Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Новосибирский государственный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Лекция_10

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.03.2016

Размер:

261.26 Кб

Скачать

☆

§10 Гладкие решения задачи Коши для уравнения теплопроводности

С помощью преобразования Фурье установим корректность следующей задачи:

						ut = 4xu; (t; x) 2 G;					(1)
G = f(t; x); tP		0			½ ujt=0 = '(x); x 2 Rn:
G = f(t; x); tP		0	2 g.
	n	2
Здесь 4x = k=1		@	- оператор Лапласа,
Здесь 4x = k=1		@xk2	- оператор Лапласа,
>		; x		Rn
Кроме того, введем следующие обозначения:
G	T = f(t; x); 0 < t < T			<	1	; x		2	Rn	g,
	T = f(t; x); 0 < t < T			n	1			2		g,
G±= f(t; x); t ¸ 0; x 2 R g,						n	g.
G = f(t; x); t ¸ ± > 0; x 2 R							g.

В этом параграфе мы докажем следующую теорему

Теорема.

Для любой функции '(x) 2 L2(Rn) решение задачи (1) в области G дается

интегралом Пуассона

			RZ
1			n		x¡yj2
1			2		x¡yj2
u(t; x) = µ	4¼t	¶	n	e¡j	4t '(y)dy; u = K'; K : ' ! u		(2)
при этом:
а) функция u(t; x) 2 C1(G),					n	),
б) при любом t ¸ 0: функция u(t; x) 2 L2(R						),

в) функция u(t; x) удовлетворяет начальному условию в следующем смысле:

½(u ¡ ') ! 0 при t ! +0 (в L2(Rn)):

Построенное решение является единственным в данном классе функций и непрерывно зависит от начальных данных.

Замечание к формулировке теоремы.

1) Можно показать, что теорема справедлива и тогда, когда '(x) 2 L2;k(Rn), k < 0, где (см. x8) L2;k(Rn) - весовое L2 пространство с нормой

jj'jjL2;k(Rn) = µ n (1 + jxj2)kj'(x)j2dx¶

; k < 0:

Решение задачи (1) вновь задается формулой (2).

Пункты: б) 8t ¸ 0: u(t; x) 2 L2;k(Rn),

в) jj

при

jjL2;k(R )

! n

)

2) Если '(x) 2 C(R

L2(R

) - непрерывная функция, то в формулировке

теоремы пункт в)

можно переписать так:

в) функция u(t; x) 2 C(G) и удовлетворяет начальному условию в обычном

смысле:

lim u(t; x) = '(x0):

t!+0 x!x0

В этом легко убедиться, если в формуле (2) сделать замену
		z =			y ¡ x	;

					2pt

при этом формула (2) перепишется так:
u(t; x) = µ¼		¶	n	Z	e¡jzj	'(x + 2zpt)dz:	(20)

	1		2		2

Переходя к пределу под знаком интеграла (почему?) получаем:

x! x0	µ¼	¶	n	Zn
lim u(t; x) =	1		2	e¡jzj2 '(x0)dz = '(x0);
lim u(t; x) =				e¡jzj2 '(x0)dz = '(x0);
t +0
!				R

поскольку 1 = ¡¼1 ¢n2 R e¡jzj2 dz.

Доказательство теоремы:

Оно состоит из нескольких частей.

I) получение априорной оценки и формулы (2). Запишем сначала формальное решение задачи (1) (см. x6):

4xk'(x):

u(t; x) = et4x '(x) =

Далее, возьмем '(») 2 C01(Rn), тогда

'(») = '(x)

2kJ

. Поэтому

2¼i(x;»)

1btk

µRn e

u(t; x) = k=0 k! 4x

¶e

'(»)d»¶ = k=0 k! Rn

4x(e

)'(»)d» =

R P

¼2 » 2

1 tk( 4¼2 »

2)k

'(»)d» = Rn e

e¡

'(»)d»:

= Rn µk=0

k! j

x;»)

j j

2¼i(b

2¼i(x;») 4¼

t »

Поскольку (см. формулу (4) из x9 F e¡ajxj

= (¼a ) 2 e¡

, a =

)

F ·µ

4¼t

e¡j

4jt

¸ = e¡4¼

tj»j

для 8t > 0

x 2

h(») = f(»)g(») = e¡4¼2tj»j2 '(»);

jxj2

h(x)

функций f(x) = (

)

2 e¡

4t , g(x) = '(x)

где

- свертка

4¼t

4¼t¶

e¡j

, то

(2)

u(t; x) = Zn

e2¼i(x;»)h(»)d» = h(x) =

4t '(y)dy;

x¡yj2

при этом

F u(t; x) = u(t; ») = e¡4¼2tj»j2 '(»):

(20)

8 ¸

Ясно, что для

0: u(t; x)

2 Jb

(см. (2 ) и

9). В силу равенства

лемму из

Парсеваля (3) из x9 имеем:

n ju(t; x)j2dx =

n ju(t; »)j2d» =

или

RRn

8¼2Rt » 2

RRn

j j

RRn jb

= e¡

'(») d»

'b(») d» =

'(x) dx

jju(t)jjL2

2(Rn) · jj'jjL2

2(Rn)

для 8t > 0:

(3)

Из (3) получаем также

Z0T dtRZn

ju(t; x)j2dx = Z0T jjujjL2 2(Rn)dt = jjujjL2 2(GT ) · T jj'jjL2 2(Rn):

(30)

(30) и является искомой априорной оценкой, которую мы получили при условии, что '(x) 2 J ('b(») 2 C01(Rn)). Решение задачи (1) в этом случае дается формулой (2).

