7. Логическая мпз.

Логические МПЗ - это модели, основанные на правилах формальной логики.

Доказательство любой теоремы состоит в том, что в к ее аксиомам добавляется логическое выражение, определяющее теорему, а затем подтверждается общезначимость полученной системы.

Попытки решить эту задачу предпринимал еще Г.Ф. Лейбниц (1646 - 1716), затем данной проблемой занимались Д. Пеано и математики школы Д. Гильберта. А. Чёрчем и А. Тьюрингом (независимо друг от друга) было показано, что не существует никакого общего алгоритма, проверяющего общезначимость формул в логике.

Говорят, что проблема проверки общезначимости любой формулы в логике первого порядка алгоритмически неразрешима.

Эрбраном (J. Herbrand) в 1930 году был получен алгоритм, позволяющий за конечное число шагов найти интерпретацию, которая опровергает некоторую логическую формулу. Если формула общезначима, то, как известно, не существует её опровергающей интерпретации. Исходя из этого, обычно вместо доказательства общезначимости некоторой формулы доказывается её противоречивость. Конечность такого процесса и гарантируется методами Эрбрана. Целью является доказательство противоречивости формулы. Формула невыполнима (противоречива), если она ложна на всех её интерпретациях.

Достаточно рассматривать лишь все интерпретации над некоторой специальной областью, называемой Эрбрановским универсумом множества дизъюнктов этой формулы (множества S), противоречивость которого следует зафиксировать.

Когда в логическом выражении отсутствуют переменные, его называют основным выражением (основным примером). Таким образом, можно говорить об основных термах, атомах, литерах и дизъюнктах.

Теорема Эрбрана может быть сформулирована следующим образом:

Вариант 2: множество дизъюнктов невыполнимо тогда и только тогда, когда существует конечное невыполнимое множество S' основных примеров дизъюнктов из S.

Метод Девиса и Патнема

Продолжили работу Эрбрана и улучшили уже описанный алгоритм, исключив из него все недочеты.

Поиск ответов на вопросы

Выделяют вопросно-ответные системы следующих классов:

1. Класс А - вопросы, требующие ответа "да/нет". При ожидании положительного ответа строится его логическая формула. При ожидании ответа "нет" строимое множество формируется заново.

2. Класс В - вопросы, требующие ответа "кто", "где" или "при каких условиях". Результатом является не ответ типа да/нет, а результат выполненной подстановки.

3. Класс С - вопросы, требующие ответа в виде последовательности действий.

Клозы, факты, правила и теоремы (запросы)

Основой любой системы логического вывода является представление знаний в виде некоторой логической формулы. Непротиворечивость формулы говорит об обоснованности этих знаний.

Подтверждение правильности суждения производится следующим образом:

+ суждение (теорема) формулируется в виде некоторой логической формулы;

+ строится отрицание формулы предполагаемого суждения;

+ исходное множество, представлявшее знания, объединяется с множеством вопроса (проверяемого суждения);

+ факт получения противоречивого множества трактуется как подтверждение ожидаемой ложности отрицания утверждения-запроса, или (что то же самое) как подтверждение истинности посылки-запроса.

Пример: язык Пролог - язык и система логического программирования, основанные на языке предикатов, математической логики дизъюнктов Хорна, представляющей собой подмножество логики предикатов первого порядка