Лабораторная работа №10.3. Параметры нормального распределения

Для задачи из ЛР № 2.4. построить функцию распределения F(x) и плотность распределенияf(x), исходя из предположения о нормальном распределении случайной величины.

Выполнение

Построим функции для отрезка М[х]-3[х]х М[х]-3[х], так как случайная величина находится в этом интервале с точностью до 0,3%. Для этого в диапазонеA10:T10рассчитаем значениях:

A10: x

B10: =$B$4-3*$B$6

C10: =B10+$B$6/3

Затем необходимо скопировать формулу из ячейки C10 в диапазонD10:T10.

A11:F(x)

A12:f(x)

B11: =НОРМРАСП(B10;$B$4;$B$6;ИСТИНА)

B12: =НОРМРАСП(B10;$B$4;$B$6;ЛОЖЬ)

Затем необходимо скопировать формулы из ячеек B11:B12 в диапазонC11:T12.

Закон распределения можно представить в более наглядной форме, используя диаграммуТип Нестандартная Графики (2 оси),Исходные данныеA10:T10 расположены в строках. Полученная диаграмма представлена на рис.10.7.

По графику без труда можно определить, например, что случайная величина «объем располагаемого сырья» может принимать значения, меньшие 102 с вероятностью 40%; или, вероятность того, что значение случайной величины будет больше 150 равно 3%.

10.4. Распределение Стьюдента

Использовать в решении задач нормальное распределение можно, только если известно стандартное отклонение или дисперсия² исследуемой случайной величины, что редко имеет место на практике. Поэтому при оценивании параметров и проверке гипотез чаще применяют другое распределение, являющееся, по сути, выборочным аналогом нормального распределения и переходящее в него при бесконечно большом числе наблюдений. Это распределение называют распределением Стьюдента илиt-распределением.

Рассмотрим основные свойства распределения Стьюдента. Во-первых, аналогом безразмерной величинz-статистики, определяе­мой выражением (10.6), служит также безразмернаявеличина t-статистика, определяемаявыражением

. (10. 0)

В этом выражении вместо стандартного отклонения для генеральной совокупности стоит выборочное стандартное отклонениеs,являющееся, по сути, случайной величиной (меняющейся от выборки к выборке) и определяемое по данным наблюденийх_k с помощью выражения:

Во-вторых, в отличие от стандартного нормального распределения, являющегося функцией лишь одной переменнойz,t-распределение является не только функцией переменнойt, но также зависит от еще одного параметра - числа степеней свободы. Число степе­ней свободы равно общему числу наблюдений, уменьшенному на число линейных связей между ними. Еслипвыборочных наблюде­ний связаны,sлинейными уравнениями, то их распределение имеет  = п - s степеней свободы. Линейной связью является, например, формула расчета выборочного среднего (2.21) и если выборочное среднее входит в формулу какой-либо статистики, то это уменьшает число степеней свободы на единицу.

Пусть Z₀, Z₁, …,Z_– независимые (0,²) – нормально распределенные случайные величины. Тогда плотность распределения случайной величины

(10. 0)

имеет распределение Стьюдента. Функция плотности f_t(x) определяетсястепенями свободы, не зависит от дисперсии² и симметрично относительно точкиx=0.

10.4.1. График функции плотности вероятности распределения Стьюдента

График функции плотности вероятности распределения Стьюдента (рис.10.8), как и стандартного нормального распределения, имеет симметричный колоколообразный вид, но является более "сплюснутым" по вертикали.

Из симметричности распределения Стьюдента вытекает важное соотношение между критическими точками этого распределения t_()=t_1-().

Рис. 10.6. Плотность вероятности распределения Стьюдента (M[X]=0, D[X]=)

На практике обычно используют не таблицы функции распределения Стьюдента F(z),а таблицы критических точек функции распределения Стьюдентаt_(), то есть точек с заданной вероятностью попаданияв начинающиеся от них "хвосты" распределения:Prob(|t|>t_())=, гдеtреализация исследуемой случайной величины, подчиненной распределению Стьюдента.

Распределение Стьюдента используется, например, при проверке гипотез:

• о среднем значении нормальной генеральной совокупности при неизвестной дисперсии;

• о линейной независимости двух случайных величин (равенстве нулю коэффициента корреляции) - см. ниже в этой главе;

• о статистической значимости коэффициента линейной регрессии.