Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Atom / #6.DOC
Скачиваний:
13
Добавлен:
29.03.2016
Размер:
195.58 Кб
Скачать

-19-

Работа 6. Эффект Рамзауэра.

Цель работы. Изучение квантовой природы эффекта Рамзауэра, экспериментальное определение критических значений энергии электронов, соответствующих максимуму и минимуму прозрачности ксенона. Вычисление глубины и ширины потенциальной ямы атома ксенона. Определение его потенциала ионизации.

Напомним основные положения квантовой механики, связанные с существом данной работы.

Пусть потенциальная энергия электрона U, обусловленная его взаимодействием с окружающими объектами, является известной функцией координат: U=U(x,y,z)=U(r). Величиной же, которую требуется найти, являетсяволновая функция электрона (r,t). Это, вообще говоря, комплексная функция описывает состояние электрона в каждый момент времени t, значит, изменение видас ростом t отражает временную эволюцию его состояния. Функция(r,t) может быть найдена путем решения дифференциального уравнения в частных производных:

(1)

называемого уравнением Шредингера, где i - мнимая единица; (h- постоянная Планка);- оператор Лапласа (например, в декартовых координатах=(2/x2)+ (2/y2)+ (2/z2)); m- масса частицы (электрона). Уравнение (1) при заданном конкретном потенциале U(r) имеет некоторое множество решений, что соответствует множеству возможных начальных состояний электрона. Однако, при заданном начальном состоянии(r,0) вид(r,t) определяется с помощью (1) однозначно.

Среди множества решений (1) особый интерес предствляют волновые функции

(r,t)=(r)eit,=const,

(2)

описывающие состояния, называемые стационарными. Легко убедиться в том, что волновая функция (2) будет решением уравнения Шредингера (1), если (r) удовлетворяет уравнению

(3)

в котором E=(согласно идеям де Бройля) есть полная энергия электрона. Таким образом, в стационарных состояниях E=const, а зависимость(r,t) от времени сводится к наличию гармонического комплексного множителя eit= eiEt/, осциллирующего с частотой.

Уравнение (3) носит название уравнения Шредингера для стационарных состояний (УШС). Существенно, что УШС имеет физически приемлемые решения, вообще говоря, не для любого значения E, а лишь для некоторого множества En. Таким образом, решая (3), т.е. определяя(r), мы одновременно выясняем, какова совокупность возможных значений энергий стационарных состояний электрона при заданных внешних условиях. О нахождении совокупностиEnговорят также как об определении энергетического спектра, или как об установлении расположения уровней энергии, или, коротко, как о квантовании энергии электрона. Напомним, что физически приемлемыми (в рассматриваемом круге задач) считаются функции(r), однозначные и ограниченные во всей области определения, что в силу УШС (3) приводит автоматически к требованию их непрерывности и гладкости (даже в тех точках, где U(r) может претерпевать конечный разрыв).

Как уже отмечалось, волновая функция описывает состояние частицы. В целом это означает, что в (r,t) заключена информация обо всех физических величинах, характеризующих ее поведение (координате, импульсе, моменте импульса и т. д.) В частности, зная, можно построить следующие величины: квадрат модуля волновой функции

2=*(r,t)(r,t)

и вектор

(4)

(5)

Выражение (4) описывает местоположение частицы, являясь величиной, пропорциональной плотности вероятности (т.е. вероятности, отнесенной к единице объема) обнаружить частицу вблизи точки с координатами x, y, z в момент времени t. Вектор j, называемыйвектором плотности потока вероятности, дает информацию о движении частицы, показывая направление, в котором наиболее интенсивно перемещается вероятность, причемjпропорционален этой интенсивности. Смысл величин (4) и (5) раскрывается в эксперименте, когда производится N измерений для электрона в одном и том же состоянии. Тогда при больших N2 ~N/N,j~N’’/N, гдеN– число электронов, обнаруженных в единичном объеме вблизи точки x, y, z;N’’– результирующее число электронов, перешедших в направлении вектораj через единичную площадку, перпендикулярную к нему, за единицу времени.

В связи с приведенной интерпретацией выражений (4) и (5) волновую функцию (r,t) называют такжеамплитудой вероятности.

Для стационарных состояний выражения (4) и (5) не зависят от времени и, кроме того, если (r) вещественная, тоj обращается в нуль.

