- •2.Постановка задачи линейного программирования. Основные формы задачи линейного программирования. Симплекс-таблица и критерий оптимальности. Прямой симплекс-метод и метод искусственного базиса.
- •3.Суть двойственных задач линейного программирования. Теоремы двойственности линейного программирования. Двойственный симплекс-метод.
- •5. Сравнительный анализ эффективности методов решения задач одномерной нелинейной оптимизации без ограничений. Стратегии выбора исходного интервала неопределенности и поиска глобального экстремума.
- •6. Постановка задачи многомерной безусловной оптимизации и классификация методов ее решения. Прямые методы поиска: Гаусса, конфигураций, вращающихся координат, деформируемого многогранника.
- •9. Постановка задачи многомерной безусловной оптимизации и классификация методов ее решения. Методы второго порядка: метод Ньютона и его модификации, методы переменной метрики.
1. Постановка задачи поиска оптимального решения. Основные понятия, используемые при решении задач оптимизации. Классификация задач оптимизации. Суть задач математического программирования и основные трудности при их решении.
Постановка задачи поиска оптимального решения. Основные понятия, используемые при решении задач оптимизации.
Везде снизу min приписывать!!!
(Необходимо определить:)
1) n-мерное Евклидово пространство
2) мн-во
3) отображение
4) критерий оптимизации: минимум либо максимум
Формулировка задачи: при(либопри)
Решить задачу оптимизации значит. (Пусть ищем min):
1) найти , т.е.при
2) либо (если не можем найти ) найти значение ф-иипри
3) либо доказать, что f(x) не ограничена снизу
4) либо доказать, что X=, т.е. Х является пустым мн-вом
Поиск max всегда можно свести к поиску min: при
f(x) - целевая ф-ия
X– мн-во допустимых точек, допустимая область
- глобальный экстремум
;- множество оптимальных точек.
Локальный экстремум (для min):
называется локальным экстремумом, если
Любой глобальный minявляется локальнымmin.
Если у ф-ии есть лок. экстремумы, то необх. их все найти и выбрать меньший
Задание множества X:
- ограничение, в общем случае нелинейное
Типы ограничений:
1) Ограничения в виде неравенств
2) Ограничения в виде равенств
Особенности допустимой области Х:
1. 1) Односвязное мн-во (т.е. все точки области модно соединить не выходя за границу)
2) Многосвязное мн-во
2. Выпуклость и вогнутость
Xвыпуклое, если
Х-ки ф-ии:
1. Выпуклость и вогнутость
f(x) - выпуклая, если
2. Унимодальность (если 1 экстремум)
Методы оптимизации классифицируются в соответствии с задачами оптимизации:
1)Методы одномерной безусловной оптимизации
Ограничений на доп. область нет, т.е.
2)Методы многомерной безусловной оптимизации
3) Методы линейного программирование
,,,,–коэф-ты
4) Методы квадратичного программирования
f(x) явл квартичной, т.е.
линейные
5) Методы выпуклого программирования
f(x)–выпуклая,вогнутые
Х–выпуклое мн-во
6) Методы нелинейного программирования
f(x) – нелин. ф-ия,– нелинейные
7) Методы целочисленного программирования
f(x) любая, Х–мн-во целых чисел
Математическое программирование – это математическая дисциплина, в которой разрабатываются методы отыскания экстремальных значений целевой функции среди множества ее возможных значений, определяемых ограничениями.
Особенности решения задач оптимизации с использования численных методов
1) выбор начальной точки – процесс выбора не формализован
2) ошибки вычислений
3)нахождение оценки экстремумов
Отметим, что решение задач оптимизации будет очень трудоемко при следующих особенностях ф-ии
1) нечувствительность f(x) к значениям каких-то переменных
2) значения f(x) близки к бесконечности
3) овражные функции
2.Постановка задачи линейного программирования. Основные формы задачи линейного программирования. Симплекс-таблица и критерий оптимальности. Прямой симплекс-метод и метод искусственного базиса.
Общая форма ЗЛП (постановка задачи):
, –целевая ф-ия
–вектор-строка
–вектор-столбец
n–размерность пространства
– ограничения Х
,
кол-во ограничений m
- неотрицательные переменные (остальные- свободные)
– матрица mxn
–вектор-столбец
Формы описания ЗЛП
1.общая (приведена выше)
2.каноническая
, т.е. свободных переменных нет
Все ограничения в форме равенств ()
3.стандартная
Все ограничения в форме неравенств ()
Симплекс-таблица
(–базис)
,
,
, –столбец матрицы А
|
... | |||
… | ||||
|
… |
|
… |
|
… | ||||
|
… |
|
… |
|
… |
–базисное решение
– допустимое базисное решение
Опр.Симплекс-таблица называется прямо допустимой, если,i=1..m
Опр.Симплекс-таблица называется двойственно допустимой, если,j=1..n
Утв.Если ЗЛП разрешима, то существует прямо и двойственно допустимая симплекс-таблица
(ЗЛП разрешима, если х не и ф-ия ограничена снизу)
Утв.(достаточное условие оптимальности) если симплекс-таблица явл прямо и двойственно допустимой, то соответствующее базисное решение оптимальное.
