All lectures pdfs / Ур.мат.физ / Lecture_18 / 2011-04-15 / Лекция_18
.pdf
1
§18 Смешанная задача для уравнения теплопроводности
Рассмотрим теперь достаточно кратко смешанную задачу следующего
вида: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
ut = 4x;yu; |
(t; x; y) 2 G; |
(1) |
||||
|
|
|
|
j |
|
|
(x; y) |
2 |
-; |
||
|
|
|
|
8 u t=0 = '(x; y); |
|
||||||
где |
S = |
f |
(t; x; y); |
>t >j0; (x; y) |
2 |
@- |
2 |
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
g. |
|
|
|
|||
|
|
|
|
< u S = 0; (x; y) @-; t > 0; |
|
||||||
Классическим решением задачи (1) будем называть функцию u(t; x; y) 2 C2(G) \ C1(G), удовлетворяющую условиям (1).
Необходимым условием существования классического решения задачи (1) являются следующие условия:
условие гладкости
'(x; y) 2 C (-)
и условие согласования
'j@- = 0:
При изучении задачи (1) очень полезным является следующий
Принцип максимума. Пусть функция u(t; x; y) 2 C2(G) \ C1(G)
удовлетворяет уравнению ut = 4x;yu в G. Пусть T > 0 любое. Тогда в области GT функция u(t; x; y) достигает наибольшего и
наименьшего значения на множестве
ГT = f(t; x; y); (t = 0; (x; y) 2 -) [ (0 < t · T; (x; y) 2 @-)g, где GT = f(t; x; y); 0 < t < T < 1; (x; y) 2 -g. Доказательство.
Пусть m = max u(t; x; y). Допустим, что решение u(t; x; y) прини-
(t;x;y)2ГT
2
мает свое максимальное значение M в точке °0 = (t0; x0; y0) 2 GT nГT и допустим, что M > m. Построим функцию
À(t; x; y) = u(t; x; y) + " ¢ (t0 ¡ t); |
(2) |
где " > 0 некоторая константа (которую мы выбираем сами).
Для функции (2) справедливы следующие очевидные неравенства:
max |
À(t; x; y) |
¸ |
M |
¡ |
" |
¢ |
T > m + " |
¢ |
T |
¸ max |
À t; x; y |
|
|
(t;x;y) |
|
|
|
|
|
|
( |
) |
|||||
G |
T |
|
|
|
|
||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(t;x;y) ГT |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
при 0 < " < M2¡Tm.
Следовательно, функция À(t; x; y) тоже принимает максимальное значение в некоторой точке °1 = (t1; x1; y1) 2 GT nГT .
Как известно, необходимые условия максимума функции À(t; x; y) в точке (t1; x1; y1) формулируются так:
Àt(t1; x1; y1) ¸ 0; Àx(t1; x1; y1) = 0; Ày(t1; x1; y1) = 0;
4x;yÀ(t1; x1; y1) · 0; (т.е. (Àt ¡ 4x;yÀ)j(t1;x1;y1) ¸ 0).
Однако для всех (t; x; y) 2 GT nГT
Àt ¡ 4x;yÀ = ¡" < 0;
значит M · m, что и требовалось доказать.
Утверждение теоремы о минимальном значении u(t; x; y) доказывается аналогично после замены u на ¡u.
Заметим, что принципу максимума можно дать и другую трактовку, а именно:
если u(t; x; y) 2 C2(G) \ C1(G) удовлетворяет уравнению
ut = 4x;yu в G;
то
kukC( |
|
T ) · kukC(ГT ): |
(3) |
G |
В случае же, если ujS = 0 при (x; y) 2 @-,t > 0, то оценка (3) перепишется так:
kukC( |
|
T ) · k'kC( |
|
): |
(30) |
G |
- |
3
Понятно, что из оценки (30) следует единственность и непрерывная зависимость классического решения задачи (1) от начального условия
'.
Введем понятие обобщенного решения задачи (1). Пусть существует последовательность f'k(x; y)g; k = 1; 2; : : : ; где 'k(x; y) 2 C(-), такая, что:
1)при k ! 1 : 'k ! ' в C(-);
2)8k существует классическое решение смешанной задачи
> |
(uk)t = 4x;yuk; (t; x; y) 2 G; |
|
|
|
|
|
|||
j |
2 |
|
|
|
|
|
|||
< |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 uk t=0 = 'k(x; y); (x; y) -; |
|
|
|
|
(10) |
||||
> ukjS = 0; (x; y) 2 @-; t > 0: |
|
C(G) |
|
||||||
что существует функция u(t; x; y) |
|
такая, |
|||||||
Предположим, : |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
что при любом T > 0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
uk ! u; k ! 1 в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C(GT ): |
|
|
|
|
(4) |
|||
Такую функцию мы назовем обобщенным решением задачи (1). Из определения обобщенного решения задачи (1) вытекает:
а) всякое классическое решение задачи (1) является ее обобщенным решением, б) для существования обобщенного решения необходимо выполнение условия
'(x; y) 2 C(G);
в) обобщенное решение удовлетворяет начальному условию
ujt=0 = '(x; y); (x; y) 2 -;
г) обобщенное решение удовлетворяет уравнению
ut = 4x;yu
в обобщенном смысле, т.е. для любой функции '(t; x; y) 2 C01(G)
выполнено интегральное равенство
ZZZ
u(t; x; y)f't ¡ 4x;y'g dxdydt = 0:
G
4
Покажем, что последовательность fukg; k = 1; 2; : : : равномерно сходится на GT .
Действительно, из (30) следует:
kuk ¡ umkC(GT ) · k'k ¡ 'mkC(-);
т.е. fukg фундаментальная в C(GT ) последовательность, которая равномерно сходится к некоторой функции u(t; x; y) 2 C(GT ). Очевидно также, что оценка (30) справедлива и для обобщенного решения u(t; x; y) задачи (1).
Для нахождения обобщенного решения воспользуемся снова методом Фурье (см. §17). Выпишем сначала формальное решение задачи (1):
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
Xk |
|
|||
u(t; x; y) = |
cke¡¸ktXk(x; y); |
(5) |
||||
|
|
|
=1 |
|
|
|
где ck = ('; Xk(x; y))L2(-). |
|
|
|
|
||
Пусть ' 2 C2(-) \ C1( |
|
). Тогда |
|
|||
- |
|
|||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
Xk |
|
||
'(x; y) = |
ckXk(x; y); |
|
||||
|
|
|
=1 |
|
|
|
причем ряд для '(x; y) сходится в C( |
|
) (см. Теорему 1 из §17). |
|
|||
- |
|
|||||
Если |
|
|
|
|
||
k |
|
|
k |
|
||
'k = cjXj(x; y); uk = cje¡¸jtXj(x; y); |
|
|||||
=1 |
|
|
=1 |
|
||
Xj |
|
Xj |
|
|||
то |
|
|
|
|
||
'k ! '; k ! 1 в C(-);
а последовательность fukg сходится равномерно к обобщенному решению задачи (1) на GT .
Замечание. Единственность и непрерывная зависимость от начального условия ' обобщенного решения следует из оценки (30). Задача. Покажите, что последовательность fukg; k = 1; 2; : : : сходится равномерно на GT .
5
Замечание. Для задачи Коши обобщенное решение, по существу, вводилось в §10.