All lectures pdfs / Ур.мат.физ / Lecture_13 / 2011-02-12 / Лекция_13

1

§13 Краевые задачи для уравнений Лапласа и Пуассона. Задача Дирихле в шаре.

Сформулируем теперь некоторые краевые задачи для уравнений Лапласа и Пуассона (заметим, что в x7 мы уже сформулировали так называемую задачу Дирихле в круге (n = 2)).

Определение.

Первой краевой задачей (или задачей Дирихле) для уравнения Пуассона (или Лапласа) называется задача о нахождении функции u(x) 2 C2(-) \ C(-), удовлетворяющей следующим условиям:

f, ' - заданные функции.

Третьей краевой задачей для уравнения Пуассона (или Лапласа) называется задача о нахождении функции u(x) 2 C2(-) \ C1(-), удовлетворяющей следующим условиям:

Если ¾(x) ´ 0, то задача (2) называется второй краевой задачей (или задачей Неймана) для уравнения Пуассона (или Лапласа).

Замечание.

а) Давая определение краевых задач, мы сразу ведем речь о классическом решении той или иной задачи.

б) При n = 2 задачи (1), (2) имеют четкий физический смысл: например, они описывают распределение прогиба упругой мембраны (при том или ином способе крепления края мембраны).

в) Давая определение краевых задач, мы полагали, что - ½ Rn - ограниченная область. Задачи (1), (2) при этом еще иногда называют внутренними (interior): внутренняя задача Дирихле (Di), внутренняя задача Неймана (Ni) и т.д. Если область - ½ Rn - неограниченная и является внешностью ограниченного множества, то задачи (1), (2) называют внешними: внешняя задача Дирихле (De), внешняя задача Неймана (Ne) и т.д.

Замечание о задаче Коши.

Рассмотрим сначала вопрос о единственности классического решения внутренних задач (1), (2).

Теорема 1.

Задача Дирихле (1) и задача (2) при ¾(x) ¸ 0, x 2 @- не могут иметь более одного классического решения. Классическое решение задачи Неймана определяется с точностью до постоянной.

Доказательство.

Рассмотрим задачу Di. Пусть u1;2(x) - два решения задачи (1), отвечающие одним и тем же функциям f, '. Тогда их разность u(x) = u1(x)¡u2(x) является гармонической функцией в -, непрерывной в - и uj@- = 0. Поэтому, в силу принципа максимума (вернее, в силу следствия из Теоремы 12 предыдущего x12)

jjujjC(-) · jjujjC(@-) = 0; т.е. u ´ 0 в -:

Значит в u1(x) ´ u2(x) области -.

Рассмотрим задачу (2i). Пусть u1;2(x) - два решения задачи (2i), отвечающие одним и тем же функциям f, ', ¾. Тогда их разность u(x) = u1(x) ¡u2(x)

Используем теперь первую формулу Грина (3) из x12 (убедитесь в том, что она применима):

-@-

Из (¤) следует, что при ¾(x) ¸ 0 u(x) ´ 0 в -. Для задачи Ni из (¤) следует, что u(x) ´ const в -.

Замечание.

Легко может быть найдено необходимое условие разрешимости задачи Ni. В самом деле, пусть существует классическое решение задачи Ni. Тогда (см.

-@-

Перейдем к вопросу о существовании классического решения задачи Di. Сформулируем сначала общий результат.

Теорема 2.

Если:

а) f 2 C1(-), б) ' 2 C(@-),

в) граница @- достаточно гладкая,

то задача Di имеет классическое решение.

Замечание.

На первый взгляд кажется, что условие а) завышено (не достаточно ли для разрешимости задачи Di выполнения условия f 2 C(-)?). Однако заменить а) на это условие нельзя (можно построить пример, показывающий, что задача Di не имеет классического решения, если f 2 C(-)).

Методы доказательства теоремы 2: метод функций Грина, метод потенциалов. Рассмотрим эти методы. Остановимся сначала на методе функций Грина.

