All lectures pdfs / Ур.мат.физ / Lecture_8 / 2010-10-28 / Лекция_8

\documentclass[a4paper,12pt,oneside]{book}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage[mathscr]{eucal}
\usepackage{amsmath, amssymb, graphicx, longtable, color, cite}
\usepackage{geometry}
\geometry{top=1cm} \geometry{bottom=0.5cm}

\begin{document}
\pagestyle{myheadings}

\renewcommand{\thesection}{\S\arabic{section}}

\setcounter{section}{7}

\section{Дополнительные сведения\\ из функционального анализа}
%\noindent
Пространства\\
$C^m(\Omega)$, $C^m(\overline{\Omega})$, $C^m_0(\overline{\Omega})$;\\
$\Omega\subset R^n$ - ограниченное множество;\\
$\overline{\Omega}=\Omega\bigcup\partial\Omega$- ограниченное замкнутое множество (\textbf{компакт});\\
$supp f=\overline{\{x\in R^n, f(x)\neq 0 \}}$;\\
$C^m_0(\overline{\Omega})=\{f(x)\in C^m(\overline{\Omega}), supp f(x)\Subset\Omega \}$;\\
$\Omega_1\Subset\Omega$, если $\overline{\Omega}_1\subset\Omega$ ($\Omega_1$ - подобласть,
строго (целиком) лежащая в области $\Omega$);\\
функция $f(x)\in C^m_0(\overline{\Omega})$ - финитная функция;\\
$C^\infty_0(\overline{\Omega})$- множество
бесконечно-дифференцируемых, финитных функций.

Если $\Omega\subseteq R^n$  - неограниченная область, то введем в рассмотрение пространство функций
$\mathbf{\mathcal{B}^m(\Omega)}$ (это множество функций $f(x)$, имеющих в области $\Omega$
непрерывные и ограниченные частные производные до порядка $m$ включительно).

Пространства $C^m(\overline{\Omega})$, $\mathcal{B}^m(\Omega)$ являются
\textbf{линейными нор\-ми\-ро\-ван\-ны\-ми пространствами}.
Дело в том, что на функциях из $C^m(\overline{\Omega})$ (или $\mathcal{B}^m(\Omega)$) можно определить функционал
$$\rho(f)=\sum\limits_{|\alpha|\leq m}\max\limits_{x\in\overline{\Omega}}|D^\alpha_x f(x)|$$
$$\biggl(\rho(f)=\sum\limits_{|\alpha|\leq m}\sup\limits_{x\in\Omega}|D^\alpha_x f(x)|\biggr),$$
обладающий следующими свойствами:\\
1) $\rho(f)\geq 0, \rho(f)=0 \Leftrightarrow f(x)\equiv 0;$\\
2) $\rho(\lambda f)=|\lambda|\rho(f)$, где $\lambda$ - любое вещественное число;\\
3) $\rho(f+g)\leq \rho(f)+\rho(g)$ - неравенство треугольника.\\
%
В этом случае говорят, что пространство $C^m(\overline{\Omega})$ ($\mathcal{B}^m(\Omega)$)
можно снаб\-дить нормой
\begin{equation}
||f||_{C^m(\overline{\Omega}) (\mathcal{B}^m(\Omega))}  = \rho(f).                                                %(1)
\end{equation}
%
%
\textbf{Замечание.}\\
1) Если $\Omega$ - ограниченная область из $R^n$, то $C^m(\overline{\Omega})\equiv\mathcal{B}^m(\Omega)$.\\
2) Норма функции из $C^0(\overline{\Omega})$ ($\mathcal{B}^0(\Omega)$) - это некоторое положительное число,
характеризующее тот факт, насколько функция $f(x)$ отличается от нуля.\\
3) $C^0(\overline{\Omega})=C(\overline{\Omega})$, $\mathcal{B}^0(\Omega)=\mathcal{B}(\Omega)$.

