Добавил:
Upload
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:All lectures pdfs / Ур.мат.физ / Lecture_12 / 2011-01-30 / Лекция_12
.tex\documentclass[a4paper,12pt,oneside]{book}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage[mathscr]{eucal}
\usepackage{amsmath, amssymb, graphicx, longtable, color, cite}
\usepackage{geometry}
\geometry{top=1cm} \geometry{bottom=0.5cm}
\begin{document}
\pagestyle{myheadings}
\renewcommand{\thesection}{\S\arabic{section}}
\setcounter{section}{10}
\section{Гладкие решения уравнений\\ Лапласа и Пуассона}
%\noindent
Следуя $\S$1 напомним, что уравнение Пуассона (Лапласа)
записывается так
\begin{equation}
\triangle_x u=f(x)(=0), \quad x\in\Omega\subseteq R^n, %(1)
\end{equation}
$\triangle_x=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{\partial^2}{\partial x_k^2}$, $f(x)$ - заданная функция.
Уравнение (1) - эллиптическое. Как мы знаем, для него корректной является \textbf{задача Коши} с
\emph{аналитическими данными }на произвольной гиперповерхности $\gamma:\ \Psi(x)=0$
($\Psi(x)$, $f(x)$ - аналитические функции).
Однако, мы будем интересоваться классическими решениями уравнения (1).\\
%
\textbf{Определение.}\\
Вещественная функция $u=u(x)$ называется \textit{гармонической } в области $\Omega\subseteq R^n$, если
$u(x)\in C^2(\Omega)$ и в каждой точке $x\in \Omega$:
$$\triangle_x u=0.$$
Прежде чем мы непосредственно займемся изучением уравнения (1) и различных задач для него,
приведем некоторые вспомогательные сведения.
1)\textbf{ Формула Остроградского-Гаусса.}\\
Пусть $\Omega\subset R^n$- ограниченная область, $\partial\Omega$
- гладкая граница;
$N=N(x)$, $x\in\partial\Omega$ - единичный вектор внешней нормали к границе $\partial\Omega$:\\
\begin{figure}[h]
\centering\includegraphics[width=0.6\textwidth]{pic_1.eps}
\end{figure}
$$N(x)=\{N_1(x),\ldots,N_n(x)\},\ N_i(x)\in C(\partial\Omega),\ i=\overline{1,n};$$
$$A(x)=\{A_1(x),\ldots,A_n(x)\},\ A_i(x)\in C(\overline{\Omega})\cap C^1(\Omega),\ i=\overline{1,n};$$
$$div A(x)\in C(\overline{\Omega})\ (\mbox{или}\ div A(x)\in L_1(\Omega));$$
тогда
\begin{equation}
\int\limits_{\Omega} div A(x)dx=\int\limits_{\partial\Omega}(A(x),N(x))dS. %(2)
\end{equation}
2) \textbf{Первая и вторая формулы Грина.}\\
Пусть $u(x)\in C^2(\Omega)\cap C^1(\overline{\Omega})$, $v(x)\in C^1(\overline{\Omega})$,
$\triangle_x u(x)\in L_1(\Omega)$,
тогда, используя формулу (2), получим:
\begin{equation} %(3)
\left.
\begin{array}{c}
\int\limits_{\Omega} v\cdot\triangle_x u dx=\int\limits_{\Omega} \{div(v\cdot\nabla u)-(\nabla u,\nabla v)\}dx=\\
=\int\limits_{\Omega}div(v\cdot\nabla u)dx-\int\limits_{\Omega}(\nabla u,\nabla v)dx=\int\limits_{\partial\Omega}v(N,\nabla u)dS-\\
-\int\limits_{\Omega}(\nabla u,\nabla v)dx=\int\limits_{\partial\Omega}v\cdot\frac{\partial u}{\partial N}dS-
\int\limits_{\Omega}(\nabla u,\nabla v)dx.
\end{array}
\right.
\end{equation}
(3) - первая формула Грина.