Предварительные сведения.

Пусть u 2 C2(-), n ¸ 2. Тогда в силу теоремы 1 из x12 (см. формулы (7), (9)):

Умножим (++) на произвольную непрерывную функцию d(z), z 2= - и вычтем его из (+). В итоге мы получим еще одно представление произвольной функции u 2 C2(-):

u(x) = fU(x ¡ y) ¡ d(z)U(z ¡ y)g4yu(y)dy+

3

Оказывается, что справедлив следующий факт: при весьма общих предположениях относительно области - существует такое отображение z = z(x), переводящее т.x 2 - в точку z 2= - и такая функция d(z(x)), что для всех x 2 - выполнено тождество

Пусть мы нашли такие функции z(x), d(z(x)). Тогда из (4) следует еще одно представление для произвольной функции u 2 C2(-):

u(x) = fU(x ¡ y) ¡ d(z(x))U(z(x) ¡ y)g4yu(y)dy+

Дальнейшие рассуждения будем проводить для случая, когда область - - шар: SR;0. Простые рассуждения позволят нам найти функции z(x), d(z(x)) с нужными свойствами. В самом деле, пусть n > 2. Тогда условие (5) перепишется

так:

jz(x) ¡ »jn¡2 ´ jx ¡ »jn¡2d(z(x)); j»j = R

или

Функцию z(x) будем искать в следующем виде

z = a(x)x;

где a(x) - неизвестная пока функция. Тогда

jz(x) ¡ »j2 = (z ¡ »; z ¡ ») = jz(x)j2 ¡ 2(z(x); ») + R2 ´ ´ b2(z(x))jx ¡ »j2 = b2(z(x))fjxj2 ¡ 2(x; ») + R2g

С учетом найденных функций z(x), d(z(x)) преобразуем формулу (6), переписав ее сначала для шара SR;0.

Поскольку:

5

Из него вытекает, что условие jRxj22 x 6= y эквивалентно условию jRyj22 y 6= x и поэтому, если точка (x; y) принадлежит области определения функции GR(x; y) то точка (y; x) принадлежит той же области.

Свойство г) доказывается с помощью принципа максимума.

Задача.

Докажите свойство в).

Вернемся снова к представлению (9). Оказывается, такое же представление справедливо, если на функцию u(x), jxj < R наложены менее ограничительные требования. А именно, справедлива

Теорема 3.

Пусть u 2 C2(SR;0) \ C(SR;0), функция 4u(x) - непрерывна и ограничена в шаре SR;0. Тогда для любой точки jxj < R справедливо равенство (9).

Доказательство теоремы простое по идее, но громоздкое по технике. Поэтому я ограничусь изложением только идеи доказательства. Возьмем шар SR;0,

e

R ! R, надо убедиться, что слагаемые в правой части формулы (9) имеют пределы для любой т.x: jxj < R. Закончим рассказ о предварительных сведе-

SR,0

x

S ~

R,0

0

ниях в этом параграфе ещё несколькими фактами. 1) Легко показать, что

2) Если уравнение 4xu(x) = 0 в шаре SR;0 имеет решение u 2 C2(SR;0), то это решение записывается в следующем виде:

Z

Формула (11) называется формулой Пуассона (при n = 2 формула Пуассона была получена нами в x7). В частности, задача Di следующего вида:

имеет единственное решение (почему?) u(x) ´ 1. Тогда в силу (11) имеем:

Z

8

jxj<R

При получении (+) использовались: теорема Фубини, свойство симметрии функции Грина GR(x; y). Поскольку ª(x) - произвольная финитная функция из C2(SR;0), то

4xw(x) = f(x);

что и требовалось доказать.

Итак, решение задачи Di в шаре SR;0

½4xu(x) = f(x); f(x) 2 C1(SR;0); x 2 SR;0; ujjxj=R = '(x); '(x) 2 C(@SR;0); jxj = R

дается формулой (14).