Последовательность функций $f_k(x)\in C^m(\overline{\Omega})$ ($\mathcal{B}^m(\Omega)$) $k=1,2,...$
называется сходящейся  к функции $f(x)\in C^m(\overline{\Omega})$ ($\mathcal{B}^m(\Omega)$)
в пространстве $C^m(\overline{\Omega})$ ($\mathcal{B}^m(\Omega)$):
$$ f_k\rightarrow f,\ k\rightarrow \infty\ \mbox{в}\ C^m(\overline{\Omega}) (\mathcal{B}^m(\Omega),$$
если
$$ \rho(f_k-f)\rightarrow 0,\ k\rightarrow \infty.$$

Последовательность $f_k(x)$, $k=1,2,...$ из $C^m(\overline{\Omega})$ ($\mathcal{B}^m(\Omega)$)
называется \textbf{фундаментальной} в $C^m(\overline{\Omega})$ ($\mathcal{B}^m(\Omega)$),
если
$$ \rho(f_k-f_p)\rightarrow 0,\ k,p\rightarrow \infty.$$

Пространства $C^m(\overline{\Omega})$, $\mathcal{B}^m(\Omega)$ являются полными, поскольку,
если пос\-ле\-до\-ва\-тель\-ность $f_k(x)$, $k=1,2,...$ из $C^m(\overline{\Omega})$ ($\mathcal{B}^m(\Omega)$)
фундаментальна в $C^m(\overline{\Omega})$ ($\mathcal{B}^m(\Omega)$),
то существует функция $f(x)\in C^m(\overline{\Omega})$ ($\mathcal{B}^m(\Omega)$)
такая, что
$$ \rho(f_k-f)\rightarrow 0,\ k\rightarrow \infty.$$

Полное линейное нормированное пространство называется
\textbf{ба\-на\-хо\-вым} пространством.

Пусть $\Omega\subseteq R^n$. Совокупность всех комплекснозначных функций $f(x)$,
для которых функция $|f(x)|^2$ интегрируема по области $\Omega$
($\int\limits_{\Omega}|f(x)|^2dx <\infty$) обозначим через $\mathbf{L_2(\Omega)}$.\\
%
%
\textbf{Замечание.}\\
Интегрирование вообще говоря понимается в смысле Лебега.

$L_2(\Omega)$ - линейное пространство.\\
Для любых $f,g(x)\in L_2(\Omega)$ справедливо неравенство Коши-Буняковского:
\begin{equation}                                                                                       %(2)
\biggl|\int\limits_{\Omega}f(x)g(x)dx\biggr|\leq \int\limits_{\Omega}|f(x)||g(x)|dx \leq
\biggl(\int\limits_{\Omega}|f(x)|^2dx\biggr)^\frac{1}{2} \biggl(\int\limits_{\Omega}|g(x)|^2dx\biggr)^\frac{1}{2}.                                             \end{equation}

Если $\Omega$ - ограниченная область, $g(x)\equiv 1$,
то $\int\limits_{\Omega}dx=m(\Omega)<\infty$ (мера множества $\Omega$) и
\begin{equation*}
\biggl|\int\limits_{\Omega}f(x)dx\biggr|\leq \int\limits_{\Omega}|f(x)|dx \leq
\biggl(\int\limits_{\Omega}|f(x)|^2dx\biggr)^\frac{1}{2} \biggl(\int\limits_{\Omega}dx\biggr)^\frac{1}{2}<\infty,                                             \end{equation*}
т.е. $f(x)\in L_1(\Omega)$, где $L_1(\Omega)$ - множество интегрируемых функций
($f(x)\in L_1(\Omega)$, если $\int\limits_{\Omega}|f(x)|dx<\infty$).

