Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
12
Добавлен:
27.03.2016
Размер:
340.48 Кб
Скачать

2.3.6 Примеры распределений.

2.3.6.1 Биномиальное распределение.

Многократные испытания по схеме Бернулли, рассмотренные в параграфе 2.1.9.1, более полно и, одновременно, просто моделируются не по схеме случайных событий, а по схеме случайных величин. При этом, хотя речь и пойдет об одномерной СВ, проще рассмотреть её ЧХ с использованием теорем о ЧХ ССВ.

Пусть X = {количество появлений некоторого примитива A при испытаниях Бернулли} = {x0 = 0, x1 = 1, x2 = 2,…,xm = m,…,xn = n}. При этом, вероятности возможных значений этой СВ X вычисляются по формуле (28), в которой число m заменено возможным значением x:

= . (139)

Величина X по описанию представляет собой одномерную ДСВ, спектр которой образован n первыми числами натурального ряда. Вероятности элементов спектра pm = P(xm) (аналитическая форма закона распределения), вычисляемые по (139), позволяют получить табличную форму этого закона – ряд распределения:

X = xm

0

1

m

n

pm

p0

p1

pm

pn

(140)

Распределение (139) называется биномиальным, в связи с тем, что множители совпадают с коэффициентами бинома Ньютона.

Определение основных числовых характеристик биномиального закона (МО, дисперсии и стандарта) непосредственно по формулам (51), (59) и (62) затруднительно. Задача упрощается, если её … усложнить. Представим элемент спектра xm СВ X в виде суммы некоррелированных постоянных индикаторов событий (см. 2.2.6.1):

xm = = 0 + 1 + 0 +…+ 1 + 0 = 1 + 1 +…+ 1 + 0 + 0 +…+ 0 = m.

m раз (nm) раз

Теперь, учитывая, что E = p, а D= pq, находим по формулам (109) и (116) МО и дисперсию биномиального распределения:

E(X) = E() = = = np, (141)

D(X) = = = = npq. (142)

Стандарт этого распределения будет равен

x = . (143)

Кроме определения основных ЧХ биномиального закона, интерес представляет задача нахождения, при больших n, вероятности Pn(X = x) и вероятности того, что X принимает ряд последовательных значений от xi до xj включительно, т.е. P(xi ≤ X ≤ xj).

Прямые вычисления по формуле (139) приемлемы, когда параметр n не выходит за пределы первого десятка. Кардинальное решение проблемы было найдено еще в XVIII веке, благодаря исследованиям Муавра и Лапласа. Они установили, что биномиальное распределение хорошо аппроксимируется нормальным законом, когда p ≈ q и n > 20. С этой целью используются приводимые ниже без доказательства локальная (144) и интегральная (145) теоремы Муавра-Лапласа, позволяющие вычислять указанные выше вероятности [3]:

Pn(x) f(t) / , (144)

= F(tj) F(ti), (145)

где t = (xnp) / , а f(t) и F(t) – стандартная нормальная плотность и стандартная нормальная функция соответственно.

Задача 2.16 Оценить вероятность того, что из 16-и некоррелированных измерений 14 будут отягощены положительными случайными ошибками, полагая их равновероятными с отрицательными ошибками.

Дано: p+ = p- = q+ = 1 / 2; n = 16; x = 14.

Найти: Pn(x) – ?

Решение: Воспользуемся формулой (144), вычислив предварительно ЧХ по (141) и (143):

E(X) = np = 16 * 0.5 = 8;

= = (16 * 0.5 * 0.5)1/2 = 2.

Pn(x) = P16(14) f((14 8) / 2) / 20.0044 / 2 0.0022. #

Как видим, вероятность такого события практически ничтожна, что наводит нас на мысль об ошибочности предположения о равновероятности знаков «+» и «» у наблюдённых погрешностей. Очевидно, мы имеем дело не со случайными , а с истинными ошибками , содержащими систематическую составляющую .