Пусть $u(x), v(x) \in C^2(\Omega)\cap C^1(\overline{\Omega})$;
$\triangle_x u(x), \triangle_x v(x) \in L_1(\Omega)$. Тогда, из
(3) следует
\begin{equation} %(4)
\int\limits_{\Omega}\{v\cdot\triangle_x u-u\cdot\triangle_x v\}dx=\int\limits_{\partial\Omega}\{v\cdot\frac{\partial u}{\partial N}-
u\cdot\frac{\partial v}{\partial N}\}dS.
\end{equation}
(4) - вторая формула Грина.
3) Введем в рассмотрение функцию
\begin{equation} %(5)
U(x)=\left\{
\begin{array}{ll}
-\frac{1}{(n-2)\sigma_n}\frac{1}{|x|^{n-2}},& n>2;\\
\frac{1}{2\pi}\ln|x|,& n=2,
\end{array}
\right.
\end{equation}
где
$\sigma_n=\frac{2\pi^{n/2}}{\Gamma(\frac{n}{2})}$ - площадь единичной сферы (см. $\S$9).
Функция (5) называется \textrm{фундаментальным решением для оператора Лапласа}, поскольку
$$\triangle_x U(x)=0\ (\mbox{при}\ x\neq 0).$$
В т.$x=0$ функция $U(x)$ имеет особенность.
4)
\begin{figure}[h]
\centering\includegraphics[width=0.6\textwidth]{pic_2.eps}
\end{figure}
$S_{R,x}$- шар,\\
$\xi\in \{\xi|\xi-x|=R\}$ - поверхность сферы:
$$N_\xi=\frac{\xi-x}{R},\quad \frac{\partial}{\partial N_\xi}=\biggl(\frac{\xi-x}{R},\nabla_\xi\biggr)=\frac{1}{R}((\xi-x),\nabla_\xi),$$
$$|\xi-x|=R,\quad \nabla_\xi=\biggl(\frac{\partial}{\partial\xi_1},\cdots,\frac{\partial}{\partial\xi_n}\biggr).$$
$$\frac{\partial}{\partial N_\xi}\biggl\{\frac{1}{|\xi-x|^{n-2}}\biggr\}=
\frac{1}{R}\biggl((\xi-x),\nabla_\xi\biggl\{\frac{1}{|\xi-x|^{n-2}}\biggr\}\biggr)=$$
$$=\frac{1}{R}\sum\limits_{k=1}^{n}(\xi_k-x_k)\frac{\partial}{\partial\xi_k}\biggl\{\frac{1}{|\xi-x|^{n-2}}\biggr\}=
-\frac{1}{R}\sum\limits_{k=1}^{n}(\xi_k-x_k)\frac{n-2}{2}\cdot\frac{2(\xi_k-x_k)}{R^n}=$$
$$=-\frac{n-2}{R^{n+1}}\cdot|\xi-x|^2=-\frac{n-2}{R^{n-1}}, \quad |\xi-x|=R.$$
Итак
\begin{equation} %(6)
\frac{\partial}{\partial N_\xi}\biggl\{\frac{1}{|\xi-x|^{n-2}}\biggr\}=-\frac{n-2}{R^{n-1}}, \quad |\xi-x|=R.
\end{equation}
5) Для всего дальнейшего материала очень важной является следующая\\
\textbf{Теорема 1.}\\
Пусть функция $u(x)\in C^2(\overline{\Omega})$, $n\geq 2$.
Тогда для любой точки $x\in \Omega$ имеет место равенство:
\begin{equation} %(7)
u(x)=\int\limits_{\Omega}U(x-\xi)\cdot\triangle_\xi u(\xi)d\xi+
\int\limits_{\partial\Omega}\biggl\{u(\xi)\cdot\frac{\partial U(x-\xi)}{\partial N_\xi}-
U(x-\xi)\cdot\frac{\partial u(\xi)}{\partial N_\xi}\biggr\}dS_\xi.
\end{equation}
%
Доказательство.\\
Пусть $n>2$ (доказательство при $n=2$ остается прежним).
\begin{figure}[h]
\centering\includegraphics[width=0.6\textwidth]{pic_3.eps}
\end{figure}
Зафиксируем произвольную точку $x\in \Omega$ и возьмем малое число
$\varepsilon>0$ такое, что $S_{\varepsilon,x}\subset \Omega$.
