математика физика 2 вариан / математика / Математика

Шпиц Т.А Вариант:2

Задача 4.1 Исследовать сходимость числового ряда

1. функция непрерывна, так как

2. функция положительна: f(x)>0 при x>=1

3. 

4. функция f(x) монотонно убывает

Тогда составим несобственный интеграл и проверим его сходимость.

Значит несобственный интеграл расходится, значит и заданный числовой ряд тоже расходится.

Задача 4.2 Найти область сходимости степенного ряда

Найдем радиус сходимость ряда:

Так как радиус сходимости 1, то область сходимости (-1;1), внутри которой ряд сходится абсолютно. Проверим сходимость ряда на концах области, т.е. в точках x=1 и x=-1.

При x=-1 получим знакочередующийся числовой ряд: .

Для определения абсолютной сходимости достаточно проверить сходимость модулей членов ряда. По третьему признаку сравнения, для которого:

1. 

2. 

Тогда так как p>1, то ряд модулей сходится, а значит знакочередующийся ряд сходится абсолютно в точке x=1.

При x=1 получим знакоположительный числовой ряд: , сходимость которого доказана выше.

Тогда область сходимости ряда равна [-1;1], при x=-1 ряд сходится абсолютно.

Задача 4.3

Вычислить определенный интеграл, с точностью до 0,0001. Для этого подынтегральную функцию разложить в степенной ряд при b=1/

1-(x^2)/5 +(x^4)/50-(x^6)/750+(x^8)/15000-(x^10)/375000+O(x^2n)/n!*2^n

= x-(x^3)/3*5 +(x^5)/5*50-(x^7)/7*750+(x^9)/9*15000-(x^11)/375000+O(x^2n+1)/n!*2^n*(2n+1) = 1-1/15+1/250-1/3750+1/135000…

1/135000<0,0001

Поэтому можно принять за сумму ряда сумму первых четырех членов .

= 1-1/15+1/250-1/3750=0,937

Ответ: 0,937

Задача 4.4.

Разложить функцию f(x)=3-5x в ряд Фурье в интервале

Найдем коэффициенты ряда Фурье:

Тогда

Задача 5.1. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения:

y"py 'qy f (x) с начальными условиями: y0y0, y '0y1

y"py 'qy f (x) , р=3, q=2, f(x) = x, y0=y0 = 0 , y '0 y1 =0

Решение:

y"3y '2y x

Ответ:

Задача 5.2. Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка

Преобразуем уравнение, так как нам дано дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:

Интегрируем обе части:



Ответ: общее решение дифференциального уравнения имеет вид

Задача 5.3. Найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка

Решение:

y

Задача 5.4. Найти три первых, отличных от нуля, слагаемых в разло-

жении по формуле Маклорена решения задачи Коши: уf (x, y), y (0)y0

у=y+y^2

y(0)=3

Решение:

y(x) =y(0)+ у(0)+ y(0)/2!

y(0)=3

у(0) =1+2y(0)=1

y(0)=(1+2y)=2

y(x) =3+ 1 +2/2! = 5

Ответ: y(x) =3+ 1 +2/2! =5

Задача 5.5. Найти общее решение системы дифференциальных урав-

нений:

a11 = -3

a12 = -4

a21 = -2

a22= -5

dx/dt= a11x+ a12y

dy/dt= a21x+ a22y

Решение:

dx/dt= -3x-4y

dy/dt= -2x-5y

x= -dy/2dt-5y/2

dx/dt=

=-3(-dy/2dt-5y/2)-4y

D=64-44=20

y(t)= +

x(t)=-3-3