На множестве $L_2(\Omega)$ введем скалярное произведение функций $f,g(x)\in L_2(\Omega)$:
\begin{equation}                                                                                       %(3)
(f,g)_{L_2(\Omega)} = \int\limits_{\Omega}f(x)\overline{g(x)}dx
\end{equation}
и норму функции $f(x)\in L_2(\Omega)$:
\begin{equation}                                                                                       %(4)
\rho(f)=||f||_{L_2(\Omega)}=(f,f)^\frac{1}{2}=\biggl(\int\limits_{\Omega}|f(x)|^2dx\biggr)^\frac{1}{2}.
\end{equation}
Тем самым $L_2(\Omega)$ превращается в линейное нормированное пространство.\\
Здесь $\overline{g(x)}$ - функция комплексно-сопряженная с $g(x)$.\\
%
%
\textbf{Замечание.}\\
1) Скалярное произведение (3) обладает следующими очевидными
свой\-ства\-ми:\\
а) $(f,g)_{L_2(\Omega)}=\overline{(g,f)}_{L_2(\Omega)}$,\\
б) $(\lambda f+\mu g, h)_{L_2(\Omega)}=\lambda(f,h)_{L_2(\Omega)}+\mu(g,h)_{L_2(\Omega)}$.\\
Здесь $f,g,h(x)\in L_2(\Omega)$; $\lambda$, $\mu$ - произвольные комплексные числа.\\
2) Неравенство (2) можно переписать так:
{\renewcommand{\theequation}{$2'$}
\begin{equation}
|(f,g)_{L_2(\Omega)}|\leq  ||f||_{L_2(\Omega)}||g||_{L_2(\Omega)}, \quad  f,g(x)\in L_2(\Omega).             %(2')
\end{equation}}
\setcounter{equation}{4}\\
3) Легко проверить, что для нормы $\rho(f)=||f||_{L_2(\Omega)}$
выполнены свойства:\\
а) $\rho(f)\geq 0$,\\
$\rho(f)=0 \Leftrightarrow f=0$ почти всюду в $\Omega$ (т.е. $f\neq 0$ только на множестве меры нуль);\\
б) $\rho(\lambda f)=|\lambda|\rho(f)$, $\lambda$ - произвольное комплексное число;\\
в) $\rho(f+g)\leq \rho(f)+\rho(g)$ - неравенство Минковского (неравенство тре\-у\-голь\-ни\-ка).\\
Здесь $f,g(x)\in L_2(\Omega)$.

Последовательность функций $f_k(x)$, $k=1,2,...$ из $L_2(\Omega)$ называется \textbf{сходящейся}
к функции $f(x)$ из $L_2(\Omega)$ в пространстве $L_2(\Omega)$ (или \textbf{в сред\-нем на} $\mathbf{\Omega}$), если
$$ \rho(f_k-f)\rightarrow 0,\ k\rightarrow \infty$$
$$(f_k\rightarrow f,\ k\rightarrow \infty\ \mbox{в}\ L_2(\Omega)).$$
Пространство $L_2(\Omega)$ является \textbf{полным} в силу теоремы Рисса-Фишера.\\
%
%
\textbf{Теорема Рисса-Фишера.}\\
Если последовательность функций $f_k(x)$, $k=1,2,...$ из $L_2(\Omega)$
яв\-ля\-ет\-ся фундаментальной в $L_2(\Omega)$ (т.е. $\rho(f_k-f_p)\rightarrow 0,\ k,p\rightarrow \infty$), то
существует единственная (с точностью до значений на множестве меры нуль) функ\-ция $f(x)$ из $L_2(\Omega)$
такая, что:
$$\rho(f_k-f)\rightarrow 0,\ k\rightarrow \infty.$$
Итак, $L_2(\Omega)$ - банахово пространство со скалярным произведением (2)
(гильбертово пространство).