2.3.6.2 Двумерное дискретное распределение.

В качестве примера двумерного дискретного распределения рассмотрим задачу о двукратном подбрасывании двух монет.

Введем два компонента ССВ: X = {количество появлений герба на первой монете} и Y = {количество появлений герба на второй монете}. Необходимо: построить матрицу распределений ДССВ; установить, связаны ли стохастически компоненты системы; вычислить МО и дисперсию функции Z={количество появлений герба на обеих монетах}.

Дано: X = {кол-во появлений герба на 1-ой монете};

Y = {кол-во появлений герба на 2-ой монете};

Z = {кол-во появлений герба на обеих монетах}.

Найти: 1) вероятности pij , px , и py матрицы распределения;

2) МО, дисперсии и ковариацию X и Y;

3) МО и дисперсию СВ Z.

Решение:

  1. Для нахождения вероятностей состояния pij ДССВ необходимо построить общее пространство элементарных событий как прямое декартово произведение (83) отдельных пространств X и Y, на которых построены СВ X и Y, соответственно. Пространства X и Y строятся так, как это было сделано в разделе 2.2.1 (Задача 2.9):

= { = (цц), = (цг), = (гц), = (гг)}, i = x,y.

В таком случае, общее пространство = X Y будет иметь следующую структуру:

= {ω1 = (цц цц); ω2 = (цц цг); ω3 = (цц гц); ω4 = (цц гг);

ω5 = (цг цц); ω6 = (цг цг); ω7 = (цг гц); ω8 =(цг гг);

ω9 = (гц цц); ω10 = (гц цг); ω11 = (гц гц); ω12 =(гц гг);

ω13 = (гг цц); ω14 = (гг цг); ω15 = (гг гц); ω16 = (гг гг)}.

В силу симметрии этого пространства =1/16 для всех шестнадцати элементарных исходов. Теперь заполним матрицу распределения (Табл. 2.4), вычислив pij по формуле (84), а и по (85).

В качестве примера продемонстрируем процедуру вычисления вероятностей p23, и , выполняемую по следствию Аксиомы 3 (2.1.6) и указанным выше формулам:

p23 = P((X = x2 = 1)(Y = y3 = 2)) = =

= + = 1/16 + 1/16 = 2/16;

= = p21 + p22 + p23 = 2/16 + 4/16 + 2/16 = 1/2;

= = p13 + p23 + p33 = 1/16 + 2/16 + 1/16 = 1/4.

  1. Числовые характеристики компонентов ССВ найдем по формулам таблицы начальных и центральных моментов ССВ. (Табл. 2.3):

E(X) = = 0 * 1/4 + 1 * 1/2 + 2 * 1/4 = 1;

E(Y) = = 0 * 1/4 + 1 * 1/2 + 2 * 1/4 = 1;

D(X) = = (2)X = (E(X))2 = 1/2;

D(Y) = = ()Y - = (E(Y))2 = 1/2;

KXY = 11 – (1)X * ()Y = E(X) * E(Y) =

= 0 * 0 * 1/16 + 0 * 1 * 2/16 + 0 * 2 * 1/16 +

+1 * 0 * 2/16 + 1 * 1 * 4/16 + 1 * 2 * 2/16 +

+ 2 * 0 * 1/16 + 2 * 1 * 2/16 + 2 * 2 * 1/16 – 1 * 1 = 1 – 1 = 0. #

Равенство нулю ковариации является необходимым условием попарной стохастической несвязанности компонентов ССВ. Достаточное условие несвязанности (92) здесь также выполняется для всех i и j. Например:

p13 = 1/16 = *= 1/4 * 1/4.