Анализируя некоторую квантовомеханическую задачу, полезно сопоставить ее, с одной стороны, с соответствующей задачей классической механики, а с другой – с задачей оптики. В классической механике аналогом будет, очевидно, задача о движении частицы той же массы в силовом поле, характеризуемом той же потенциальной энергией U(r), что и в исходной квантовой. Выяснив характер движения классической частицы, можно глубже понять особенности ее квантовомеханического поведения. Оптическим же аналогом (для задачи с E=const) служит распространение монохроматической волны с частотойв неоднородной среде, чей показатель преломления n изменяется в соответствии с соотношением

(6)

В этом легко убедится, сопоставляя волновое уравнение оптики

(А- амплитуда световой волны) с УШС, переписанным в виде

Отметим, что импульс частицы, вычисленный согласно классической механике , и волновое число, выражаемое в оптике через показатель преломления kопт=n/c, связаны между собой (согласно (6)) соотношением де Бройля. Аналогия с оптикой позволяет во многих случаях предвидеть и объяснить поведение-функции, а следовательно, и частицы качественным образом без решения уравнений.

Среди квантовомеханических задач выделяются своей простотой одномерные, т.е. такие, в которых U=U(x) и можно также ограничиться зависимостью от x и t. В этих задачах для стационарных состояний

(x,t)=(x)eit

(7)

УШС сводится к уравнению в обыкновенных производных

(8)

а в выражении (5) существенна только компонента

Уравнение (8) особенно просто решается, когда потенциал U принимает постоянные значения в соседних областях, а на их границах испытывает скачек. Такой потенциал называется прямоугольным из-за прямых углов на его графике. Фактически в природе не существует потенциалов, которые действительно являются прямоугольными, так как это означало бы существование бесконечной силы в точках их скачков. Все же прямоугольные потенциалы дают грубое представление о многих действительных системах, а простота математического выражения позволяет использовать их для некоторых выводов.

В области, где потенциал U постоянен, УШС (8) принимает вид

где , а его общее решение

(x)=Aeikx+Be-ikx=A’sin kx + B’cos kx,

где A, B, A’, B’- произвольные постоянные. Если учесть зависимость от времени (7), то волновая функция

(x,t)= Aei(kx-t)+Be-i(kx+t),

где первый член описывает волну, бегущую вправо, а второй – волну, бегущую влево. При переходе от одной области к другой U меняется, и, следовательно, изменяется длина волны. Существенно, что на границе между областями, как уже отмечалось, (x) и ее первая производная d/dx должны быть непрерывными. Это приводит к двум уравнениям связи между амплитудными коэффициентами (А и В) для соседних областей.

Рассмотрим случай, когда потенциал испытывает только один скачок (рис. 1). Предположим, что электроны с некоторой энергией E приходят слева. С точки зрения классической физики мы должны ожидать, что ни один электрон не будет отражаться в точке x=0, поскольку в данной точке он испытывает действие силы, направленной вдоль направления своего движения (ускоряющей силы). Выясним теперь, что предсказывает квантовая теория для решения такой задачи. Для ответа на вопрос используем прежде всего оптическую аналогию. Электрон ведет себя в некоторой степени подобно волне, которая приходит слева и сталкивается со скачкообразным изменением показателя преломления в точке x=0. Так же, как при падении света на поверхность раздела двух различных оптических сред, можно считать, что часть волны отражается от скачка, а часть проходит через него. Поэтому в области I перед скачком потенциала (x<0) волновая функция1(x), являющаяся решением УШС, будет содержать два слагаемых, первое из которых соответствует падающему потоку электронов, а второе – отраженному от скачка:

,

где ,.

В области II за скачком потенциала (x>0) решение содержит только одно слагаемое, соответствующее прошедшей волне

,

где ;. Постоянные А, В и С должны быть определены из граничных условий, согласно которым волновая функция и ее первая производная непрерывны в точке x=0:1(0)=2(0) и (d1/dx)(0)= (d2/dx)(0), откуда

В=А(k1-k2)/ (k1+k2) и С=А2k1/(k1+k2).

(9)

Величины В и С представляют собой амплитуды отраженной и прошедшей волн, выраженные через амплитуду падающей волны А. Поскольку k2>k1, то амплитуды отраженной и падающей волн имеют противоположные знаки, откуда следует, что при отражении от прямоугольного потенциала фаза волновой функции изменяется наили, иначе говоря, происходит потеря полуволны.