Как можно еще определить пространство $L_2(\Omega)$?\\
%
%
\textbf{Определение.}\\
Множество функций $\mathfrak{M}\subset L_2(\Omega)$ называется \textbf{\textbf{плотным}} в $L_2(\Omega)$,
если для любой функции $f(x)\in L_2(\Omega)$ существует последовательность функций $f_k(x)$, $k=1,2,...$
из  $\mathfrak{M}$ такая, что
$$\rho(f_k-f)\rightarrow 0,\ k\rightarrow \infty$$
$$(\rho(f)=||f||_{L_2(\Omega)}).$$\\
%
%
\textbf{Лемма.}\\
Множество $C_0^\infty(\Omega)$ плотно в $L_2(\Omega)$.\\
Здесь $C_0^\infty(\Omega)=\{f(x)\in C^\infty(\Omega); supp f \Subset \Omega \}$.

Итак, множество  $L_2(\Omega)$ является замыканием множества $C_0^\infty(\Omega)$ в норме
$\rho(f)=||f||_{L_2(\Omega)}$ ($L_2(\Omega)=C_0^\infty(\Omega)+$\ все предельные функции,
полученные по норме $L_2(\Omega)$).\\
%
%
\textbf{Замечание.}\\
Можно ввести в рассмотрение и так называемые весовые пространства $L_{2,k}(\Omega)$
с нормой:
$$\rho(f)=||f||_{L_{2,k}(\Omega)}=\biggl(\int\limits_{\Omega}|f(x)|^2 (1+|x|^2)^kdx \biggr)^\frac{1}{2},\ k\gtrless 0.$$\\
Множество  $C_0^\infty(\Omega)$ плотно в $L_{2,k}(\Omega)$
($C_0^\infty(\Omega) \subset L_{2,k}(\Omega)$).
$L_{2,k}(\Omega)$ - гильбертово пространство.\\
%
%
\textbf{Задача.}\\
Как определяется скалярное произведение в $L_{2,k}(\Omega)$?

Замыкая множество  $C_0^\infty(\Omega)$ по норме
\begin{equation}                                                                                          %(5)
\rho(f)=\biggl(\int\limits_{\Omega}\sum\limits_{|\alpha|\leq
m}|D^\alpha_x f(x)|^2dx\biggr)^\frac{1}{2},
\end{equation}
можно определить так называемые \textbf{пространства Соболева} $W_2^m(\Omega)$, $m\geq 0$ - целое число
($W_2^0=L_2$).

Пространство $W_2^m(\Omega)$ это множество функций $f(x)\in L_2(\Omega)$,
все про\-из\-вод\-ные которых  до порядка $m$ включительно
принадлежат $L_2(\Omega)$.

$W_2^m(\Omega)$ - гильбертово пространство с нормой (5)
{\renewcommand{\theequation}{$5'$}
\begin{equation}                                                                                          %(5')
\rho(f)=||f||_{W_2^m(\Omega)}=\biggl(\sum\limits_{|\alpha|\leq m}||D^\alpha_x f(x)||^2_{L_2(\Omega)}\biggr)^\frac{1}{2}.
\end{equation}}
\setcounter{equation}{5}
Множество $C_0^\infty(\Omega)$ плотно в $W_2^m(\Omega)$ ($C_0^\infty(\Omega)\subset W_2^m(\Omega)$).
Сходимость в $W_2^m(\Omega)$ по норме: $\rho(f_k-f)\rightarrow 0$, $k\rightarrow \infty$,
$f_k(x)\in W_2^m(\Omega)$, $k=1,2,...$, $f(x)\in W_2^m(\Omega)$.\\
%
%
\textbf{Задача.}\\
Скалярное произведение в $W_2^m(\Omega)$?

Пусть $\Omega=R^n$.

Введем в рассмотрение пространство $\mathcal{J}\{f(x)\in
C^\infty(R^n), (1+|x|^2)^k|D^\alpha_xf(x)|\rightarrow 0$ при
$|x|\rightarrow\infty, k,\alpha=(\alpha_1,...,\alpha_n),
\alpha_j\geq 0,
k\geq 0$ - любые$\}$\\
$\mathcal{P}(|x|)|D_x^\alpha f(x)|\rightarrow 0$, $\mathcal{P}(|x|)$ - любой  полином от $|x|$.

