All lectures pdfs / Ур.мат.физ / Lecture_15 / 2011-03-17 / Лекция_15

\documentclass[a4paper,12pt,oneside]{book}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage[mathscr]{eucal}
\usepackage{amsmath, amssymb, graphicx, longtable, color, cite}
\usepackage{geometry}
\geometry{top=1cm} \geometry{bottom=0.5cm}

\begin{document}
\pagestyle{myheadings}

\renewcommand{\thesection}{\S\arabic{section}}

\setcounter{section}{14}

\section{Гармонические функции \\в неограниченных областях}
%\noindent
В этом параграфе мы познакомимся с некоторыми свойствами гармонических функций в неограниченных областях.
Но сначала мы докажем одну важную теорему.\\
%
\textbf{Теорема 1 }(об устранении особенности)\\
Пусть функция $u(x)$ гармонична в области $\Omega\setminus\{x^0\}$,
$x^0\in \Omega$ - некоторая точка
($\Omega\subset R^n$ - ограниченная область).
Если при $x\rightarrow x^0$: $u(x)=o(U(x-x^0))$,
то существует $\lim\limits_{x\rightarrow x^0}u(x)=A$
и функция $u(x)$,
доопределенная в т.$x^0$ значением $A$,
гармонична в $\Omega$.\\
%
Доказательство.\\
%
Пусть шар $S_{R,x^0}\Subset\Omega$.
Обозначим через $v(x)$ классическое решение задачи $D_i$ в шаре $S_{R,x^0}$:
\begin{figure}[h]
\centering\includegraphics[width=0.4\textwidth]{pic_1.eps}
\end{figure}
\begin{equation*}
\left\{
  \begin{array}{l}
  \triangle_x v(x)=0,  \quad x\in S_{R,x^0};\\
  v|_{\partial S_{R,x^0}}=u|_{\partial S_{R,x^0}}.
  \end{array}
  \right.
\end{equation*}
Функция $w(x)=v(x)-u(x)$
гармонична в области $S_{R,x^0}\setminus\{x^0\}$ и $w|_{\partial S_{R,x^0}}~=~0$.
Покажем, что $w(x)~=~0$ в $\forall$ т.$x\in S_{R,x^0}\setminus\{x^0\}$.
Для этого рассмотрим две функции (n>2):
$$z_{\pm}(x)=\frac{\varepsilon}{|x-x^0|^{n-2}}\pm w(x),$$
$\varepsilon>0$ - некоторое число.

Функции $z_{\pm}(x)$ - гармоничны в $S_{R,x^0}\setminus\{x^0\}$ и
$$z_{\pm}|_{\partial S_{R,x^0}}=\frac{\varepsilon}{R^{n-2}}>0.$$
Т.к. $u(x)=o(\frac{1}{|x-x^0|^{n-2}})$ при $x\rightarrow x^0$, то
$$z_{\pm}|_{|x-x^0|=\rho}=\frac{\varepsilon}{\rho^{n-2}}\pm w|_{|x-x^0|=\rho}=\frac{\varepsilon}{\rho^{n-2}}+
  o\biggl(\frac{1}{\rho^{n-2}}\biggr).$$
Следовательно, при достаточно малых $\rho>0$: $z_{\pm}|_{|x-x^0|=\rho}>0$.

Согласно принципу максимума (см. $\S$12):
$$z_{\pm}(x)>0\quad \mbox{при}\ \rho\leq|x-x^0|\leq R.$$

Возьмем теперь любую т.$x^1\in S_{R,x^0}\setminus\{x^0\}$.
Тогда существует такое достаточно малое число $\rho>0$,
что
$$x^1\in\{x;  \rho\leq|x-x^0|\leq R\}.$$
Следовательно:
$$z_{\pm}(x^1)>0,$$
т.е.
$$|w(x^1)|<\frac{\varepsilon}{|x^1-x^0|^{n-2}},$$
откуда в силу произвольности выбора числа $\varepsilon>0$ следует, что
$$w(x^1)=0.$$
Итак, функция $u(x)$ совпадает с функцией $v(x)$ в области $S_{R,x^0}\setminus\{x^0\}$.
Доопределяя функцию $u(x)$ в т.$x^0$ значением $A=v(x^0)$,
мы видим, что она совпадает с гармонической функцией $v(x)$
во всем шаре $S_{R,x^0}$,
что и требовалось доказать.

