отклонений от требуемого диаметра шарикоподшипников, изготовляемых на новом высокоскоростном станке. Используя все подходящ ие методы, описанные в разделе 3 , построить гипотезу относительно формы распределения, определить оценки его параметра (параметров) с помощью оценок максимального правдоподобия и степен ь согласия.

Табл. 3.10

3.3 Пусть имеется нормально распределенная случайная величина Х. Произведено N = 31 независимых наблюдений этой величины, ре - зультаты которых приведены в табл. 3 .11.

Табл.3.11

Определить 90% -е доверительные интервалы для истинного сред него значения и истинной дисперсии случайной величины Х.

Ответ: 90%-ные доверительные интервалы для среднего значения и дисперсии случайной величины Х составляют

56,85 < mх <60,37,

22,91 < σ2x < 54,22.

3.4 Предположим, что есть основания считать среднее значение mx случайной величины Х равным 10, и пусть известна дисперсия величины

Х, σ2x 4 . Определить, каков должен быть объем выборки для проверки

гипотезы mx = 10 при 5%-м уровне значимости, причем вероят ность допустить ошибку второго рода при определении 10% -го отклонения от гипотетической величины также должна соста вить 5%. Определить при этих условиях область принятия, ко торую следует использовать при проверке гипотезы.

Ответ: искомый объем выборки N=52. Область принятия гипотезы

9,46 < mx < 10,54.

3.5 Проверка гипотезы о нормальности распределения. В табл.2.12 приведены N=200 независимых наблюден ных значений, расположенных в порядке возрастания процесса на выходе генератора теплового шума.

Пример выполнения задания приведен ниже.

Задание 1. Допустим, что данные о времени обслуживания (мин.), представленные в таблице 1, являются независимыми наблюдениями относительно времени обслуживания в системе массового обслуживания с одним устройством. Используя все подходящие методы, описанные в разделе математической статистики (р.3), построить гипотезу относительно формы распределения, определить оценки его параметра (параметров) с помощью оценок максимального правдоподобия и определить степень согласия.

Таблица 1

Проверка гипотезы о независимости признаков:

Analysis - Tables and banners - в окне Specify Table, в поле Analysis: Crosstabulation tables - кнопка Specify Table - отбираем признаки,- в окне Crosstabulation Tables Results (результаты таблиц сопряженности) отмечаем (потребуем определить)

Expected frequencies (ожидаемые или теоретические частоты) и Pearson Chi-Square - Review Summary tables.

Проверка гипотезы о типе распределения. Работаем в модуле Nonparametric Statistics (непараметрическая статистика), Distribution Fitting (подбор распределения). В поле Continuous Distributions: Normal - Variable: d - в поле Plot distribution: Frequency distribution (частоты распределения) - отказываемся от теста Колмогорова - Смирнова - ОК - наблюдаем оценки параметров Mean: 13.42, Variance: 0.018, соглашаемся с параметрами группирования (в частности, c числом групп Number of categories: 19) - ОК.

Наблюдаем таблицу частот, в которой нам нужны столбцы observed frequency (наблюдаемые частоты) и expected frequency (ожидаемые частоты). Сравним графически наблюдаемые и ожидаемые частоты: выделим соответствующие столбцы - Graphs - Custom Graphs - 2D Graphs...- OK.. Наблюдаем некоторое различие.

Аналогично Задание 2

3. Пусть имеется нормально распределенная случайная величина Х. Произведено N = 31 независимых наблюдений этой величины, результаты которых приведены в табл. 3.

Табл.3

Определить 90% -е доверительные интервалы для истинного среднего значения и истинной дисперсии случайной величины

Х.

Ответ: 90%-ные доверительные интервалы для среднего значения и дисперсии случайной величины Х составляют

56,85 < mх <60,37,

22,91 < σ2x < 54,22

4. Проверка гипотезы о нормальности распреде ления. В табл.4 приведены N=200 независимых наблюден ных значений, расположенных в порядке возрастания процесса на выходе генератора теплового шума.

Табл. 4

−7,6 − 4,3 − 3,0 − 2,1 − 1,5 − 0,7 0,0 0,7 1,5 2,3 3,4 4,3 6,3

−6,9 − 4,1 − 3,0 − 2,1 − 1,4 − 0,7 0,1 0,8 1,5 2,4 3,5 4,3 6,5

−6,6 − 4,0 − 2,9 − 2,0 − 1,4 − 0,6 0,1 0,9 1,6 2,4 3,5 4,4 6,9

−6,4 − 3,8 − 2,9 − 2,0 − 1,2 − 0,6 0,2 0,9 1,6 2,5 3,6 4,4 7,1

−6,4 − 3,8 − 2,9 − 1,9 − 1,2 − 0,5 0,2 1,0 1,6 2,5 3,6 4,6 7,2

−6,1 − 3,8 − 2,7 − 1,9 − 1,2 − 0,5 0,2 1,0 1,7 2,6 3,6 4,8 7,4

−6,0 − 3,7 − 2,6 − 1,8 − 1,1 − 0,4 0,2 1,1 1,8 2,6 3,7 4,8 7,9

−5,7 − 3,6 − 2,6 − 1,8 − 1,1 − 0,4 0,3 1,1 1,8 2,6 3,7 4,9 9,0

−5,6 − 3,5 − 2,5 − 1,8 − 1,0 − 0,4 0,3 1,1 1,8 2,7 3,7 5,0

−5,5 − 3,4 − 2,5 − 1,7 − 1,0 − 0,3 0,3 1,1 1,9 2,8 3,7 5,2

−5,1 − 3,4 − 2,4 − 1,7 − 1,0 − 0,3 0,4 1,2 1,9 2,8 3,8 5,3

−4,8 − 3,4 − 2,3 − 1,6 − 0,9 − 0,2 0,4 1,2 2,0 2,9 3,8 5,4

−4,8 − 3,3 − 2,3 − 1,6 − 0,9 − 0,2 0,5 1,3 2,0 3,1 3,9 5,6

−4,6 − 3,2 − 2,3 − 1,6 − 0,8 − 0,2 0,5 1,3 2,1 3,2 4,0 5,9

−4,4 − 3,2 − 2,2 − 1,6 − 0,8 − 0,1 0,6 1,3 2,3 3,2 4,2 6,1

− 4,4 − 3,1 − 2,2 − 1,5 − 0,7 0,0 0,6 1,4 2,3 3,3 4,2 6,3

Проверить гипотезу о нормальности процесса на выходе генератора теплового шума, применяя критерий согласия χ2 при уровне значимости α = 0,05. Использовать равновероятный подход к определению значения критерия χ2 , положив k = 16