All lectures pdfs / Ур.мат.физ / Lecture_1 / 2010-08-26 / Лекция_1
.pdf
§1. Математическое моделирование в физике. Предварительные сведения.
Математическое моделирование реализуется в виде цепочки отображений:
физ. |
|
|
|
¡! |
мат. мо- |
¡! |
|
модель |
дель яв- |
||
явления |
L99 |
ления |
á |
|
|
|
|
выч. ¡! програмодель мма, явления á ЭВМ
Ур. мат. физ. - это раздел математики, который изучает
математ. модели различных физических явлений.
Ур. мат. физ. - это часть более общей матем. дисциплины: теории ур-ний с частными производными.
а) Сложности преподавания предмета (большое количество монографий, школ, точек зрения и т.д.). Мое кредо - основные идеи.
б) Сложности для студентов (большой объем материала, плохая посещаемость). Относительно учебников, пособий, экзамена.
Предварительные сведения.
x = (x1; :::; xn) |
12 Rn - точка в Rn; |
||||
jxj = |
µP xk2 |
¶ |
2 |
= (x; x)2 |
; |
|
n |
|
1 |
|
|
k=1
Rn - n-мерное евклидово пространство (вещественное);
-½ Rn - открытая ограниченная область;
¾»
-@- - граница обл. -;
½¼
1
Лекция №1, НГУ, ММФ, 2010 |
|
|
|
|
2 |
|||||||
Примеры диф. уравнений. |
|
|
|
|
||||||||
Уравнение Пуассона (Лапласа): |
|
|||||||||||
|
|
u |
|
f |
x |
|
; x |
2 - ½ |
Rn |
|
|
|
(1) ¢x n |
=@2( |
|
) (= 0) |
|
|
|
; |
|
||||
¢x = |
|
|
|
- оператор Лапласа; |
|
|
||||||
|
2 |
|
|
|||||||||
|
f |
k=1 @xk |
|
|
|
|
u |
|
|
u x |
||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
f = |
|
(P) - заданная функция, |
|
= |
( ) - искомая функция. |
|||||||
Волновое уравнение:
(2) utt = ¢xu + f(t; x); (t; x) 2 G ½ Rn+1;
f = f(t; x) - заданная функция, u = u(t; x) - искомая функция. Уравнение теплопроводности:
(3) ut = ¢xu + f(t; x); (t; x) 2 G ½ Rn+1;
f - заданная функция, u - искомая функция.
Уравнения (1-3) так называемые линейные неоднородные (если f ´ 0, то однородные) уравнения 2-го порядка.
Порядком диф. уравнения естественно назвать порядок старшей производной, входящей в данное д.у.
В дальнейшем мы будем также рассматривать произвольное линейное диф. уравнение порядка m:
|
|
|
|
j jX |
|
|
|
|
(4) Lu = |
a®j(t; x)D0jDx®u = f(t; x); (t; x) 2 G ½ Rn+1: |
|||||
|
|
|
|
® +j·m |
|
|
|
Здесь: |
|
@j®j |
|||||
|
|
@ |
|
|
|||
D0 |
= |
|
|
, Dx® = |
|
|
(обозначения Шварца), |
|
|
®1 |
®n |
||||
|
|
@t |
|
@x1 |
:::@xn |
||
® = (®1; :::; ®n) - так наз. мультииндекс, |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
jP |
|
|
|
|
|
|
|
n |
®j |
¸ 0 - целое число или 0, j®j = ®j; |
||||||
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
a®j(t; x) - коэффициенты ур. (4) - известные функции от t; x, f(t; x) - известная функция, u(t; x) - искомая функция,
(4) - лин. неоднородное (если f ´ 0, то однородное) уравнение порядка m > 0 (m - целое число).
Лекция №1, НГУ, ММФ, 2010 |
3 |
Главная часть оператора L: |
|
||
L = |
|
|
a®j(t; x)D0jDx®; |
b |
|
+j=m |
|
j®jX |
|
||
т.е. (4) можно переписать так: |
|
||
(40) Lu = Lu + ::: = f(t; x); |
|||
где ... означает остальные |
слагаемые. |
||
b |
|||
Будем говорить, что оператор L записан в нормальной форме, |
|||
если он имеет вид: |
|
j |
jX |
|
|
||
(5)L = D0m |
+ |
a®j(t; x)D0jDx®: |
|
® +j·m j<m
Функциональное пространство Cm(-) - пространство всех функций u(x), имеющих в - непрерывные частные производные до порядка m включительно. Аналогично определяется пространство Cm(-), где - - замыкание -.
Вопрос. Какое из пространств C(-) или Cm(-) богаче (Cm(-) ½ C(-) или наоборот)?
Классическое или регулярное решение диф. уравнения (4) - это функция u = u(t; x) 2 Cm(G), обращающая (4) в тождество.
Пример. Линейное неоднородное уравнение с частными производными второго порядка
n |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
X |
|
@2u |
|
Xj |
@u |
|
|
||
(6) Lu = aij(x) |
@xi@xj |
+ |
aj(x) |
@xj |
+ a(x)u = f(x) |
||||
i;j=1 |
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
или |
(60) Lu + ::: = f(x); |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
||||||
где |
n |
b |
|
|
|
|
|
|
|
b |
X |
|
|
|
|
@ |
|
||
L = |
i;j=1 |
aij(x)DiDj; Di = |
@xi |
: |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Лекция №1, НГУ, ММФ, 2010 |
4 |
Здесь aij; aj; a; f - заданные в - функции от x (действительные функции!). Очевидно, что матрицу A = (aij(x)) можно считать симметрической (почему?).
В заключении этой лекции, я напомню определение аналитиче-
ской функции. p
Функция F (z); z = (z1; :::; zm); zj = zj(0) + izj(1); i = ¡1; j = 1; m называется аналитической в окрестности точки z¤, если она
разлагается в степенной ряд
X
F (z) = a®(z ¡ z¤)®;
®
® = (®1; :::; ®m) - мультииндекс, ®j ¸ 0 - целое число или 0; абсолютно сходящийся при достаточно малой величине:
jz ¡ z¤j = v |
|
|
|
|
||
m |
jzj ¡ zj¤j2; z¤ = (z1¤; :::; zm¤ ): |
|||||
uX |
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
uj=1 |
|
|
|
|
|
|
Можно показать при этом, что |
|
|
||||
a® = |
1 |
|
(Dz®F )jz=z¤: |
|||
|
|
|||||
®! |
|
|||||
Здесь: (z ¡ z¤)® = (z1 ¡ z1¤)®1:::(zm ¡ zm¤ )®m; ®! = ®1!:::®m! Шар Sr;x¤ = fx 2 Rn; jx ¡ x¤j < rg ½ Rn:
'$
r ¡µ ¡x¤
&%