Матрица распределения двумерной дискретной ССВ. Табл. 2.4

Y

X

y1 = 0

y2 = 1

y3 = 2

P(X=xi) =

x1 = 0

p11 =

= 1/16

p12 =

= 2/16

p13 =

= 1/16

= 1/4

x2 = 1

p21 =

= 2/16

P22 =

= 4/16

p23 =

= 2/16

= 1/2

x3 = 2

p31 =

= 1/16

p32 =

= 2/16

p33 =

= 1/16

= 1/4

P(Y = yj)= =

= 1/4

= 1/2

= 1/4

[] = [] =

= [] = 1

3)МО и дисперсию СВ Z = {количество появлений герба на обеих монетах} можно найти двумя способами:

а) построив ряд распределения СВ Z и вычислив её ЧХ по формулам (51) и (59);

б) применив формулы (109) и (116).

Воспользуемся обоими вариантами.

Построим ряд распределения СВ Z на пространстве =X Y.

Z = zm

z1 = 0

z2 = 1

z3 = 2

z4 = 3

z5 = 4

P(Z = zm)

p1 = 1/16

p1 = 4/16

p3 = 6/16

p4 = 4/16

p5 = 1/16

Вычислим ее МО и дисперсию:

E(Z) = = 0 * 1/16 + 1 * 4/16 + 2 * 6/16 + 3 * 4/16 + 4 * 1/16 = 2,

D(Z) = =(2)Z =- (E(Z))2 = 02*1/16 + 12* 4/16 + 22 * 6/16 + + 32 * 4/16 +42 * 1/16 = 5 – 4 = 1.

С другой стороны, СВ Z – это сумма случайных компонентов X и Y, т.е. Z = X + Y. Следовательно,

E(Z) = E(X + Y) = E(X) + E(Y) = 1 + 1 = 2,

D(Z) = D(X + Y) = = += 1 / 2 + 1 / 2 = 1.

Результаты, как видим, совпадают, а объем вычислений значительно меньше.

2.3.6.3 Двумерное нормальное распределение.

Двумерное нормальное распределение используется для вероятностного моделирования положения случайной точки на плоскости. В геодезии и смежных науках с его помощью характеризуют точность местоположения объекта.

Плотность вероятности двумерного нормального распределения учитывает возможную стохастическую связанность компонентов X и Y [4]:

f(x,y) = *

* (146)

Здесь в качестве параметров выступают: МО компонентов E(X) и E(Y), их стандарты X и Y, а так же коэффициент корреляции ρXY.

Отметим одну очень важную особенность двумерного нормального распределения: некоррелированность его компонентов (ρXY = 0) равносильна их несвязанности, т.к. в этом случае плотность ССВ становится равной произведению плотностей её компонентов, что является необходимым и достаточным условием несвязанности (93):

f(x,y) = = f1(x) * f2(y) =

=*.

Вероятность попадания случайной точки внутрь области G, ограниченной некоторым контуром, определяется интегралом (89):

= .

Будем искать уравнение контура области G в классе кривых, образующихся при сечении поверхности (146) плоскостями, параллельными плоскости XOY. Указанные сечения образуют эллипсы, параметры которых (большую и малую полуоси) и ориентировку относительно оси OX нам предстоит определить. Центры проекций таких эллипсов на плоскость XOY совпадают с точкой {E(X); E(Y)}. Возьмем в качестве секущей плоскость

f(x,y) = const =* (147)

где – произвольная постоянная, фиксирующая величину этой плотности. Сопоставляя уравнения (147) и (146), получаем уравнение эллипса, являющегося сечением поверхности плотности вероятности плоскостью f(x,y) = const:

= 2 (148)

Уравнение эллипса сечения (148), называемого эллипсом рассеивания, для стохастически несвязанных компонентов упрощается, и его главные оси оказываются параллельными осям X и Y:

=2.

Если же, дополнительно, E(X) = 0 и E(Y) = 0, то уравнение эллипса рассеивания становится каноническим:

=1. (149)

Отсюда легко выразить полуоси эллипса в долях стандартов компонентов:

a = X; b = Y.