Плотность потока электронов Г может быть выражена через их концентрацию ne и скорость: Г= ne. Поскольку ne~2, а ~p~k, то Г~2k. Доля электронов De, которая проходит вправо, равна отношению прошедшей плотности потока к падающей:

De=прош2k2/пад2k1=С2k2/А2k1=4 k1k2/( k1+ k1)2.

Коэффициент отражения

Re=отр2k1/пад2k1=В2k1/А2k1=( k1- k2)2/( k1+ k2)2.

В соответствии с определением смысла вектора j, коэффициенты Deи Reмогут быть вычислены также как отношения

De=jx прош/jx пад; Re=jx отр/jx пад.

Для Deи Re получится тот же самый результат, если электроны с энергией E направить из области II в область I. Отличие состоит лишь в том, что отражение будет происходить без изменения фазы, поскольку в выражении (9) для амплитуды отраженной волны В волновые числа k1и k2поменяются местами.

Следует еще раз подчеркнуть, что свойство отражения частиц от резких скачков потенциала является чисто квантовомеханическим эффектом. Оно вытекает из волновых свойств материи и не может быть получено в классической физике.

В заключение сформулируем условие квантовомеханической задачи, позволяющей простыми методами рассмотреть квантование энергии электрона и дать качественное объяснение эффекта Рамзауэра. Речь идет о движении электрона при наличии одномерной прямоугольной симметричной потенциальной ямы (рис. 2). Для нее U(x) задается в виде

.

Величина L=2а – ширина ямы, а U0=U2-U1– ее глубина. Случай, когда E>U2будет детально рассмотрен в данной работе.

Особенности упругого рассеяния электронов на атомах. В физике плазмы и газовых разрядов важную роль играют упругие столкновения электронов с атомами. От них зависит прохождение электронных пучков через газы, которое приводит к ослаблению этих пучков.

Первые исследования упругого рассеяния медленных электронов были проведены Ф. Ленардом еще в 1903 г., но количественные измерения были начаты лишь в 1921 г., когда К.Рамзауэр предложил метод определения эффективного сечения рассеяния электронов. Эффективное сечение характеризует вероятность процесса упругого столкновения электрона с отдельным атомом и численно равно площади кружка с центром в ядре атома, при попадании в который электрон отклоняется от своего первоначального направления. Эффективное сечение связано простым соотношением с коэффициентом ослабления K0электронного пучка: K0=n, где n – число атомов в единице объема газа. Нетрудно показать, что уменьшение интенсивности пучка при прохождении через слой газа толщиной х является экспоненциальным:

.

(10)

Пользуясь этой формулой, по измеренной величине ослабления I(x)/I(0) можно определить эффективное сечение упругого рассеяния – важную характеристику атомов и молекул. Оказалось, что оно сильно зависит от скорости электронов (рис. 3). По оси абсцисс откладывают величину кинетической энергии электронов, выраженную в электронвольтах. Для большинства атомов и молекулмонотонно убывает с увеличением скорости электронов. Однако для определенных благородных газов (аргона, криптона) на плавный ход кривой накладывается резкий провал. При некоторой критической энергии электронов Е0эффективное сечение оказывается близким к нулю, вследствие чего электроны проходят через газ практически беспрепятственно. В этом заключается эффект Рамзауэра.

Эффект Рамзауэра резко противоречит классической теории рассеяния: она предсказывает монотонное уменьшение сечения с увеличением скорости электронов, связанное с уменьшением времени взаимодействия. Для интерпретации наблюдаемого рассеяния потребовалось привлечение квантовой механики. Более того, необходимость объяснения рассеяния медленных электронов дало мощный толчок развитию квантовой теории атомных столкновений.

Главным фактором, определяющим вероятность столкновения, приводящего к рассеянию, является потенциальное поле атома мишени, создаваемое входящими в его состав электронами и ядром. В таком поле налетающие электроны изменяют направление своего движения. Важную роль играет искажение потенциального поля падающими электронами вследствие образования у частицы-мишени наведенного дипольного момента. Поле этого наведенного дипольного момента вызывает добавочное притяжение между электроном и атомом-мишенью и оказывается решающим для появления эффекта Рамзауэра.

Результирующее потенциальное поле можно приближенно представить как глубокую узкую потенциальную яму, подобную приведенной на рис. 4 вместе с изображением атома-мишени.