Обозначим через $\Omega_\varepsilon$ область
$\Omega\setminus\overline{S_{\varepsilon,x}}$. К функциям
$u(\xi)$, $U(x-\xi)$, $\xi\in \Omega_\varepsilon$ применим вторую
формулу Грина (4): {\renewcommand{\theequation}{$*$}
\begin{equation} %(*)
\left.
\begin{array}{c}
\int\limits_{\Omega_\varepsilon}\bigl\{U(x-\xi)\cdot\triangle_\xi u(\xi)-u(\xi)\cdot\triangle_\xi U(x-\xi)\bigr\}d\xi=\\[4mm]
=\int\limits_{\partial\Omega}\bigl\{U(x-\xi)\cdot\frac{\partial u(\xi)}{\partial N_\xi}-
u(\xi)\cdot\frac{\partial U(x-\xi)}{\partial N_\xi}\bigr\}dS_\xi+\\[4mm]
+\int\limits_{|\xi-x|=\varepsilon}\bigl\{U(x-\xi)\cdot\frac{\partial u(\xi)}{\partial N_\xi}-
u(\xi)\cdot\frac{\partial U(x-\xi)}{\partial N_\xi}\bigr\}dS_\xi.
\end{array}
\right.
\end{equation}}
\setcounter{equation}{7}
Оценим второе слагаемое в правой части равенства ($*$).
С учётом (5), (6) получаем:
\begin{equation*}
\left.
\begin{array}{c}
\int\limits_{|\xi-x|=\varepsilon}\bigl\{U(x-\xi)\cdot\frac{\partial u(\xi)}{\partial N_\xi}-
u(\xi)\cdot\frac{\partial U(x-\xi)}{\partial N_\xi}\bigr\}dS_\xi=\\[4mm]
=-\frac{1}{(n-2)\sigma_n\varepsilon^{n-2}}\int\limits_{|\xi-x|=\varepsilon}\frac{\partial u(\xi)}{\partial N_\xi}dS_\xi+
\frac{1}{(n-2)\sigma_n}\int\limits_{|\xi-x|=\varepsilon}u(\xi)
\frac{\partial}{\partial N_\xi}\bigl\{\frac{1}{|\xi-x|^{n-2}}\bigr\}dS_\xi=\\[4mm]
=-\frac{1}{(n-2)\sigma_n\varepsilon^{n-2}}\int\limits_{|\xi-x|=\varepsilon}\frac{\partial u(\xi)}{\partial N_\xi}dS_\xi+
\frac{1}{\sigma_n\varepsilon^{n-1}}\int\limits_{|\xi-x|=\varepsilon}u(\xi)dS_\xi=\\[4mm]
=u(x)+\frac{1}{\sigma_n\varepsilon^{n-1}}\int\limits_{|\xi-x|=\varepsilon}\{u(\xi)-u(x)\}dS_\xi
-\frac{1}{(n-2)\sigma_n\varepsilon^{n-2}}\int\limits_{|\xi-x|=\varepsilon}\frac{\partial u(\xi)}{\partial N_\xi}dS_\xi.\\
\biggl(1=\frac{1}{\sigma_n\varepsilon^{n-1}}\int\limits_{|\xi-x|=\varepsilon}dS_\xi !\biggr)
\end{array}
\right.
\end{equation*}
Поскольку
$$\biggl|\int\limits_{|\xi-x|=\varepsilon}\{u(\xi)-u(x)\}dS_\xi\biggr|\leq
\int\limits_{|\xi-x|=\varepsilon}|u(\xi)-u(x)|dS_\xi=O(\varepsilon)\sigma_n \varepsilon^{n-1},$$
$$\biggl|\int\limits_{|\xi-x|=\varepsilon}\frac{\partial u(\xi)}{\partial N_\xi}dS_\xi\biggr|\leq
\int\limits_{|\xi-x|=\varepsilon}\biggl|\frac{\partial u(\xi)}{\partial N_\xi}\biggr|dS_\xi\leq
\int\limits_{|\xi-x|=\varepsilon}|\nabla u(\xi)|dS_\xi\leq const\cdot\sigma_n \varepsilon^{n-1}$$
$$(|(N_\xi,\nabla u(\xi))|\leq |N_\xi|\cdot|\nabla u(\xi)|,\ |N_\xi|=1!),$$
то это слагаемое равно $u(x)+O(\varepsilon)$ и стремится к $u(x)$
при $\varepsilon\rightarrow 0$.
