Лабораторная работа №3

HАИМЕНОВАНИЕ: Выбор лучшей математической модели

1.ЦЕЛЬ РАБОТЫ: Отбор лучшей математической модели из трех моделей.

2.Литература:

2.1. Алексеев А.П., Камышенков Г.Е. Использование ЭВМ для математических расчетов. – Самара: Парус, 1998.- 190 с.

2.2. Львовский Е.Н. Статистические методы построения эмпирических формул. - М.: Высш. шк., 1988.- 239 с.

3.Подготовка к работе:

3.1. Изучить предложенную литературу.

3.2. Подготовить бланк отчёта.

4. ОСНОВНОЕ ОБОРУДОВАНИЕ: 4.1. Персональный IBM PC.

4.2. Система Mathcad.

5. Содержание отчета:

5.1. Наименование и цель работы.

5.2. Программы расчета критериев адекватности на языке Mathcad, а также результаты их расчета (двенадцать численных результатов).

5.3. График с исходной зависимостью и три графика моделей.

5.4. Выводы о проделанной работе.

5.5. Ответы на контрольные вопросы.

6. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ:

6.1. Какие критерии адекватности моделей Вы знаете?

6.2.Что означает термин "адекватна"?

6.3.Приведите геометрическую иллюстрацию каждого критерия, который будет использован в данной работе.

6.4.Как в системе Mathcad изменить цвет графика?

6.6.Какая системная переменная программы Mathcad определяет начало отсчета в векторах?

6.6.Как в системе Mathcad ввести матрицу с заданным числом строк и столбцов?

6.7.Чем отличаются термины "интерполяция" и "экстраполяция"?

6.8. Как в системе Mathcad изменить размеры графика?

7. Порядок выполнения работы:

Для сравнения ММ в этой работе следует использовать четыре различных критерия: максимальное отклонение, сумма абсолютных значений разности, сумма квадратов разности и интегральная оценка.

По результатам выполнения работы нужно отобрать лучшую модель.

7.1. Рассмотрим пример выполнения лабораторной работы с помощью системы Mathcad. В примере наряду с программой, результатами, графиками приведены комментарии, поясняющие смысл выполняемых операций.

Эта системная переменная задает отсчет индексов векторов, начиная с единицы.

Далее необходимо ввести векторы-столбцы напряжений и токов, использованные в предыдущей работе (свой вариант).

Затем следует ввести в Mathcad коэффициенты трех моделей, найденные в предыдущей работе. Например:

Эталонную модель сформируем путем аппроксимации исходных данных с помощью кубических сплайнов. Для этого вначале необходимо рассчитать векторы вторых производных:

Затем следует организовать цикл для изменения напряжения u от 0 до 0,95 В с шагом 0,01 В:

Эталонную модель представим с помощью функции пользователя i(u), сформировав ее с помощью сплайн - аппроксимации (интерполяции):

Таким образом, исходная зависимость I= f(U) представлена с помощью кубических сплайнов и выражена через функцию пользователя i(u). В последнюю формулу входят векторы исходных значений напряжений U, токов I и вторых производных IS. Строчной буквой u обозначено текущее значение аргумента.

Будем считать, что функция i(u) дает наибольшую точность аппроксимации, и другие модели будем сопоставлять с этой моделью (эталоном). Заметим, что это совсем не означает, что сплайн - аппроксимация всегда, во всех случаях дает лучшие результаты по сравнению с методом наименьших квадратов.

Представим модели, полученные в предыдущей работе, с помощью функций пользователя. Первую модель обозначим i1(u), вторую - i2(u), третью - i3(u):

Построим график эталонной модели i(u) и графики трех моделей, полученных в предыдущей работе, в одной системе координат. Это позволит наглядно увидеть различие в качестве аппроксимации с помощью различных моделей.

Напомним, что эталонная модель получена с помощью сплайн-интерполяции, а три модели туннельного диода методом наименьших квадратов. Не вдаваясь в подробности можно сказать, что принципиальное отличие этих двух методов аппроксимации заключается в том, что кубические сплайны проходят точно через каждую исходную точку, а график функции, полученный по МНК, проходит на таких расстояниях от каждой исходной точки, при которых сумма квадратов отклонений минимальна.

