All lectures pdfs / Ур.мат.физ / Lecture_12 / 2011-01-30 / Лекция_12

1

§11 Гладкие решения уравнений Лапласа и Пуассона

Следуя x1 напомним, что уравнение Пуассона (Лапласа) записывается так

4x = Pn @22 , f(x) - заданная функция.

k=1 @xk

Уравнение (1) - эллиптическое. Как мы знаем, для него корректной является задача Коши с аналитическими данными на произвольной гиперповерхности ° : ª(x) = 0 (ª(x), f(x) - аналитические функции).

Однако, мы будем интересоваться классическими решениями уравнения

(1).

Определение.

Вещественная функция u = u(x) называется гармонической в области - µ Rn, если u(x) 2 C2(-) и в каждой точке x 2 -:

4xu = 0:

Прежде чем мы непосредственно займемся изучением уравнения (1) и различных задач для него, приведем некоторые вспомогательные сведения.

1) Формула Остроградского-Гаусса.

Пусть - ½ Rn- ограниченная область, @- - гладкая граница; N = N(x), x 2 @- - единичный вектор внешней нормали к границе @-:

N(x) = fN1(x); : : : ; Nn(x)g; Ni(x) 2 C(@-); i = 1; n; A(x) = fA1(x); : : : ; An(x)g; Ai(x) 2 C(-) \ C1(-); i = 1; n; divA(x) 2 C(-) (или divA(x) 2 L1(-));

-@-

2)Первая и вторая формулы Грина.

Пусть u(x) 2 C2(-) \ C1(-), v(x) 2 C1(-), 4xu(x) 2 L1(-), тогда, используя формулу (2), получим:

v ¢ 4xudx = fdiv(v ¢ ru) ¡ (ru; rv)gdx =

2

(3) - первая формула Грина.

Пусть u(x); v(x) 2 C2(-) \ C1(-); 4xu(x); 4xv(x) 2 L1(-). Тогда, из (3)

(4)- вторая формула Грина.

3)Введем в рассмотрение функцию

2¼n=2

где ¾n = ¡( n2 ) - площадь единичной сферы (см. x9).

Функция (5) называется фундаментальным решением для оператора Лапласа, поскольку

4xU(x) = 0 (при x 6= 0):

Вт.x = 0 функция U(x) имеет особенность.

4)SR;x- шар,

N

x

3

5) Для всего дальнейшего материала очень важной является следующая

Теорема 1.

Пусть функция u(x) 2 C2(-), n ¸ 2. Тогда для любой точки x 2 - имеет

Доказательство.

Пусть n > 2 (доказательство при n = 2 остается прежним). Зафиксируем

N

N x

произвольную точку x 2 - и возьмем малое число " > 0 такое, что S";x ½ -.

Обозначим через -" область - n S";x. К функциям u(»), U(x ¡ »), » 2 -" применим вторую формулу Грина (4):

Оценим второе слагаемое в правой части равенства (¤). С учётом (5), (6) получаем:

5

Пусть теперь z 2= - По второй формуле Грина (4) получаем (для пары функ-

3) Теорема 2 (первая теорема о среднем)

Пусть u(x) - гармоническая в области - функция, x - произвольная точка из области -. Тогда при любом r: 0 < r < d, где d = d(x) - расстояние точки x до границы @-, имеет место равенство

j»¡xj=r

что и требовалось доказать.

Задача.

В каком месте при доказательстве Теоремы 2 мы использовали условие 0 < r < d? Нельзя ли это условие заменить на следующее: 0 < r · d.

6

N

x

Sr,x

4)Теорема 3 (вторая теорема о среднем)

Вусловиях Теоремы 2 имеет место равенство:

Согласно Теореме 2 для любого ½: 0 < ½ < d имеет место равенство (12)

Z

¾n½n¡1u(x) = u(»)dS»:

j»¡xj=½

что и требовалось доказать.

5) Следующие теоремы о свойствах гармонических функций мы сформу-

где d = min j» ¡ xj - расстояние от точки x до границы @- области -.

»2@-

Замечание.

Теоремы 4,5 доказываются с использованием теорем о среднем. Наконец, используя теорему 5 можно доказать

Теорему 6.

Функция u(x), гармоническая в области -, является аналитической в -, т.е. в окрестности любой т.x0 2 -

fu(x) ¡ u(x0)gdx = 0:

S d2 ;x0

Поскольку u(x) · u(x0), то u(x) ´ u(x0) = M в Sd2 ;x0 ; в том числе, u(x1) = M, x1 2 L \ Sd2 ;x0 - центр шара Sd2 ;x1 и т.д.

Итак, u(x) ´ M в Sd ;xN и, в частности, u(y) = M, что и требовалось доказать. Таким образом2 показано, что или u(x) ´ const в - или для всех x 2 - имеет место правое из неравенств (15). Применяя эти рассуждения к функции ¡u(x), получим, что или u(x) ´ const в -, или для всех x 2 - имеет место левое из неравенств (15), что и требовалось доказать.

Следствие из теоремы 8.

Для любой гармонической в - функции u(x) 2 C2(-) \ C(-) имеет место неравенство: