otik_ / 16

Математическое введение к циклическим кодам. Разложение кольца на классы вычетов по идеалу.

На образующую матрицу накладывается условие цикличности.

Алгебраическая структура – кольцо.

Замена операций над n-разрядными числами на многочлены степени на больше n-1. На множестве всех многочленов не больше n-1 вводится операция сложения (точнее, поразрядного сложения по модулю 2) и умножения.

Множество элементов R образует кольцо, если для каждой пары его элементов заданы операции сложения и умножения и выполняются следующие аксиомы:

1. Множество элементов относительно операции сложения образуют абелеву группу.

2. Замкнутость

3. Для умножения выполняется свойство ассоциативности

4. 

Если - кольцо коммутативно.

Множество элементов F образует поле, если для любой пары его элементов есть операции сложения и умножения и выполняются следующие аксиомы:

1. F – абелева группа

2. Множество ненулевых элементов образует коммутативную группу

1 – единица группы,

3. Обе операции обладают свойством дистрибутивности

- поле Галуа - множество элементов-остатков от деления по модулю p

Операция символического умножения многочленов - остаток от деления этого произведения на многочлен степени n, то есть

образует коммутативное кольцо

|

Множество многочленов по модулю 2 называется полем тогда, когда P(x) неприводим (нацело делится только сам на себя и на 1) и его степень

Например, если – множество по модулю этого неприводимого многочлена.

Среди коммутативного кольца многочленов степени не выше n-1 выделим такое подмножество многочленов, которое нацело делится на образующий многочлен: . Это – идеал в коммутативном кольце. Если идеал пуст, и. совпадает с коммутативным кольцом (Идеал = R). Если

Циклический код – идеал в коммутативном кольце по образующему многочлену степени n-k

ЦК описывается образующей матрицей, которая строится путём циклического сдвига на 1 разряд, и строки её есть

Требования к g(x)

1. Неприводим

2. 

3. Не является делителем (примитивен)