Пусть $\Omega$ - неограниченная область из $R^n$,
причем множество $R^n\setminus\Omega$ содержит хотя бы одну внутреннюю точку,
в которую мы поместим начало координат.
Рассмотрим следующее взаимно-однозначное отображение
области $R^n\setminus\{0\}$ на себя:
\begin{equation}                                                                                         %(1)
x'=\frac{x}{|x|^2}.
\end{equation}
Отображение (1) называется \textit{преобразованием инверсии }
(относительно сферы $|x|=1$).
Мы уже знакомы с преобразованием инверсии (см. $\S$13).
Отображение, обратное к (1) имеет вид, совершенно аналогичный (1):
{\renewcommand{\theequation}{$1'$}
\begin{equation}                                                                                         %(1')
x=\frac{x'}{|x'|^2},
\end{equation}}
\setcounter{equation}{1}
т.е. ($1'$) тоже преобразование инверсии.

Два типа неограниченных областей:
\begin{figure}[h]
\centering\includegraphics[width=0.6\textwidth]{pic_2.eps}
\end{figure}
$\Omega_1\Subset\Omega$

($\overline{\Omega_1}\subset\Omega$)

$R^n\setminus\overline{\Omega}$ - ограниченное множество.

начало координат ``0'' - изолированная граничная точка области
$\Omega '$
\begin{figure}[h]
\centering\includegraphics[width=0.6\textwidth]{pic_3.eps}
\end{figure}
$\partial\Omega$ - неограниченное множество

начало координат "0"$\in\partial\Omega'$

Пусть в области $\Omega$ задана функция $u(x)$, $x\in\Omega$.
Функция
\begin{equation}                                                                                         %(2)
u'(x')=\frac{1}{|x'|^{n-2}}u\biggl(\frac{x'}{|x'|^{2}}\biggr),\quad u'(x')=Ke\ u(x)
\end{equation}
определенная в области $\Omega'$ называется \textit{преобразованием Кельвина} функции $u(x)$, $x\in\Omega$.

С учетом формул (1), ($1'$), (2) легко получаем, что преобразование, обратное к
преобразованию Кельвина, тоже есть преобразование Кельвина.

В самом деле, поскольку
$$x=\frac{x'}{|x'|^2}, \quad x'=\frac{x}{|x|^2}, \quad |x|=\frac{1}{|x'|},$$
то из (2) получаем:
{\renewcommand{\theequation}{$2'$}
\begin{equation}                                                                                         %(2')
u(x)=\frac{1}{|x|^{n-2}}u'\biggl(\frac{x}{|x|^{2}}\biggr),\quad
\end{equation}}
т.е. $u(x)=Ke\ u'(x')$ и $Ke\cdot Ke=I$.\\
%
Справедлива\\
%
\textbf{Теорема 2.}\\
Если $u(x)$ гармоничная в $\Omega$, то $u'(x')$ гармонична в $\Omega'$.\\
%
Доказательство.\\
%
Пусть $\Omega'_1\Subset\Omega'$, $\Omega_1$ - прообраз области $\Omega'_1$ при преобразовании инверсии (1).
Ясно, что $\Omega_1\Subset\Omega$ и $\Omega_1$ - ограниченная область.
Функция $u(x)$ по условию теоремы гармонична в $\Omega$.
Значит она гармоничная в $\Omega_1$ и $u(x)\in C^2(\overline{\Omega_1})$.
Как следует из $\S$12 (см. теорему 1), для функции $u(x)$ справедливо представление:
{\renewcommand{\theequation}{$*$}
\begin{equation}                                                                                                                  %(**)
u(x)= \int\limits_{\partial\Omega_1}\biggl\{u(\xi)\frac{\partial U(x-\xi)}{\partial N_\xi}-
     U(x-\xi)\frac{\partial u(\xi)}{\partial N_\xi}\biggr\}dS_\xi.
\end{equation}}
В силу (2) имеем:
{\renewcommand{\theequation}{$**$}
\begin{equation}                                                                                                                   %(*)
u'(x')= \int\limits_{\partial\Omega_1}\biggl\{u(\xi)\frac{1}{|x'|^{n-2}}\frac{\partial U\bigl(\frac{x'}{|x'|^{2}}-\xi\bigr)}
     {\partial N_\xi}-
     \frac{1}{|x'|^{n-2}}U\biggl(\frac{x'}{|x'|^{2}}-\xi\biggr)\frac{\partial u(\xi)}{\partial N_\xi}\biggr\}dS_\xi.
\end{equation}}
\setcounter{equation}{2}
Поскольку функция
$$\biggl(\frac{1}{|x'|\bigl|\frac{x'}{|x'|^{2}}-\xi\bigr|} \biggr)^{n-2}$$
с точностью до постоянного множителя совпадает с функцией $g_1(x',\xi)$
(см. $\S$13), то функция $\frac{1}{|x'|^{n-2}}U\bigl(\frac{x'}{|x'|^{2}}-\xi\bigr)$
и функция $\frac{\partial}{{\partial N_\xi}}\bigl\{ \frac{1}{|x'|^{n-2}}U\bigl(\frac{x'}{|x'|^{2}}-\xi\bigr)\bigr\}$
гармоничны по $x'$  при $\xi\neq\frac{x'}{|x'|^{2}}$.
Это означает, что $u'(x')$ гармонична в области $\Omega_1'$, а значит и в $\Omega'$.