Первое слагаемое в правой части равенства ($*$) от $\varepsilon$
не зависит. Покажем, что можно перейти к пределу при $\varepsilon\rightarrow 0$
и в левой части равенства ($*$).
Действительно:
$$\biggl|\int\limits_{\Omega}U(x-\xi)\triangle_\xi u(\xi)d\xi\biggr|\leq
const \int\limits_{\Omega}\frac{d\xi}{|x-\xi|^{n-2}}=$$
$$=const \biggl\{\int\limits_{\Omega_{\varepsilon_1}}\frac{d\xi}{|x-\xi|^{n-2}}+
\int\limits_{|\xi-x|\leq\varepsilon_1}\frac{d\xi}{|\xi-x|^{n-2}}\biggr\}\leq const$$
$$\int\limits_{|\xi-x|\leq\varepsilon_1}\frac{d\xi}{|\xi-x|^{n-2}}=\int\limits_0^{\varepsilon_1}
\int\limits_{|\xi-x|=r}\frac{r^{n-1}dS_1}{r^{n-2}}=\frac{\varepsilon_1^2}{2}\sigma_n,$$
$\varepsilon_1>0$ - некоторая постоянная,
$S_{\varepsilon_1,x}\subset \Omega$.
Итак, переходя к пределу в равенстве ($*$) при $\varepsilon\rightarrow 0$,
мы получим представление (7), что и требовалось доказать.
%%% Вставка №1\\
\textbf{Теорема 1.}\\
Пусть функция $u(x)\in C^2(\overline{\Omega})$, $n\geq 2$.
Тогда для любой точки $x\in \Omega$ имеет место равенство
{\renewcommand{\theequation}{7}
\begin{equation} %(7)
u(x)=\int\limits_{\Omega}U(x-y)\triangle_y u(y)dy+
\int\limits_{\partial\Omega}\biggl\{u(\xi)\frac{\partial U(x-\xi)}{\partial N_\xi}-
U(x-\xi)\frac{\partial u(\xi)}{\partial N_\xi}\biggr\}dS_\xi.
\end{equation}}
%
\textbf{Замечание.}\\
Введем следующие обозначения:
$$u_0(x)=\int\limits_{\Omega}U(x-y)\rho_0(y)dy,$$
$$u_1(x)=\int\limits_{\partial\Omega}U(x-\xi)\rho_1(\xi)dS_\xi,$$
$$u_2(x)=\int\limits_{\partial\Omega}\frac{\partial U(x-\xi)}{\partial N_\xi}\rho_2(\xi)dS_\xi.$$
Функции $u_0$, $u_1$, $u_2$ называются \textit{объёмным потенциалом, потенциалом простого слоя,
потенциалом двойного слоя} с плотностями $\rho_0$, $\rho_1$, $\rho_2$
соответственно.
Тогда формула (7) может быть переписана так:
{\renewcommand{\theequation}{7$'$}
\begin{equation} %(7')
u(x)=u_0(x)+u_2(x)-u_1(x),
\end{equation}}
\setcounter{equation}{7}
т.е. в виде суммы (алгебраической) объёмного потенциала (с плотностью $\triangle_y u(y)$),
потенциала простого слоя (с плотностью $\frac{\partial u(\xi)}{\partial N_\xi}$),
потенциала двойного слоя (с плотностью $u(\xi)$).
%
% *КАРТИНКА*\\
%
%$\Omega_\varepsilon=\Omega\setminus\overline{S_{\varepsilon,x}}$
%
%К функциям $U(x-\xi)$, $u(\xi)$, $x\in\Omega_\varepsilon$
%применим вторую формулу Грина (4)
%
%Используя формулы (5), (6) и переходя к пределу при
%в (*) получаем формулу (7).
% Вставка 2.\\
\textbf{Замечание.}\\
Если $x^0\in \partial\Omega$, граница $\partial\Omega$ - гладкая,
то вместо (7) аналогичными рассуждениями можно получить следующее
соотношение:
\begin{equation} %(8)
\frac{1}{2}u(x^0)=\int\limits_{\Omega}U(x^0-y)\triangle_y u(y)dy+
\int\limits_{\partial\Omega}\biggl\{u(\xi)\frac{\partial U(x^0-\xi)}{\partial N_\xi}-
U(x^0-\xi)\frac{\partial u(\xi)}{\partial N_\xi}\biggr\}dS_\xi.