Прямой симплекс-метод
0.построить нормальную симплекс-таблицу
1.если с.-т. является двойственно допустимой (т.е. ,j=1..n), то решение оптимальное и конец, иначе переход к шагу2
2.определяем ведущий столбец, т.е. находим такое j=s, что(если их несколько, то выбираем любой из них)
3.если , то конец (ЗЛП решения не имеет), иначе определяем ведущую строкуr:,–ведущий элемент
4.преобразуем симплекс-таблицу с ведущим элементом .(Заменяем соответствующую базисную переменную на небазисную) и переходим к шагу1 (в результате с.-т. остается всегда прямо допустимой)
Метод искусственного базиса
Пусть , все
Введем целевую ф-ию , (–искусственный базис
ограничения:
0.Формулировка задачи и построение симплекс-таблицы
1.Выполняем шаги 1-4 прямого симплекс-метода, находим оптимальное б.д.р
2.Если (для оптимального б.д.р.), тои конец (ЗЛП не имеет решения), иначе:
1)удаляем нулевую строку в симплекс-таблице
2)удаляем все столбцы искусственного базиса
3.если среди переменных б.д.р. останутся только переменные исходной задачи, то переходим к шагу7, иначе к шагу4
4.выбираем строчку r, соответствующую искусственной переменной
5.выбор ведущего столбца: если , то выбираем, осуществляем элементарное преобразование базиса и переходим к шагу3, иначе к шагу6
6.удаляем строку, для которой и переходим к шагу3
7.достраиваем нулевую строку в соответствии с исходной задачей, таким образом получаем прямо допустимую симплекс-таблицу исходной задачи
8.выполняем шаги 1-4 для полученной прямо допустимой симплекс-таблицы
3.Суть двойственных задач линейного программирования. Теоремы двойственности линейного программирования. Двойственный симплекс-метод.
Ограничения:
–сущ.ограничения
- неотрицательные переменные (остальные,- свободные)
,
Двойственная задача ЛП
1.вводим двойственные переменные
2.целевая ф-ия
3.,
, –свободные
4.
5.
–двойственная задача
Теоремы двойственности
Свойства:
1.если x и y явл. допустимыми решениями соотв. прямой и двойственной ЗЛП, то всегда
2.если x и y явл. допустимыми решениями соотв. прямой и двойственной ЗЛП и, то x и y являются оптимальными решениями прямой и двойственной ЗЛП
Первая теорема двойственности
Прямая и двойственная к ней ЗЛП либо одновременно разрешимы, либо одновременно неразрешимы.
Причем в первом случае опт. знач. прямой и двойственной целевой ф-ии совпадают. Во втором случае по крайней мере одна из задач не разрешима из-за несовместности ограничений
Вторая теорема двойственности
Допустимы решения прямой и двойственной ЗЛП оптимально тогда и только тогда, когда:
Двойственный симплекс-метод
0.Для прямой ЗЛП строим симплекс-таблицу, которая будет двойственно допустимой
1. если построенная симплекс-таблица явл. прямо допустимой, то решение оптимальное и конец, иначе шаг2
2.выбираем ведущую строку r:
3.если , то ЗЛП не разрешима и конец, иначе выбираем ведущий столбец s:
4.преобразуем симплекс-таблицу, , переход к шагу1
4.Постановка задачи одномерной нелинейной оптимизации без ограничений и классификация методов ее решения. Основные методы решения задач одномерной безусловной оптимизации: деления интервала пополам, дихотомии, золотого сечения, чисел Фибоначчи, парабол.
Постановка задачи: найти min f(x),,xконечном отрезке [a,b] – интервал неопределенности
Группы методов:
1) методы пассивного поиска (значения предыдущих итераций не используются)
2) методы активного поиска (инф-ия об экстремуме, кот. получили на предыдущих итерациях используется)
3) методы, основанные на аппроксимации целевой ф-ии (в основе аппроксимации – разложение в ряд Тейлора)
Алгоритм деления интервала пополам
1.задаем значения a,b,
2.вычисляем ,
3.выч-м ,,,
находим приi=1..3
-точка, в кот. мин. значение среди этих 3-х точек
тогда (– конечный интервал неопределенности)
4.переобозначаем: ,,,приi=0,приi=4
5.если , то конец,, иначе переход к шагу3
Алгоритм, основанный на дихотомии
1.задаем a,b,()
2.выч-м
3.выч-м ,,,
если , то,
иначе ,
4.если , то конец,,–min, иначе переход к шагу2
Метод золотого сечения
1.задаем a,b,()
2.выч-м ,,,
3.если , то,,,,,
иначе ,,,,,
4.если , то конец и если, то, иначе,
иначе переход к шагу3
Метод Фибоначчи
N–число вычислений ф-ии задано(!)
,
1.задаем a,b,N,k-номер итерации
,,,
2.если , то,,,,,
если , то,,,,,
3.если , то k=k+1 и повторяем шаг2,
иначе конец и если , то, иначе
Метод парабол
1.задаем значения a,b,c,(a<c<b), выч-мf(a),f(b),f(c) и строим параболу
2. t–минимум параболы
если , тоx=t
если t=c, то
выч-м f(x)
3.переобозначаем: a)x<c
если f(x)<f(c), то a=a, c=x, b=c
если f(x)>f(c), тоa=x,c=c,b=b
если f(x)=f(c), то a=x, b=c, c=(x+c)/2
a)x>c
если f(x)<f(c), то a=c, c=x, b=b
если f(x)>f(c), то a=a, c=c, b=x
если f(x)=f(c), то a=c, b=x, c=(x+c)/2
4. если , то конец и–одна из 3-х точек (с мин. значением ф-ии), иначе переход к шагу2