В дальнейшем будем рассматривать неограниченные области первого типа.\\
%
\textbf{Определение.}\\
Гармоническая в $\Omega$ функция $u(x)$ называется \textit{регулярной} на бесконечности, если
$$u(x)=o(1) \ (n>2)$$
или
$$u(x)=o(\ln|x|) \ (n=2)\quad \mbox{при}\ |x|\rightarrow\infty.$$
%
%
\textbf{Теорема 3.}\\
Пусть функция $u(x)$ гармонична в $\Omega$ и регулярна на бесконечности.
Тогда функция $u'(x')=Ke\ u(x)$ гармонична в $\Omega_0'=\Omega'\cup\{0\}$. \\
%
Доказательство.\\
%
В результате преобразования инверсии (1) область $\Omega$ переходит в область $\Omega'$
(для которой начало координат - изолированная граничная точка).

В силу теоремы 2, $u'(x')=Ke\ u(x)$ гармоничная в $\Omega'$.
Кроме того
$$u'(x')=\frac{1}{|x'|^{n-2}}u\biggl(\frac{x'}{|x'|^{2}}\biggr)=o(|x'|^{2-n})\ (n>2)$$
и
$$u'(x')=o(\ln|x'|) \ (n=2)\quad \mbox{при}\ x'\rightarrow 0,$$
т.е.
$$u'(x')=o(U(x')),\ x'\rightarrow 0$$
в силу регулярности на бесконечности функции $u(x)$.
Тогда по теореме 1 (об устранении особенности) существует
$\lim\limits_{x'\rightarrow 0}u'(x')=A$ и функция $u'(x')$,
доопределенная при $x'=0$ значением $A$, является гармонической в области $\Omega_0'$.\\

Следующую теорему сформулируем без доказательства.\\
%
\textbf{Теорема 4.}\\
Пусть функция $u(x)$ - гармонична в $\Omega$ и регулярна на бесконечности.
Тогда существует постоянная $R>0$ такая, что для $\forall x$: $|x|>R$
функция $u(x)$ разлагается в абсолютно (и равномерно) сходящийся
(вместе со всеми производными) ряд
$$u(x)=\sum\limits_{|\alpha|\geq 0}A_\alpha\frac{x^\alpha}{|x|^{n-2+2|\alpha|}}$$
и имеют место неравенства
\begin{equation}                                                                                                                   %(3)
\biggl|D_x^\alpha u-D_x^\alpha\biggl\{\frac{A_0}{|x|^{n-2}}\biggr\}\biggr|\leq \frac{C_\alpha}{|x|^{n+|\alpha|-1}},
\end{equation}
где $C_\alpha>0$ - некоторые постоянные.\\
%
\textbf{Замечание.}\\
Доказательство теоремы основано на том, что по теореме 3
$u'(x')=Ke\ u(x)$ гармонична в $\Omega_0'$.
В силу теоремы 6 из $\S$12 функция $u'(x')$ в шаре $|x'|<R^0$
разлагается в ряд Тейлора
$$u'(x')=\sum\limits_{|\alpha|\geq 0}A_\alpha {x'}^{\alpha}, \quad A_\alpha=\frac{1}{\alpha!}D^\alpha u'(0).$$
Но тогда для всех $x$: $|x|>R=\frac{1}{R_0}$
справедливо разложение
$$u(x)=Ke\ u'(x')=\frac{1}{|x|^{n-2}}\sum\limits_{|\alpha|\geq 0}A_\alpha\biggl(\frac{x}{|x|^2}\biggr)^\alpha=
   \sum\limits_{|\alpha|\geq 0}A_\alpha\frac{x^\alpha}{|x|^{n-2+2|\alpha|}}.$$
Итак, с помощью преобразования Кельвина исследование гармонической функции в
неограниченной области $\Omega$ может быть сведено к исследованию
гармонической функции в ограниченной области $\Omega'$.

