PDF / МСиР ГГС_Тема_3_СК

Тема 3. Системы отсчета: геоцентрическая и референцная система, геодезические координаты,

методы их преобразования. Системы ITRF, WGS-84, ПЗ-90, СК-42, СК-95. Преобразование координат по методу Гельмерта и Молоденского

3.1. Системы отсчета координат и времени

Координатная система, система координат (Reference System) - теоретически декларируемая математическая модель отсчета координат

Координатная основа (Reference Frame) - физическая реализация координатной системы в реальном мире с помощью закрепленных точек (пунктов) и каталогов координат этих точек (пунктов) в данной координатной системе

3.2. Общеземные системы отсчета

Системы отсчета ITRS и отсчетные основы ITRF. Постоянно повышающаяся точность методов космических наблюдений требует соответствующего повышения точности установления координатных систем. Международная служба вращения Земли и референцных систем в «Conventions 1996» и «Conventions 2000» выделяет теоретические системы, для которых дается концепция системы, фундаментальная теория и стандарты, и практические реализации систем через наборы координат точек (фидуциальных наземных пунктов, квазаров). Для систем первого вида применяются термины система отсчета, референцная система (reference system). Системы второго вида называют отсчетной основой

(reference frame) [РТМ 68-14-01].

Земная отсчетная основа Terrestrial Reference Frame (TRF) –это набор физических точек с точно определенными координатами в некоторой координатной системе (декартовой, эллипсоидальной, картографической), связанной с земной референцной системой Terrestrial Reference System (TRS). Такие земные отсчетные основы являются реализациями земных референцных систем. Эти концепции были разработаны астрономами и геодезистами в конце 1980-х.

В настоящее время отсчетные основы ITRF являются наиболее точными реализациями общеземных систем. Название ITRFyy расшифровывается как International Terrestrial Reference Frame - Международная земная отсчетная основа, yy - две последние цифры года образования системы. Вывод ITRF основан на объединении координат более чем 200 станций МСВЗ и их скоростей движения, полученных из наблюдений такими средствами космической геодезии, как РСДБ, лазерная локация Луны и искусственных спутников Земли, GPS (c 1991 г.), доплеровская орбитографическая радиопозиционная интегрированная спутниковая система DORIS (с 1994 г.) и микроволновая спутниковая система PRARE [IERS 1996].

Системы ITRS удовлетворяют следующим требованиям:

-начало систем находится в центре масс всей Земли, включая океаны и атмосферу,

-единицей длины является метр (SI), определенный в локальной земной системе в смысле релятивистской теории гравитации,

-ориентировка осей задается по данным МБВ на эпоху 1984.0,

-временная эволюция ориентировки осей такова, что она не имеет остаточной вращательной скорости в плоскости горизонта по отношению к земной коре. Поле скорости координатных систем ITRF не имеет вращения относительно геофизической модели движения тектонических плит. Для систем ITRF88 - ITRF91 использовалась модель абсолютного движения AM0-2, для ITRF91 и ITRF92 - модель NNRNUVEL1, а начиная с ITRF93 используется модель NNR-NUVEL1А.

высокочастотные, преимущественно геофизические эффекты. К ним относят:

-периодические лунно-солнечные приливы в твердой Земле, вызывающие смещения до 0.5 м:

-деформации из-за океанических приливных нагрузок, которые могут достигать десятков миллиметров для станций вблизи континентального шельфа;

-атмосферные нагрузки, являющиеся реакцией эластичной коры на изменяющееся во времени распределение атмосферного давления. Последние исследования показали, что этот эффект может иметь величину несколько миллиметров в вертикальном смещении станции;

-постледниковая отдача, наблюдаемая преимущественно в северных широтах как последствие ледникового периода. Влияние может доходить до нескольких миллиметров в год по высоте;

-полюсный прилив, являющийся реакцией эластичной коры Земли на смещения полюса вращения. При компонентах полярного движения порядка 10 м максимальное смещение будет 10-20 мм.

Модели перечисленных поправок даются в [IERS 1996; IERS 2003; Teunissen et al. 1998]. Другие поправки добавляются, если они больше 1 мм и их можно вычислить в соответствии с некоторой моделью.

где Vplate - горизонтальная скорость плиты, вычисляемая по модели движения тектонических плит NNR

Другие отсчетные основы. Кроме реализуемых МСВЗ отсчетных основ ITRF известны другие, задаваемые преимущественно теми же станциями, что и в ITRF, но расположенными на ограниченной территории. К ним относится отсчетная основа EUREF (European Reference Frame), созданная и поддерживаемая Европейской подкомиссией Международной ассоциации геодезии [http://www.epncb.oma.be]. Основная сеть из 93 фундаментальных пунктов была измерена через GPS в течение мая 1989 г. Позднее она была расширена до 150 постоянно действующих станций GPS наблюдений. Окончательно EUREF представляет собой единую систему на всю Европу, которая согласована с системами WGS-84 и ITRF. Полученная система координат известна как ETRF-89 (или ETRS89), для многих целей она может рассматриваться как реализация WGS-84 в Европе. Многие страны адаптируют пункты EUREF как сеть «нулевого» класса, от которой они расширяют национальные сети [Botton et al. 1997; http://www.epncb.oma.be].

В Южной Америке реализована подобная отсчетная основа SIRGAS (Sistema de Referência Geocêntrico para as Américas), в Австралии – GDA94 (Geocentric Datum of Australia), в США и Канаде – NAD83(CORS96) [Soler and Marshall 2003].

Система координат ПЗ-90. Параметры Земли 1990 года ПЗ-90 были определены Топографической службой Вооруженных сил Российской Федерации. Параметры ПЗ-90 включают:

-фундаментальные астрономическими и геодезические постоянные,

-характеристики координатной основы (параметры земного эллипсоида, координаты пунктов, закрепляющих систему, параметры связи с другими системами координат),

-планетарные модели нормальных и аномальных гравитационных полей Земли, локальные характеристики гравитационных полей (высоты геоида над общим земным эллипсоидом и аномалии силы тяжести).

Входящая в состав ПЗ-90 система координат иногда называется СГС-90 – (Спутниковая геоцентрическая система 1990 г.) [Национальный отчет 1993]. Параметры Земли ПЗ-90 заменили предыдущие наборы ПЗ-77 и ПЗ-85. Параметры Земли ПЗ-90 получены по результатам почти 30 миллионов фотографических, радиодальномерных, доплеровских, лазерных и альтиметрических измерений спутника Гео-ИК с привлечением радиотехнических и лазерных измерений дальностей до спутников систем ГЛОНАСС и «Эталон» [Основные положения 1997; Галазин и др. 1998; Базлов 1996].

Начало системы расположено в центре масс Земли. Ось Z направлена к среднему северному полюсу на среднюю эпоху 1900-1905 г.г. (МУН). Ось X лежит в плоскости земного экватора эпохи 1900-1905 г.г., и плоскость (XOZ) определяет положение нульпункта принятой системы счета долгот. Ось Y дополняет систему координат до правой. Геодезические координаты В, L, H относятся к общему земному эллипсоиду с

большой полуосью а и сжатием (табл.1). Ось вращения (малая полуось) совпадает с осью Z, плоскость начального меридиана (L=0) совпадает с плоскостью (XOZ).

Спутниковая геоцентрическая система координат закреплена на территории СНГ координатами 30 опорных пунктов космической геодезической сети со средними расстояниями 1-3 тысячи километров. Точность взаимного расположения пунктов характеризуется ошибками в 10, 20 и 30 см для расстояний соответственно в 100, 1000 и 10000 км. Ошибки привязки СГС-90 к геоцентру по абсолютной величине не превышают 1.5 м. Планетарные модели гравитационного поля Земли получены в виде разложений в ряд по сферическим функциям до 36 и 200 степени и порядка систем точечных масс (32000 параметров). Средняя квадратическая ошибка высоты геоида над эллипсоидом равна 1.5 м, что не уступает зарубежным моделям, а на территории СНГ превосходит их по точности. Для системы ПЗ-90 получены параметры связи с

системами СК-42 и WGS-84 (табл. 1.3).

Cистема WGS-84. Мировая геодезическая система WGS-84 (World Geodetic System - 84) была разработана Военно-картографическим агентством Министерства обороны США [DMA 1991]. Система WGS-84 реализована путем модификации координатной системы NSWC-9Z-2, путем приведения ее в соответствие с данными Международного Бюро Времени (МБВ). Для этого система NSWC-9Z-2 была сдвинута на -4.5 м по оси Z, повернута к западу на 0.814”, и масштабирована на - 0.6·10-6.

Начало системы WGS-84 находится в центре масс Земли, ось Z направлена к Условному земному полюсу (УЗП), установленного МБВ на эпоху 1984.0. Ось X находится на пересечении плоскости опорного меридиана WGS-84 и плоскости экватора УЗП. Опорный меридиан является начальным (нулевым) меридианом, определенным МБВ на эпоху 1984.0. Ось Y дополняет систему до правой, т.е. под углом 90о на восток. Начало координатной системы WGS-84 и ее оси также служат геометрическим центром и осями референц-эллипсоида WGS-84. Этот эллипсоид является эллипсоидом вращения. Его параметры почти идентичны параметрам международного эллипсоида GRS80.