\end{equation}
Пусть теперь $z\notin \overline{\Omega}$
По второй формуле Грина (4) получаем (для пары функций $U(z-y)$, $u(y)$):
\begin{equation*}
\int\limits_{\Omega}\{U(z-y)\triangle_y u(y)-u(y)\triangle_y U(z-y)\}dy=
\int\limits_{\partial\Omega}\biggl\{U(z-\xi)\frac{\partial u(\xi)}{\partial N_\xi}-
u(\xi)\frac{\partial U(z-\xi)}{\partial N_\xi}\biggr\}dS_\xi
\end{equation*}
или
\begin{equation} %(9)
0=\int\limits_{\Omega}U(z-y)\triangle_y u(y)dy+
\int\limits_{\partial\Omega}\biggl\{u(\xi)\frac{\partial U(z-\xi)}{\partial N_\xi}-
U(z-\xi)\frac{\partial u(\xi)}{\partial N_\xi}\biggr\}dS_\xi~.
\end{equation}
Следовательно
\begin{equation*} %(5)
u_0(x)+u_2(x)-u_1(x)=\left\{
\begin{array}{ll}
u(x),& x\in \Omega;\\
\frac{1}{2}u(x),& x\in \partial\Omega;\\
0,& x\notin \overline{\Omega}.
\end{array}
\right.
\end{equation*}
Рассмотрим теперь некоторые свойства гармонических функция
(замечание об их большом количестве).
1) Пусть гармоническая функция $u(x)\in C^2(\overline{\Omega})$.
Тогда
\begin{equation} %(10)
0=\int\limits_{\Omega}\triangle_x u(x)dx=\int\limits_{\Omega}div(\nabla u)dx=
\int\limits_{\partial\Omega}(N,\nabla u)dS=\int\limits_{\partial\Omega}\frac{\partial u}{\partial N}dS.
\end{equation}
(можно требовать от функции $u(x)$: $u(x)\in C^2(\Omega)\cap C^1(\overline{\Omega})$, $\triangle_x u(x)~\in~L_1(\Omega)$).
2) Пусть гармоническая функция $u(x)~\in~C^2(\overline{\Omega})$.
Тогда из (7) следует
\begin{equation} %(11)
u(x)=\int\limits_{\partial\Omega}\biggl\{u(\xi)\frac{\partial U(x-\xi)}{\partial N_\xi}-
U(x-\xi)\frac{\partial u(\xi)}{\partial N_\xi}\biggr\}dS_\xi.
\end{equation}
3) \textbf{Теорема 2 (первая теорема о среднем)}\\
Пусть $u(x)$ - гармоническая в области $\Omega$ функция,
$x$ - произвольная точка из области $\Omega$.
Тогда при любом $r$: $0<r<d$, где $d=d(x)$ - расстояние точки $x$ до границы $\partial\Omega$,
имеет место равенство
\begin{equation} %(12)
u(x)=\frac{1}{\sigma_nr^{n-1}}\int\limits_{|\xi-x|=r}u(\xi)dS_\xi.
\end{equation}
Доказательство.\\
Напомним, что $d=\min\limits_{\xi\in\partial\Omega}|\xi-x|$ (см.
$\S$11).
\begin{figure}[h]
\centering\includegraphics[width=0.6\textwidth]{pic_4.eps}
\end{figure}
Поскольку $u(\xi)\in C^2(\overline{S_{r,x}})$, то к ней применима
формула (11):
$$u(x)=\int\limits_{|\xi-x|=r}\biggl\{u(\xi)\frac{\partial U(x-\xi)}{\partial N_\xi}-
U(x-\xi)\frac{\partial u(\xi)}{\partial N_\xi}\biggr\}dS_\xi=$$
$$=-\frac{1}{(n-2)\sigma_n}\int\limits_{|\xi-x|=r}u(\xi)\frac{\partial}{\partial N_\xi}
\biggl\{\frac{1}{|\xi-x|^{n-2}}\biggr\}dS_\xi+
\frac{1}{(n-2)\sigma_nr^{n-2}}\int\limits_{|\xi-x|=r}\frac{\partial u(\xi)}{\partial N_\xi}dS_\xi=$$
(в силу (6) и (10))
$$=\frac{1}{\sigma_nr^{n-1}}\int\limits_{|\xi-x|=r}u(\xi)dS_\xi,$$
что и требовалось доказать.\\
%
%
\textbf{Задача.}\\
В каком месте при доказательстве \textbf{Теоремы 2} мы
использовали условие $0<r<d$? Нельзя ли это условие заменить на
следующее: $0<r\leq d$.