II) доказательство пунктов а),б),в). Пусть теперь '(x) 2 L2(Rn), тогда существует функция 'b(») = F '(x) 2 L2(Rn) и существует последовательность f'bk(»)g, k = 1; 2; : : :, 'bk(») 2 C01(Rn) такая, что

		jj'bk ¡ 'bjjL2(Rn) ! 0; k ! 1:
Записывая (30) для 8k:
		jjukjjL2 2(GT ) · T jj'kjjL2 2(Rn);	(300)
где 'k(x) =		'bk(»), причем
где 'k(x) =	F	'bk(»), причем

jj'k ¡ 'jj2L2(Rn) = jj'k ¡ 'jj2L2(Rn) ! 0; k ! 1:

				RZ
	1b		n	b		jx¡yj2
	1b		2	b		jx¡yj2
uk(t; x) = µ		¶			e¡	4t 'k(y)dy;
uk(t; x) = µ	4¼t	¶		n	e¡	4t 'k(y)dy;

и переходя к пределу при k ! 1 в (300) мы получаем, что последовательность fuk(t; x)g такая, что

jjuk ¡ ujj2L2(GT ) ! 0; k ! 1;

	1	n		jx¡yj2
где u(t; x) =		2	e¡	4t	'(y)dy L2(GT ), т.е. функция u(t; x) определена
	¼t
почти всюду¡в4 G¢T . RRn						2

Из (3) следует, что для 8t ¸ 0: u(t; x) 2 L2(Rn).

Заметим, что так определенная функция иногда называется обобщенным решением задачи (1) при '(x) 2 L2(Rn). Покажем, что на самом деле формула

(2) переводит функцию '(x)

2 L2(Rn)

в функцию u(t; x)

2 C1(G). Снова

доказываем это свойство сначала для функций из плотного множества.

Пусть '(») 2 C01(Rn), '(x) =

'(») 2 J ; ®0, ® - любые, D0 =

®0

) =

sup

®0

u =

sup

®0

(R )

jjB

t¸±>0 x2R

jjB

t¸±>0

по теореме вложения

· C(n) sup jjD0®0 Dx®ujjW2[ n2 ]+1(Rn) =

t¸±>0

D®0 D®+¯u

2dx

C n

sup

[ n ]+1 j

t; x

(

) t¸±>0µZn ¯

j·

(

(4)

(2¼i»)®+¯ 2

F D0®0 u(t; x)

2d»

по рав-ву Парсеваля

= C(n) sup

[ n2 ]+1 j

t¸±>0µRn

R j

j·P

(2¼i»)®+¯

4¼2

2)2®0 e¡8¼2tj»j2

2d»

= C(n) sup

[ n2 ]+1 j

'(»)

t¸±>0µRn

R j

j·P

· C1(n; ±; ®; ®0)jj'jjL2(Rn):

Если '(x) 2 L2(R ), '(e) =			(n ), тоe9f ke(		)g,	k( ) 2	01(	), f k( )g,
	jjujjBm(G±) · C1jj'jjL2(Rn); C1			= C1	(n; m; ±); 8m:
	n	»	F ' x	' » ' » C Rn				' x
'k(x) = F 'k(») J , 'k !		' в L2(R ), k ! 1.
	b			b		b
Запишем (4)2для 'k(»b):				b		b

jjD0®0 Dx®ukjjB(G±) · C1(n; ±; ®; ®0)jj'kjjL2(Rn);

		uk		Bm(G±) · C1jj'kjjL2(Rn)
где	jj		jj				n	e
	uk(t; x) = µ				1	¶	2	RZ	e¡j	x¡yj2
										4t 'k(y)dy;
					4¼t			n		4t 'k(y)dy;

понятно, что fuk(t; x)g фундаментальна в Bm(G±) для любого ±, m, т.е. предельная функция u(t; x) 2 C1(G) и удовлетворяет уравнению ut = 4xu в G (т.к. uk(t; x) - решения этого уравнения, то возможен предельный переход в этом уравнении при k ! 1).

Легко убедиться, что построенная функция удовлетворяет начальному условию в следующем смысле

lim

u t; x

) ¡

)jjL2

t +0 jj

(

) = 0

В самом деле

u(t; x)

'(x)

(Rn)

u(t; »)

'(»)

L2 2(Rn) = [e¡4¼

4¼2t »jj2

4¼2t »

RRn

'(»

[e¡

j j

'(»)b d» +

[e¡

j j

»j·D

» >D

(5)

2tj»j2 ¡ 1]2j'b(»)j2d» =

)j2d» · "22 + "22 = "2;

8" > 0; 9± > 0; D0 > 0; t < ±; D > D0:

Теорема единственности и непрерывной зависимости решений уравнения ut = 4xu от начальной функции '(x) следует из оценки (30).

Задача.

Найти решение задачи

ut = 4xu + f(t; x);	(t; x) 2 G;	( )
½ ujt=0 = '(x); x 2 Rn		¤

с помощью принципа Дюамеля (см. x8).

Пусть '(x) 2 C(Rn), f(t; x) 2 C1(G). Тогда задача (¤) имеет классическое решение, непрерывное в G.

Замечание.

Почему задача (1) не рассматривается при t < 0?

½ut = uxx; t < 0; x 2 R1 ujt=0 = '(x)

Существует достаточно гладкое решение u(t; x).

un = u + e¡pne¡n2t sin nx,

= e¡p

¡n2t

n ¡

sin nx

j sin nxj = 1, x = 2 , n - нечетное.

njt=0

= '

(x) = '(x) + e¡p

sin nx

junjt=0 ¡ 'n(x)j · e¡

n ! 0, n ! 1.

Соседние файлы в папке Lecture_10

#
28.03.2016261.26 Кб12Лекция_10.pdf
#
28.03.201613.32 Кб12Лекция_10.tex