Величина гравитационной постоянной для атмосферы Земли принята по рекомендациям

Система WGS-84 используется как система для бортовых эфемерид спутников GPS с 23 января 1987 г., заменив собою WGS-72. Обе системы были получены на основе доплеровских измерений спутников TRANSIT. Носителями системы были пять станций Контрольного сегмента GPS. Точность привязки начальной реализации системы WGS-84 к геоцентру не хуже, чем 1 м [DMA 1991].

С середины 90-х сеть станций WGS-84 значительно выросла. В 1994 г. Министерство обороны США ввело реализацию WGS-84, которая полностью базировалась на GPS измерениях, а не на доплеровских измерениях. Эта новая реализация известна как WGS-84(G730), где буква G стоит для обозначения GPS, а 730 обозначает номер недели (начиная с h UTC 2 января 1994 г.), когда Управление NIMA начало представлять свои орбиты GPS в этой системе. Следующая реализация WGS-84, названная WGS-84(G873), также полностью основывалась на GPS наблюдениях. Вновь буква G отражает этот факт, а “873” относится к номеру недели GPS, начавшейся в 0h UTC 29 сентября 1996 г. Хотя NIMA начало вычисление орбит GPS в этой системе с этой даты, сегмент Операционного контроля GPS не принимал WGS-84(G873) до 29 января

1997 г.

Начало, ориентировка и масштаб WGS-84(G873) определены относительно принятых координат для 15 станций слежения GPS: 5 из них поддерживаются ВВС, а 10 – NIMA (рис. 5.6 в главе 5). Система WGS84(G873) приближена к ITRF94 с субдециметровой точностью [Snay and Soler 1999-2000].

В 2001 г. Национальное управление по отображению и картированию (NIMA) совместно с Дальгреновским дивизионом военно-морского центра надводных вооружений провело 15-суточный сеанс наблюдений, в ходе которого провело привязку своей глобальной сети из 11 постоянных станций и шести станций Контрольного сегмента, управляемых ВВС, к сети станций Международной GPS службы. Координаты этих станций составили оперативную реализацию системы WGS-84, используемую МО США для высокоточных геодезических работ (в том числе для определения орбит). Образованны улучшенные оценки координат этих станций, привязанных к системе ITRF-2000, которые включены в оперативное использование NIMA и ВВС в январе 2002 г. Стандартные отклонения по каждой координате станций составляют около 1 см.

Полученному набору координат 17 станций было дано обозначение WGS84(G1150); он включает также набор принятых скоростей тектонических движений для станций на эпоху 2001.0. Это обозначение указывает, что координаты были получены через метод GPS и были применены для образования точных

GPS эфемерид NIMA, начиная с 1150 недели GPS [Merrigan et al. 2002] .

Практически отсчетная основа WGS-84(G1150) идентична отсчетной основе ITRF2000 (рис. 3.9). Больше информации по системе WGS-84 можно получить через Интернет: http://164.214.2.59/GandG/tr8350_2.html.

Объем измерительной астрономо-геодезической информации, обработанной для введения системы координат 1995 года, превышает на порядок соответствующий объем информации, использованной для установления системы координат 1942 года (СК-42).

Космическая геодезическая сеть предназначена для задания геоцентрической системы координат,

координат до потребителей.

В совместном уравнивании АГС представлена в виде пространственного построения. Высоты пунктов АГС относительно референц-эллипсоида Красовского определены как сумма их нормальных высот и высот квазигеоида, полученных из астрономогравиметрического нивелирования.

Впроцессе нескольких приближений совместного уравнивания высоты квазигеоида для территории отдаленных восточных регионов дополнительно уточнялись с учетом результатов уравнивания. С целью контроля геоцеитричности системы координат в совместное уравнивание включены независимо определенные геоцентрические радиус-векторы 35 пунктов КГС и ДГС, удаленных один от другого на расстояния около 1000км, для которых высоты квазигеоида над общим земным эллипсоидом получены гравиметрическим методом; а нормальные высоты - из нивелирования.

Врезультате совместного уравнивания КГС, ДГС, АГС и значений радиус-векторов пунктов построена сеть из 134 опорных пунктов ГГС, покрывающая всю территорию при среднем расстоянии между смежными пунктами 400...500 км.

Точность определения взаимного положения этих пунктов по каждой из трех, пространственных координат характеризуется средними квадратическими ошибками 0,25...0,80 м при расстояниях от 500

до 9000 км.

Абсолютные ошибки отнесения положений пунктов к центру масс Земли не превышают 1 м по каждой из трех осей пространственных координат.

Эти пункты использовались в качестве исходных при заключительном общем уравнивании АГС.