4) \textbf{Теорема 3 (вторая теорема о среднем)}\\
В условиях \textbf{Теоремы 2} имеет место равенство:
\begin{equation} %(13)
u(x)=\frac{1}{\sigma_nr^{n}}\int\limits_{S_{r,x}}u(\xi)d\xi.
\end{equation}
Согласно \textbf{Теореме 2} для любого $\rho$: $0<\rho<d$
имеет место равенство (12)
\begin{equation*}
\sigma_n\rho^{n-1} u(x)=\int\limits_{|\xi-x|=\rho}u(\xi)dS_\xi.
\end{equation*}
Отсюда получаем:
\begin{equation*}
\int\limits_{0}^{r}d\rho\biggl(\int\limits_{|\xi-x|=\rho}u(\xi)dS_\xi\biggr)=\int\limits_{S_{r,x}}u(y)dy=
\sigma_n\int\limits_{0}^{r}\rho^{n-1} u(x)d\rho=\frac{\sigma_n r^{n}}{n}u(x),
\end{equation*}
что и требовалось доказать.
5) Следующие теоремы о свойствах гармонических функций мы сформулируем без доказательства.
\textbf{Теорема 4.}\\
Гармоническая в области $\Omega$ функция $u(x)\in C^\infty(\Omega)$.\\
%
\textbf{Теорема 5.}\\
Пусть функция $u(x)$ гармонична в $\Omega$ и $|u(x)|\leq M<\infty$.
Тогда любая производная $D_x^\alpha u(x)$, $|\alpha|=k$, $k=1,2,\ldots$ в точке $x\in \Omega$
удовлетворяет неравенству
\begin{equation} %(14)
|D_x^\alpha u(x)|\leq M\biggl(\frac{n}{d}\biggr)^k\cdot k^k,
\end{equation}
где $d=\min\limits_{\xi\in\partial\Omega}|\xi-x|$ - расстояние от точки $x$ до границы $\partial\Omega$
области $\Omega$.\\
%
\textbf{Замечание.}\\
\textbf{Теоремы 4,5} доказываются с использованием теорем о среднем.
Наконец, используя \textbf{теорему 5} можно доказать\\
\textbf{Теорему 6.}\\
Функция $u(x)$, гармоническая в области $\Omega$, является аналитической в $\Omega$,
т.е. в окрестности любой т.$x_0\in\Omega$
$$u(x)=\sum\limits_{|\alpha|\geq 0}C_\alpha(x-x_0)^\alpha,\quad
C_\alpha=\frac{1}{\alpha !}D_x^\alpha u(x)\bigl|_{x=x_0}\bigr. \quad \mbox{(см. $\S$1)}.$$
Интересно отметить, что при $n=2$ наряду с \textbf{теоремой 6} имеет место
более глубокий результат, связывающий гармонические функции $u(x_1,x_2)$ с аналитическими
функциями одного комплексного переменного $z=x_1+ix_2$.\\
%
\textbf{Теорема 7.}\\
Для того, чтобы функция $u(x_1,x_2)$ была гармонической в односвязной области $\Omega$,
необходимо и достаточно, чтобы существовала такая аналитическая в $\Omega$
функция $f(z)$, $z=x_1+ix_2$, что
$$u(x_1,x_2)=Re\ f(z).$$
%
\textbf{Следствие из теоремы 7.}\\
Пусть аналитическая в односвязной области $\Omega$ функция $z'=F(z)$ взаимно-однозначно отображает
эту область на некоторую односвязную область $\Omega'$ комплексной плоскости $z'=x'_1+ix'_2$
Если функция $u'(x'_1,x'_2)$ гармонична в $\Omega'$,
то функция $u(x_1,x_2)=u'(F_1(x),F_2(x))$, $F(z)=F_1(x)+iF_2(x)$ гармонична в $\Omega$.