Рассмотрим теперь задачу $D_e$:
\begin{equation}                                                                                                %(4)
\left\{
  \begin{array}{l}
  \triangle_x u=0,  \quad x\in\Omega;\\
  u|_{\partial\Omega}=\varphi(x), \quad x\in\partial\Omega.
  \end{array}
  \right.
\end{equation}
\begin{figure}[h]
\centering\includegraphics[width=0.4\textwidth]{pic_4.eps}
\end{figure}

Что назвать классическим решением задачи (4)? Единственно ли
классическое решение, если оно существует?

Заметим сразу, что в этом случае возникает проблема с единственностью решения
задачи $D_e$ (если не накладывать больше никаких ограничений на решение задачи $D_e$).

В самом деле, рассмотрим задачу $D_e$ следующего вида ($n=2$):
{\renewcommand{\theequation}{$4'$}
\begin{equation}                                                                                                                   %(4')
\left\{
  \begin{array}{l}
  \triangle_x u=0,  \quad |x|>1;\\
  u|_{|x|=1}=0.
  \end{array}
  \right.
\end{equation}}
\begin{figure}[h]
\centering\includegraphics[width=0.4\textwidth]{pic_5.eps}
\end{figure}

Очевидно, что функции
{\renewcommand{\theequation}{$*$}
\begin{equation}                                                                                                                   %(*)
\left\{
  \begin{array}{l}
  C \ln r,  \quad C(r^k-r^{-k})\cos k\theta,\\
  C((r^k-r^{-k})\sin k\theta,\ k=1,2,\ldots
  \end{array}
  \right.
\end{equation}}
\setcounter{equation}{4}
где $r\cos\theta=x_1$, $r\sin\theta=x_2$; %\\
$C$ - произвольная постоянная, %\\
удовлетворяют задаче ($4'$).
Какую же из них принять за решение?
Потребуем, чтобы решение задачи (4) было регулярно на бесконечности, т.е.
$u(x)=o(1)$ ($n>2$) или $u(x)=o(\ln|x|)$ ($n=2$)
при $|x|\rightarrow\infty$.
Очевидно, что в случае задачи ($4'$) из всего набора решений ($*$) надо выбрать решение $u\equiv 0$
которое и будет регулярным на бесконечности.\\
%
%
\textbf{Теорема 5.}\\
При любой непрерывной функции $\varphi$ существует единственное классическое решение
задачи $D_e$ (4).\\
%
Доказательство.\\
%
Пусть $u(x)\in C^2(\Omega)\cap C(\overline{\Omega})$ - классическое решение задачи $D_e$ (4).
Тогда функция $u'(x')$ - гармонична в области $\Omega_0'$;
кроме того
$$u'(x')|_{x'\in\partial\Omega_0'}=\varphi'(x')=Ke\ \varphi(x),$$
$$u'(x')\in C^2(\Omega_0')\cap C(\overline{\Omega_0'}),$$
т.е. $u'(x')$ - классическое решение задачи $D_i$
\begin{equation}                                                                                                %(5)
\left\{
  \begin{array}{l}
  \triangle_{x'} u'=0,  \quad x'\in\Omega_0';\\
  u'|_{\partial\Omega_0'}=\varphi'(x'), \quad x'\in\partial\Omega_0'.
  \end{array}
  \right.
\end{equation}
Итак, под классическим решением задачи $D_e$ (4) мы будем понимать
функцию $u(x)\in C^2(\Omega)\cap C(\overline{\Omega})$,
гармоничную в области $\Omega$,
регулярную на бесконечности и принимающую на границе $\partial\Omega$ заданное
значение $\varphi(x)$, $x\in\partial\Omega$ ($\varphi(x)\in C(\partial\Omega)$).