Эффект Рамзауэра является следствием деструктивной интерференции электронных волн, отраженных от противоположенных стенок ямы. На самом же деле она имеет не отвесные, а пологие стенки. Модель прямоугольной потенциальной ямы оказывается достаточно хорошим приближением не для всех атомов, а лишь для атомов тяжелых благородных газов, отличающихся наиболее компактной структурой и резкой внешней границей. Крутизна стенки потенциальной ямы увеличивается с возрастанием атомного номера, и именно в связи с этим эффект Рамзауэра наиболее сильно выражен у ксенона.

Точное квантовомеханическое рассмотрение эффекта Рамзауэра с использованием модели трехмерной сферической потенциальной ямы является достаточно сложным. Ограничимся описанием данного явления на основе модели одномерной прямоугольной потенциальной ямы, позволяющим, тем не менее, выяснить его основные черты и получить приближенные количественные соотношения.

Движение в области прямоугольной потенциальной ямы. Объяснение эффекта Рамзауэра.Перейдем теперь к рассмотрению движения электронов в области одномерной прямоугольной ямы глубиной U0и шириной 2а, моделирующей взаимодействие электронов с атомами тяжелых благородных газов (рис. 5). Предположим, что поток электронов направлен слева направо. Согласно классической физике, ни один электрон (если Е>0) не повернет обратно от ямы, но квантовая теория приводит к тому, что они будут отражаться от мест с резким изменением потенциала в точках х= -а и х=+а. Решения уравнения Шредингера во всех трех областях являются синусоидальными, причем k1=k3=и k2=. Соответственно длина волны волновой функции в областях I и III оказывается одинаковой1=3=2,

причем больше, чем длина волны 2=2в потенциальной яме (область II).

Решение «автоматически» учитывает, что в области I происходит интерференция волн, отраженных от передней и задней стенок ямы. Волновые функции для разных областей должны сшиваться на границах (при x=-a и x=+a) с обеспечением непрерывности и, что позволяет выразить амплитуды отраженных и прошедших волн через амплитуду падающей волны. В конечном счете алгебраическая структура решения оказывается довольно сложной.

Иногда, однако, интерференция приводит к простому результату. Поскольку отражения при x=a приблизительно равны по амплитуде и отличаются напо фазе, то, если разность хода, равная удвоенной ширине ямы 4а, удовлетворяет условию 4а=2, обе отраженные волны почти полностью погашаются вследствие деструктивной интерференции. Таким образом, если кинетическая энергия электрона E0соответствует глубине и ширине потенциальной ямы:

(11)

то в области I совсем не будет отраженной волны. Иными словами, проходят все электроны: поток электронов ведет себя так, как если бы ямы и рассеяния вообще не было.

Эта простая теория и объясняет в общих чертах эффект Рамзауэра, причем в (11) под аследует понимать радиус атома. Полученное выражение, естественно, является приближенным. Более адекватно отражает существо явления модель трехмерной потенциальной ямы. Электроны, пролетающие мимо атома с заданной скоростью, испытывают рассеяние, зависящее от прицельного расстояния. В квантовой механике одновременное задание скорости и прицельного расстояния невозможно в связи с соотношением неопределенностей. Значит, решая задачу при фиксированной начальной скорости (кинетической энергии электронов), приходится допускать широкий спектр величин прицельного параметра и момента количества движенияL. Возможные значения момента определяются квантовым числом:

а соответствующие им собственные функции пропорциональны полиномам Лежандра P(cos). Поэтому волновую функцию представляют в виде разложения по указанным полиномам. При малых скоростях, когда наблюдается эффект Рамзауэра, в ее разложении обычно существенен только первый член с=0, определяющий изотропное рассеяние. Уменьшение эффективного сечения рассеяния связывают с условиями, при которых сдвиг фазы нулевой гармоники в области взаимодействия отличается наот сдвига фазы при отсутствии взаимодействия. Волновая функция вдали от атома такая же, как и при отсутствии взаимодействия и, следовательно, амплитуда рассеяния, соответствующая нулевой гармонике, обращается в нуль. Гармоники с=0 дают малый вклад в сечение рассеяния, что приводит к глубокому минимуму сечения при E=E0. Аналогичный эффект, в принципе, должен наблюдаться и при больших скоростях, при которых сдвиг фаз в области взаимодействия равен целому кратному. Однако, соответствующие минимумы сглаживаются, поскольку с увеличением скорости возрастает влияние гармоник с>0.