\begin{figure}[h]
\centering\includegraphics[width=0.6\textwidth]{pic_5.eps}
\end{figure}
6) В заключение этого параграфа рассмотрим еще одно очень важное свойство гармонических функций\\
\textbf{Теорема 8 (принцип максимума)}\\
Пусть гармоническая в области $\Omega$ функция $u(x)\in C^2(\Omega)\cap C(\overline{\Omega})$.
Тогда
или $u(x)\equiv const$ в $\Omega$,
или
\begin{equation} %(15)
\min\limits_{\xi\in\partial\Omega}u(\xi)<u(x)<\max\limits_{\xi\in\partial\Omega}u(\xi)
\mbox{ для } \forall x\in \Omega.
\end{equation}
Доказательство.\\
Пусть $M=\max\limits_{x\in\overline{\Omega}}u(x)$.
Пусть в области $\Omega$ $\exists$ т. $\widetilde{x}^0\in\Omega$ такая, что
$u(\widetilde{x}^0)\geq\max\limits_{\xi\in\partial\Omega}u(\xi)$.
Покажем тогда, что $u(x)\equiv M$ в $\Omega$.
Действительно, если такая точка $\widetilde{x}^0$ существует, то существует т.$x^0~\in~\Omega$ такая, что
$u(x^0)=M$.
\begin{figure}[h]
\centering\includegraphics[width=0.6\textwidth]{pic_6.eps}
\end{figure}
Возьмем произвольную т.$y\in\Omega$ и покажем, что $u(y)=M$.
Соединим т.$x^0$ с т.$y$ конечнозвенной ломаной линией
$L\subset\Omega$.
Пусть $d=\min\limits_{x\in L}\{\min\limits_{\xi\in\partial\Omega}|\xi-x|\}>0$.
Шары $S_{\frac{d}{2},x^i}$, $i=\overline{0,N}$;
центры шаров $x^i\in L\cap S_{\frac{d}{2},x^{i-1}}$, $i=\overline{1,N}$;
$x^0$ - центр шара $S_{\frac{d}{2},x^0}$; $y\in S_{\frac{d}{2},x^N}$.
В силу второй теоремы о среднем:
$$u(x^0)=\frac{n}{\sigma_n(\frac{d}{2})^{n}}\int\limits_{S_{\frac{d}{2},x^0}}u(x)dx$$
или
$$\int\limits_{S_{\frac{d}{2},x^0}}\{u(x)-u(x^0)\}dx=0.$$
Поскольку $u(x)\leq u(x^0)$,
то $u(x)\equiv u(x^0)=M$ в $S_{\frac{d}{2},x^0}$;
в том числе, $u(x^1)=M$, $x^1\in L\cap S_{\frac{d}{2},x^{0}}$ - центр шара $S_{\frac{d}{2},x^1}$
и т.д.
Итак, $u(x)\equiv M$ в $S_{\frac{d}{2},x^N}$ и, в частности,
$u(y)=M$, что и требовалось доказать. Таким образом показано, что
\textit{или} $u(x)\equiv const$ в $\Omega$ \textit{или} для всех
$x\in\Omega$ имеет место правое из неравенств (15). Применяя эти
рассуждения к функции $-u(x)$, получим, что \textit{или}
$u(x)\equiv const$ в $\Omega$, \textit{или } для всех $x\in\Omega$
имеет место левое из неравенств (15),
что и требовалось доказать.\\
%
\textbf{Следствие из теоремы 8.}\\
Для любой гармонической в $\Omega$ функции $u(x)\in C^2(\Omega)\cap C(\overline{\Omega})$
имеет место неравенство:
\begin{equation} %(16)
||u||_{C(\overline{\Omega})}=\max\limits_{x\in\overline{\Omega}}|u(x)|\leq ||u||_{C(\partial\Omega)}=\max\limits_{x\in\partial\Omega}|u(x)|.
\end{equation}
\end{document}
Соседние файлы в папке 2011-01-30