$e^{-|x|^2}\in \mathcal{J}$.

Поскольку $C_0^\infty(R^n)\subset \mathcal{J}$, то $\mathcal{J}$
плотно в $L_{2}(R^n)$, $L_{2,k}(R^n)$, $k\gtrless 0$,
$W_2^m(R^n)$.

$f(t,x)\in L_2(G)$, $G\subset R^{n+1}$.

$C([0,T], L_2(\Omega))$ - пространство функций $f(t,x)$ непрерывных по $t$ на $[0,T]$
в $L_2(\Omega)$ с нормой
$$\rho(f)=||f||_{C(\cdot)}=\max\limits_{0\leq t\leq T}\biggl(\int\limits_{\Omega}|f(t,x)|^2dx\biggr)^\frac{1}{2}.$$
Сходимость в $C([\ ], L_2(\Omega))$
$$\rho(f_k-f)\rightarrow 0,\ k\rightarrow \infty.$$
Справедлив аналог теоремы Рисса-Фишера: если $\{f_k(t,x)\}$,
$k=1,2,...$, $f_k(t,x)\in C(\cdot)$ фундаментальна в $C(\cdot)$,
то существует функция $f(t,x)\in C(\cdot)$ такая, что
$$\rho(f_k-f)\rightarrow 0,\ k\rightarrow \infty.$$\\
%
%
\textbf{Теорема Фубини} (о перемене порядка интегрирования).\\
Если функция $f(x,y)$, заданная в $R^{n+m}$, $x\in R^n$, $y\in R^m$
измерима и существует повторный интеграл функции $|f(x,y)|$
$$\int\limits_{R^m}\biggl[\int\limits_{R^n}|f(x,y)|dx\biggr]dy<\infty,$$
то $f(x,y)$ интегрируема. Если $f(x,y)$ интегрируема, то интегралы
$$\int\limits_{R^n}f(x,y)dx,\quad  \int\limits_{R^m}f(x,y)dy$$
существуют почти везде и интегрируемы, причем
$$\int\limits_{R^{n+m}}f(x,y)dxdy=\int\limits_{R^n}\biggl[\int\limits_{R^m}f(x,y)dy\biggr]dx=
\int\limits_{R^m}\biggl[\int\limits_{R^n}f(x,y)dx\biggr]dy$$
(функция $f$ называется измеримой, если она совпадает почти везде
с пределом почти везде сходящейся последовательности
кусочно-неп\-ре\-рыв\-ных функций).

Интегрируемая функция?

Весовое пространство $L_{2,k}(\Omega)$: если $\Omega$ -
ограниченное множество, то $L_{2,k}(\Omega)=L_{2}(\Omega)$.
%если $\Omega\subseteq R^n$

$f(x)=e^{-\frac{1}{x^2}}$,

$f(x)\in C^\infty(\Delta)$,
\begin{figure}[h]
\centering\includegraphics[width=0.3\textwidth]{pic_1.eps}
\end{figure}
$D_x^\alpha f(x)|_{x=0}=0$,

$f(x)$ не аналитична в точке $x=0$:

$f(x)=\sum\limits_{k\geq 0} f_kx^k\equiv 0$, чего быть не может.

$f_n(x)=x^\frac{1}{n}$, $0\leq x\leq 1$, $n=1,2,...$, $f_n$
фундаментальна в $L_2$,

$\widetilde{f}_n(x)=x^n$, $0\leq x\leq 1$, $n=1,2,...$, $\widetilde{f}_n$
 фундаментальна в  $L_2$,

$f_n \rightarrow 1$ п.в. (в $L_2(0,1)$),

$\widetilde{f}_n \rightarrow 0$ п.в. (в $L_2(0,1)$).
\begin{figure}[h]
\centering\includegraphics[width=0.5\textwidth]{pic_2.eps}
\end{figure}
\end{document}