Раздел

«Теоретические основы информатики и прикладной математики»

Теория вероятностей и математическая статистика

1. Вероятностное пространство (пространство элементарных событий). Комбинаторные методы.

2. Система гипотез. Формула Байеса.

3. Теорема о повторении опытов. Формула Бернулли. Условия применимости формул Пуассона и Муавра - Лапласа.

4. Неравенство Чебышева. Слабый и усиленный законы больших чисел. Центральная предельная теорема.

5. Понятие технического риска. Примеры расчета технического риска.

6. Распределение вероятностей. Интегральная и дифференциальная функции распределения: свойства, выборочные аналоги. Числовые характеристики распределения вероятностей. Математическое ожидание, дисперсия, моменты, их свойства. Характеристики асимметрии и эксцесса закона распределения. Свойства эмпирической функции распределения вероятностей.

7. Оценивание неизвестных параметров распределений. Методы получения точечных оценок: метод моментов и метод максимального правдоподобия. Определение нижней границы дисперсий всех несмещенных оценок. Функция информации Фишера и неравенство Рао-Крамера.

8. Интервальное оценивание. Доверительный интервал и доверительная вероятность. Интервальное оценивание параметров нормально распределенной случайной величины.

9. Проверка статистических гипотез. Понятие статистической гипотезы и критерия статистической гипотезы. Основные принципы и этапы проверки статистической гипотезы. Критерий значимости: понятие и область применения. Проверка гипотез о числовых значениях параметров нормального распределения.

10. Проверка статистических гипотез. Непараметрические методы проверки статистических гипотез. Критерий однородности: понятие и область применения. Критерии знаков, Манна-Уитни, Уилкоксона.

Численные методы

1. Метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений. Выбор главного элемента.

2. Метод простой итерации и метод Гаусса-Зейделя решения систем линейных алгебраических уравнений. Исследование сходимости.

3. Обращение матриц методом окаймления.

4. Преобразование Хаусхолдера.

5. QR-разложение матрицы.

6. Нахождение собственных чисел при помощи QR-разложения. Основные свойства полученной последовательности подобных матриц.

7. Нахождение собственных чисел при помощи QR-разложения со сдвигом.

8. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутта 4-го порядка. Критерии точности и сходимости. Выбор оптимальной величины шага интегрирования.

9. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений методом прогноза и коррекции. Области применимости метода.

10. Метод прогонки для решения систем линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей.

Методы оптимизации

1. Постановка задачи поиска оптимального решения. Основные понятия, используемые при решении задач оптимизации. Классификация задач оптимизации. Суть задач математического программирования и основные трудности при их решении.

2. Постановка задачи линейного программирования. Основные формы задачи линейного программирования. Симплекс-таблица и критерий оптимальности. Прямой симплекс-метод и метод искусственного базиса.

3. Суть двойственных задач линейного программирования. Теоремы двойственности линейного программирования. Двойственный симплекс-метод.

4. Постановка задачи одномерной нелинейной оптимизации без ограничений и классификация методов ее решения. Основные методы решения задач одномерной безусловной оптимизации: деления интервала пополам, дихотомии, золотого сечения, чисел Фибоначчи, парабол.

5. Сравнительный анализ эффективности методов решения задач одномерной нелинейной оптимизации без ограничений. Стратегии выбора исходного интервала неопределенности и поиска глобального экстремума.

6. Постановка задачи многомерной безусловной оптимизации и классификация методов ее решения. Прямые методы поиска: Гаусса, конфигураций, вращающихся координат, деформируемого многогранника.

7. Сопряженные направления и особенности их использования при решении задач многомерной безусловной оптимизации. Суть методов прямого поиска и градиентных методов, основанных на сопряженных направлениях. Их сравнительный анализ.

8. Постановка задачи многомерной безусловной оптимизации и классификация методов ее решения. Методы первого порядка: наискорейшего спуска, покоординатного спуска, Гаусса-Зейделя. Их сравнительный анализ.

9. Постановка задачи многомерной безусловной оптимизации и классификация методов ее решения. Методы второго порядка: метод Ньютона и его модификации, методы переменной метрики.

10. Задача линейного программирования. Основные определения. Лексикографический вариант прямого симплекс-метода. Вырожденность в задачах линейного программирования. Геометрическая интерпретация симплекс-метода.

Раздел «Теория управления»

Теория управления

1. Уравнения динамики и статики объектов управления.

2. Передаточные функции объектов и устройств управления.

3. Основные характеристики типовых звеньев во временной и частотной областях.

4. Логарифмические частотные характеристики типовых звеньев, минимально-фазовые и неминимально-фазовые типовые звенья.

5. Алгебраические критерии устойчивости.

6. Частотный критерий Найквиста.

7. Показатели качества систем управления.

8. Методы коррекции динамических свойств систем. Постановка задачи синтеза корректирующих устройств.

9. Формирование частотных характеристик систем в соответствии с заданными показателями качества и точности.

10. Частотные методы синтеза последовательных корректирующих устройств.