All lectures pdfs / Ур.мат.физ / Lecture_15 / 2011-03-17 / Лекция_15

1

§15 Гармонические функции

внеограниченных областях

Вэтом параграфе мы познакомимся с некоторыми свойствами гармонических функций в неограниченных областях. Но сначала мы докажем одну важную теорему.

Теорема 1 (об устранении особенности)

Пусть функция u(x) гармонична в области - n fx0g, x0 2 - - некоторая точка (- ½ Rn - ограниченная область). Если при x ! x0: u(x) = o(U(x ¡ x0)), то

существует lim u(x) = A и функция u(x), доопределенная в т.x0 значением

x!x0

A, гармонична в -. Доказательство.

Пусть шар SR;x0 b -. Обозначим через v(x) классическое решение задачи Di в шаре SR;x0 :

R

x 0

½ 4xv(x) = 0; x 2 SR;x0 ;

vj@SR;x0 = uj@SR;x0 :

Функция w(x) = v(x) ¡ u(x) гармонична в области SR;x0 nfx0g и wj@SR;x0 = 0. Покажем, что w(x) = 0 в 8 т.x 2 SR;x0 n fx0g. Для этого рассмотрим две

функции (n>2):

§ w(x);

" > 0 - некоторое число.

Функции z§(x) - гармоничны в SR;x0 n fx0g и

" " µ 1 ¶

z§jjx¡x0j=½ = ½n¡2 § wjjx¡x0j=½ = ½n¡2 + o ½n¡2 :

Следовательно, при достаточно малых ½ > 0: z§jjx¡x0j=½ > 0. Согласно принципу максимума (см. x12):

z§(x) > 0 при ½ · jx ¡ x0j · R:

Возьмем теперь любую т.x1 2 SR;x0 n fx0g. Тогда существует такое достаточно малое число ½ > 0, что

2

откуда в силу произвольности выбора числа " > 0 следует, что

w(x1) = 0:

Итак, функция u(x) совпадает с функцией v(x) в области SR;x0 nfx0g. Доопределяя функцию u(x) в т.x0 значением A = v(x0), мы видим, что она совпадает с гармонической функцией v(x) во всем шаре SR;x0 , что и требовалось доказать.

Пусть - - неограниченная область из Rn, причем множество Rn n - содержит хотя бы одну внутреннюю точку, в которую мы поместим начало координат. Рассмотрим следующее взаимно-однозначное отображение области

Отображение (1) называется преобразованием инверсии (относительно сферы jxj = 1). Мы уже знакомы с преобразованием инверсии (см. x13). Отображение, обратное к (1) имеет вид, совершенно аналогичный (1):

начало координат “0” - изолированная граничная точка области -0 @- -

неограниченное множество начало координат "0"2 @-0

Пусть в области - задана функция u(x), x 2 -. Функция

определенная в области -0 называется преобразованием Кельвина функции u(x), x 2 -.

С учетом формул (1), (10), (2) легко получаем, что преобразование, обратное к преобразованию Кельвина, тоже есть преобразование Кельвина.

т.е. u(x) = Ke u0(x0) и Ke ¢ Ke = I. Справедлива

Теорема 2.

Если u(x) гармоничная в -, то u0(x0) гармонична в -0. Доказательство.

Пусть -01 b -0, -1 - прообраз области -01 при преобразовании инверсии (1). Ясно, что -1 b - и -1 - ограниченная область. Функция u(x) по условию теоремы гармонична в -. Значит она гармоничная в -1 и u(x) 2 C2(-1). Как следует из x12 (см. теорему 1), для функции u(x) справедливо представление:

значит и в -0.

В дальнейшем будем рассматривать неограниченные области первого типа.

Определение.

Гармоническая в - функция u(x) называется регулярной на бесконечности, если

u(x) = o(1) (n > 2)

или

u(x) = o(ln jxj) (n = 2) при jxj ! 1:

Теорема 3.

Пусть функция u(x) гармонична в - и регулярна на бесконечности. Тогда

функция u0(x0) = Ke u(x) гармонична в -00 = -0 [ f0g. Доказательство.

В результате преобразования инверсии (1) область - переходит в область -0 (для которой начало координат - изолированная граничная точка).

В силу теоремы 2, u0(x0) = Ke u(x) гармоничная в -0. Кроме того

и

u0(x0) = o(ln jx0j) (n = 2) при x0 ! 0;

5

Заметим сразу, что в этом случае возникает проблема с единственностью решения задачи De (если не накладывать больше никаких ограничений на решение задачи De).

В самом деле, рассмотрим задачу De следующего вида (n = 2):

½ 4xu = 0; jxj > 1; ujjxj=1 = 0:

Очевидно, что функции

½ C ln r; C(rk ¡ r¡k) cos kµ;

C((rk ¡ r¡k) sin kµ; k = 1; 2; : : :

где r cos µ = x1, r sin µ = x2; C - произвольная постоянная, удовлетворяют задаче (40). Какую же из них принять за решение? Потребуем, чтобы решение задачи (4) было регулярно на бесконечности, т.е. u(x) = o(1) (n > 2) или u(x) = o(ln jxj) (n = 2) при jxj ! 1. Очевидно, что в случае задачи (40) из всего набора решений (¤) надо выбрать решение u ´ 0 которое и будет регулярным на бесконечности.

Теорема 5.

При любой непрерывной функции ' существует единственное классическое решение задачи De (4).

Доказательство.

Пусть u(x) 2 C2(-)\C(-) - классическое решение задачи De (4). Тогда функция u0(x0) - гармонична в области -00; кроме того

Итак, под классическим решением задачи De (4) мы будем понимать функцию u(x) 2 C2(-) \ C(-), гармоничную в области -, регулярную на бесконечности и принимающую на границе @- заданное значение '(x), x 2 @-

('(x) 2 C(@-)).

Принцип максимума в этом случае не работает!

Обратно, если u0(x0) - классическое решение задачи Di (5), то u(x) = Ke u0(x0) - гармонична в -, непрерывна в -, причем

uj@- = '(x);

6

регулярна на бесконечности (?), т.е. u(x) - классическое решение задачи (4). Значит, существование и единственность классического решения задачи

(4) вытекает из теоремы существования и единственности для задачи Di.

Задача.

Рассмотрим внешнюю третью краевую задачу

Покажите, что при ¾(x) ¸ 0 классическое решение задачи (6) единственно.

Указание.

u(x) 2 C2(-) \ C1(-) - классическое решение (u(x) - гармонична, регулярна на бесконечности). uI , uII - два решения, u = uI ¡ uII и т.д.

SR,0

R n \

Пусть ¾(x) ¸ 0. Тогда из первого слагаемого вытекает, что u ´ const в -. При n > 2: u(x) = o(1) при jxj ! 1, т.е. u ´ 0 в -. При n = 2 и ¾(x) =6 0 равенство u ´ 0 вытекает из второго слагаемого. Если ¾(x) ´ 0 (задача Неймана), то при n > 2: u ´ 0 в силу регулярности на бесконечности, при n = 2 решение определяется с точностью до константы.