Принцип максимума в этом случае не работает!

Обратно, если $u'(x')$ - классическое решение задачи $D_i$ (5), то
$u(x)=Ke\ u'(x')$ - гармонична в $\Omega$, непрерывна в $\overline{\Omega}$, причем
$$u|_{\partial\Omega}=\varphi(x),$$
регулярна на бесконечности (?), т.е.
$u(x)$ - классическое решение задачи (4).

Значит, существование и единственность классического решения
задачи (4) вытекает из теоремы существования и единственности для задачи  $D_i$.\\
%
%
\textbf{Задача.}\\
Рассмотрим внешнюю третью краевую задачу
\begin{equation}                                                                                                %(6)
\left\{
  \begin{array}{l}
  \triangle_x u=0,  \quad x\in\Omega;\\
  \{\frac{\partial u}{\partial N}+\sigma(x)u\}|_{\partial\Omega}=\varphi(x), \quad x\in\partial\Omega.
  \end{array}
  \right.
\end{equation}
Покажите, что при $\sigma(x)\geq 0$ классическое решение задачи (6) единственно.\\
%
%
\textbf{Указание.}\\
$u(x)\in C^2(\Omega)\cap C^1(\overline{\Omega})$ - классическое
решение ($u(x)$ - гармонична, регулярна на бесконечности).
\begin{figure}[h]
\centering\includegraphics[width=0.4\textwidth]{pic_6.eps}
\end{figure}
$u^{I}$, $u^{II}$- два решения, $u=u^{I}-u^{II}$ и т.д.

$\Omega_R=\Omega\cap S_{R,0}$

К функциям $v=u$, $u$ применим в области $\Omega_R$
первую формулу Грина из $\S$12
\begin{equation*}
  \left.
  \begin{array}{c}
  0=\int\limits_{\Omega_R} u\triangle u dx=\int\limits_{\partial\Omega}u\frac{\partial u}{\partial N}dS+
     \int\limits_{|x|=R}u\frac{\partial u}{\partial N}dS-
     \int\limits_{\Omega_R}|\nabla u|^2dx \ \Rightarrow
  \end{array}
  \right.
\end{equation*}
{\renewcommand{\theequation}{$+$}
\begin{equation}                                                                                                 %(+)
  \left.
  \begin{array}{c}
  \int\limits_{\Omega_R}|\nabla u|^2dx+\int\limits_{\partial\Omega}\sigma u^2 dS=
     \int\limits_{|x|=R}u\frac{\partial u}{\partial N}dS.
  \end{array}
  \right.
\end{equation}}
Используя теорему 4 этого параграфа, покажите, что при $R\rightarrow\infty$
правая часть (+) стремится к 0 и (+) переходит в следующее:
{\renewcommand{\theequation}{$++$}
\begin{equation}                                                                                                 %(++)
  \left.
  \begin{array}{c}
  \int\limits_{\Omega}|\nabla u|^2dx+\int\limits_{\partial\Omega}\sigma u^2 dS=0.
  \end{array}
  \right.
\end{equation}}
Пусть $\sigma(x)\geq 0$.
Тогда из первого слагаемого вытекает, что $u\equiv const$ в $\Omega$.
При $n>2$: $u(x)=o(1)$ при $|x|\rightarrow\infty$, т.е. $u\equiv 0$ в $\Omega$.
При $n=2$ и $\sigma(x)\neq 0$ равенство $u\equiv 0$  вытекает из второго слагаемого.
Если  $\sigma(x)\equiv 0$ (задача Неймана), то при $n>2$:  $u\equiv 0$
в силу регулярности на бесконечности, при $n=2$ решение определяется с точностью до константы.



\end{document}