На предыдущем рисунке цифрой 1 обозначен график первой модели, цифрой 2 - график второй модели, цифрой 3 - третьей, цифрой 4 - эталонной модели. Чтобы построить четыре графика в одной системе координат следует имена функций вводить через запятую.

На графике по оси ординат отложен ток, выраженный в миллиамперах, а по оси абсцисс - напряжение, выраженное в вольтах.

Из трех ранее полученных моделей нужно отобрать лучшую модель.

Отбор произведем с помощью четырех критериев, которые в общем случае, могут дать разные оценки адекватности (то есть указать на разные модели).

Первый критерий - максимальное отклонение, второй критерий - сумма абсолютных значений разности, третий - сумма квадратов разности, четвертый - интегральная оценка.

Для расчета четырех перечисленных критериев определим векторы токов при исходных значениях напряжений для первой (Zm), второй (Rm) и третьей (Tm) моделей.

Вначале зададим цикл для переменной m:

Теперь вычислим векторы токов, используя ранее созданные функции пользователя:

Получим количественные значения векторов токов для каждой из трех моделей. Для этого достаточно набрать поочередно переменные Zm, Rm, Tm. и поставить знак равенства. Система Mathcad автоматически сформирует таблицы:

Полученные выше результаты следует сравнить с расчетами, выполненными в предыдущей работе.

Для сопоставления моделей с помощью первого критерия вычислим векторы абсолютных значений разности R1m, R2m и R3m:

Далее приведены абсолютные отклонения моделей от эталонной модели Im.

Найдем максимальное значение среди абсолютных разностей в каждом векторе - столбце. Эти три значения будут характеризовать качество моделей. Чем меньше значение абсолютной разности, тем выше адекватность модели.

В системе Mathcad имеется специальная функция для поиска максимального значения среди элементов матрицы:

Расчеты показывают, что наиболее адекватно исходную зависимость описывает третья модель, так как величина max(R3) имеет минимальное значение среди трех найденных величин.

Для расчета второго критерия адекватности найдем суммы всех элементов векторов-столбцов R1, R2 и R3 (то есть сумму абсолютных значений разности). С помощью системы Mathcad это делается так:

На основании сравнения величин, рассчитанных с помощью второго критерия, следует также отдать предпочтение третьей модели.

Геометрическая иллюстрация порядка вычисления второго критерия приведена на следующем рисунке.

Рис. 2. Иллюстрация второго критерия

Количественно второй критерий равен сумме отрезков, выделенных на рисунке жирными линиями.

Произведем сопоставление моделей с помощью третьего критерия.

Из сравнения трех найденных величин видим, что наименьшая сумма квадратов разности - у третьей модели. Значит, опять предпочтение следует отдать третьей модели.

Геометрическая иллюстрация сущности третьего критерия приведена на рисунке. Данный критерий численно равен сумме площадей черных квадратов (то есть сумме квадратов разности).

Рис. 3. Иллюстрация третьего критерия

Сопоставим модели с помощью четвертого критерия - интегральной оценки.

Приведенные расчеты показывают, что и четвертый критерий отдает предпочтение третьей модели.

Следующий рисунок иллюстрирует геометрический смысл четвертого критерия.

Рис. 4. Иллюстрация четвертого критерия

Таким образом, все четыре критерия показывают, что наибольшей адекватностью обладает третья модель. Это вполне объяснимо: третья модель составлена с учетом физических свойств туннельного диода. В этой модели отдельными выражениями описаны диффузионная и туннельная ветви полупроводникового прибора.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Три математические модели:

Модель 1:

i = a + bu + cu2 + du3 , (1)

где a, b , c - коэффициенты, которые необходимо определить с помощью программы TC WIN; i, u - значения токов и напряжений, взятые из таблицы.

Модель 2:

i = a + bu + cu2 + du3 + eu4. (2)

Сравнивая (1) и (2), легко заметить, что вторая модель является полиномом более высокого порядка по сравнению с первой моделью.

Модель 3:

(3)

где a, b , c, Im, Um - коэффициенты, которые необходимо определить.

Данная модель отражает физическую сущность моделируемого электронного прибора. Второе слагаемое описывает диффузионную ветвь ВАХ туннельного диода. Коэффициент Im соответствует максимальному значению тока при напряжении Um на "горбатой" части ВАХ.