Становится очевидным и физический смысл константы : это – число кратности полуосей эллипса стандартам X и Y.

Вероятность попадания случайной нормальной точки в такой эллипс определяется интегралом (89) [4]:

= = 1 – . (150)

Например, вероятность попадания в область G, оконтуренную эллипсом, с полуосями, равными удвоенным стандартам X и Y, т.е. = 2, и с центром в точке {E(X); E(Y)}, равна

P({XY} G= 1 – e-2 = 0,865.

Для построения на плоскости эллипса равной плотности, необходимо перейти, в общем случае, от системы координат XOY к системе координат , оси которой ориентированы по главным осям эллипса [4]:

= (X – E(X)) * cos(T) + (Y – E(Y)) * sin(T)

. (151)

= – (X – E(X)) * sin(T) + (Y – E(Y)) * cos(T)

Найдем угол разворота T осей  под условием представления уравнения эллипса (148) в канонической форме (149). Следствием этого требования будут такие ограничения: E() = 0, E() = 0 и K= 0.

По определению ковариации, с учетом только что введенных ограничений, и опустив элементарные тригонометрические преобразования, имеем:

K=E() = ( 0.5+ 0.5)*sin(2T) +(cos2T – sin2T)*=0.

Откуда

0.5 sin(2T)*( ) + cos(2T)*KXY = 0.

Далее, окончательно, находим угол между осями X и :

T = 0.5 arctg (KXY/( - ). (152)

Задача 2.17 Для двумерного нормального распределения с параметрами E(X) = 4, E(Y) = 2, X = 2, Y = 3 и ρXY = – 0,25 необходимо:

а) построить эллипс рассеивания, полуоси которого равны стандартам X и Y, т.е. = 1;

б) определить вероятность попадания в этот эллипс случайной точки.

Решение. Определим по (152) угол между осью абсцисс 0X и большой полуосью эллипса:

T=0.5 arctg (2(–0.25)*2*3/(4-9))=0.5 arctg (0.6)=15029'.

Теперь вычислим искомую вероятность по формуле (150):

P({XY} G= 1 – e-1/2 = 0.393.

На рисунке (Рис. 2.22) изображен рассчитанный эллипс.

Рис. 2.22. Эллипс рассеивания.

Задача 2.18 Результаты математической обработки геодезических измерений могут сопровождаться ковариационной матрицей уравненных координат {} точек геодезической сети. Если сеть плановая, то элементы двух соседних строк и двух соответствующих столбцов такой матрицы позволяют определить ориентировку эллипса рассеивания, характеризующего уравненное положение соответствующей точки:

{KX}i,j = = (153)

В этой ситуации формула (152), определяющая угол разворота T большой полуоси эллипса рассеивания относительно оси абсцисс, принимает вид:

T = 0,5 arctgKij / (). (154)

Теперь, в точке с координатами {} мы можем построить эллипс рассеивания, полуоси которого кратны стандартам: a = i и b = j , а большая полуось a наклонена к оси абсцисс под углом T. По числу кратности в соответствие с формулой (150) находим вероятность того, что построенный эллипс накрывает истинное положение точки {Xi; Xj}. Обычно, для всей геодезической сети выбирают одно и то же число .

Резюмируя содержание данного параграфа, можно сказать, что положение точки на плоскости – это совокупность двух случайных чисел. Когда такая совокупность представляет собой систему двух нормальных компонентов, то её можно дополнительно характеризовать эллипсом рассеивания, расширив эту информацию соответствующей вероятностью.

Традиционно используемая в геодезии ошибка положения точки = характеризует стандарт (среднее квадратическое отклонение) случайного вектора = , являющегося векторной моделью положения точки на плоскости. При этом очень важно отметить, что ошибка положения не реагирует на коррелированность уравненных координат X и Y, так как, не смотря на то, что формально

Соседние файлы в папке Вер_Примитивы