Значение энергии, соответствующее максимуму рассеяния при эффекте Рамзауэра, может быть приближенно найдено в модели одномерной ямы из условия 4а=2+1/22=3/22. Размещение на удвоенной ширине ямы дополнительной полуволны 1/22 приводит к тому, что происходит полная компенсация сдвига фаз, возникающего при отражении от передней стенки, и следовательно, интерференционное усиление рассеянной волны. Энергию Е1, соответствующую максимуму рассеяния, можно найти из условия

(12)

Из формул (11) и (12) легко получить приближенное соотношение, связывающее энергии E0, E1и глубину потенциальной ямы U0:

U0=0,8E1-1,8E0.

Экспериментальное исследование эффекта Рамзауэра с помощью тиратрона. В данной работе эффект Рамзауэра на атомах ксенона исследуется с помощью тиратрона ТГ3-0,1/1,3, наполненного ксеноном при низком давлении (его устройство показано на рис. 6). Катод 2 и анод 6 помещены внутрь первой сетки, имеющей вид коробки 1 с перегородками, в которых проделаны щели 3 и 5, параллельные аноду. Вторая сетка – две параллельные пластины 4 – помещена за щелью 3 первой сетки. Если обе сетки соединить, а между катодом и сетками приложить ускоряющее напряжение, величина которого меньше первого потенциала возбуждения ксенона, то ускоренные электроны, пройдя щель далее в пространстве между второй сеткой 4 и щелью 5 движутся с постоянной скоростью и попадают на анод 6. На всем пути электроны претерпевают упругие столкновения с атомами ксенона. Чем больше эффективное сечение рассеяния, тем меньше анодный ток, поскольку рассеянные электроны попадают на сетки и поглощаются ими. Изменяя ускоряющее напряжение, можно по точкам построить вольтамперную характеристику (рис. 7). Она согласно формуле (10) представляет собой обратную зависимость эффективного сечения упругого рассеяния электронов от их энергии. Очевидно, что максимум тока (при энергии электронов Е0) соответствует рамзауэровской резонансной прозрачности ксенона, а минимум тока (при Е1) - максимуму эффективного сечения. Крутой излом вольтамперной характеристики, наступающий при дальнейшем увеличении ускоряющего напряжения свыше Еi, связан с началом ионизации электронными ударами.

Появление в процессе ударной ионизации положительных ионов приводит к частичной компенсации объемного отрицательного заряда возле катода и уменьшению запирающего действия этого заряда, в результате чего ток начинает быстро возрастать. Следовательно, Еiимеет смысл энергии ионизации наполняющего тиратрон ксенона.

Другой метод исследования эффекта Рамзауэра основывается на осциллографировании анодного тока при подаче на сетку периодически изменяющегося напряжения. В данной работе используется синусоидальное напряжение звуковой частоты, которое создает пульсации тока в положительные полупериоды. В отрицательные полупериоды ток через тиратрон не течет.

Пока амплитудное значение напряжение в вольтах не превышает величину Е0, выраженную в электронвольтах, пульсация тока имеет наиболее простую, приблизительно синусоидальную форму (рис. 8). Дальнейшее увеличение амплитуды напряжения приводит к появлению на возрастающей и ниспадающей ветвях пульсации тока четко выраженных пиков Рамзауэра, появляющихся в те моменты времени, когда напряжение проходит через значение Е0. Как только амплитудное значение напряжения становится больше величины Е1в середине пульсации вместо минимума начинает формироваться максимум (рис. 8, б, в). Превышение амплитудным значением напряжения величины энергии ионизации Еi приводит к резкому излому перед серединой пульсации (рис. 8, г), обусловленному ионизационным усилением тока, механизм которого рассмотрен выше.

Необходимо отметить, что ионизационное усиление тока не прекращается моментально с прекращением процесса ионизации, а происходит еще на протяжении времени, необходимого для рекомбинации ионов и их исчезновения из межэлектродного пространства. Поэтому, если частота ускоряющего напряжения превышает некоторое значение, при котором интервал времени оi(см. рис. 8, г) между появлением значений напряжения Е0и Еi оказывается меньше характерного времени рекомбинациирек, то будет происходить ионизационное усиление рамзауэрского пика на ниспадающей ветви осциллограммы анодного тока. В результате пульсация тока приобретает асимметричную форму.

Очевидно, амплитудные значения напряжений, при которых осциллограммы пульсаций имеют форму, промежуточную между а и б, б и в, в и г (см рис. 8), будут равны соответственно Е0, Е1, Еi.

Определив Е0и Еiможно по формуле (13) вычислить глубину потенциальной ямы, а затем по формуле (11) - ее радиуса.

Соседние файлы в папке Atom