квадратическими ошибками: 0,02...0,04 м для смежных пунктов, 0,25...0,80 м при расстояниях от 1 до 9 тыс. км.

Между единой государственной системой геодезических координат 1995 года (СК-95) и единой государственной геоцентрической системой координат “Параметры Земли 1990 года” (ПЗ-90) установлена связь, определяемая параметрами взаимного перехода (элементами ориентирования). Направления координатных осей Х,У,2 используемой геоцентрической системы координат определены координатами пунктов КГС; начало координат этой системы установлено под условием совмещения с центром масс Земли.

За отсчетную поверхность в государственной геоцентрической системе координат (ПЗ-90) принят общий земной эллипсоид со следующими геометрическими параметрами:

•большая полуось 6378 136 м;

•сжатие 1:298,257839.

Центр этого эллипсоида совмещен с началом геоцентрической системы координат; плоскость начального (нулевого) меридиана совпадает с плоскостью ХZ этой системы.

Геометрические параметры общего земного эллипсоида приняты равными соответствующим параметрам уровенного эллипсоида вращения. При этом за уровенный эллипсоид вращения принята внешняя поверхность нормальной Земли, масса и угловая скорость вращения которой задаются равными массе и угловой скорости вращения Земли.

Масса Земли М , включая массу ее атмосферы, умноженная на постоянную тяготения f, составляет геоцентрическую гравитационную постоянную fМ = 39860044 х 107 м 3/с 2, угловая скорость вращения Земли w принята равной 7292115 х1011 рад/с, гармонический коэффициент геопотенциала второй степени J2, определяющий сжатие общего земного эллипсоида, принят равным108263х108.

Система координат 1995 года установлена так, что ее оси параллельны осям геоцентрической системы координат. Положение начала СК-95 задано таким образом, что значения координат пункта ГГС Пулково в системах СК-95 и СК-42 совпадают.

Переход от геоцентрической системы координат к СК-95 выполняется по формулам:

XС К- 9 5 = XП З - 9 0 - ДX0

YС К - 9 5 = YП З - 9 0 - ДY0

ZС К - 95 = ZПЗ - 90 - ДZ0

где ДХ0, ДУ0, ДZ0 - линейные элементы ориентирования., задающие координаты начала системы координат 1995 года относительно геоцентрической системы координат ПЗ-90, составляют ДХо = +25,90 м; ДУ0 = -130,94 м, ДЖо = -81,76 м.

За отсчетную поверхность в СК-95 принят эллипсоид Красовского с параметрами:

• большая полуось 6378 245 м;

• сжатие 1: 298,3.

Малая полуось эллипсоида совпадает с осью 7, остальные оси системы координат СК-95 лежат в его экваториальной плоскости, при этом плоскость начального (нулевого) меридиана совпадает с плоскостью ХЖ этой системы.

Положение пунктов ГГС в принятых системах задается следующими координатами:

• пространственными прямоугольными координата ми X, У, Z ;

• геодезическими (эллипсоидальными) координата ми В, L, Н;

• плоскими прямоугольными координатами х и у, вычисляемыми в проекции Гаусса-Крюгера.

При решении специальных задач могут применяться и другие проекции эллипсоида на плоскость.

Геодезические высоты пунктов ГГС определяют как сумму нормальной высоты и высоты квазигеоида над отсчетным эллипсоидом или непосредственно методами космической геодезии, или путем привязки к пунктам с известными геоцентрическими координатами.

Нормальные высоты пунктов ГГС определяются в Балтийской системе высот 1977 года, исходным началом которой является нуль Кронштадтского футштока.

Карты высот квазигеоида над общим земным эллипсоидом и референц - эллипсоидом Красовского на территории Российской Федерации издаются Федеральной службой геодезии и картографии России и Топографической службой ВС РФ.

Масштаб ГТС задается Единым государственным эталоном времени-частоты-длины. Длина метра принимается в соответствии с резолюцией MAS Генеральной конференции по мерам к весам (октябрь 1983 г.) как расстояние, проходимое светом в вакууме за 1:299 792 458-ую долю секунды.

В работах по развитию ГГС используются шкалы атомного ТА (813) и координированного UTC (SU) времени, задаваемые существующей эталонной базой Российской Федерации, а 1-акже параметры вращения Земли и поправки для перехода к международным шкалам времени, периодически публикуемые Госстандартом России в специальных бюллетенях Государственной службы времени и частоты (ГСВЧ).

Астрономические широты и долготы, астрономические и геодезические азимуты, определяемые по наблюдениям звезд, приводятся к системе фундаментального звездного каталога, к системе среднего полюса и к системе астрономических долгот, принятых на эпоху уравнивания ГГС.

Метрологическое обеспечение геодезических работ осуществляется в соответствии с требованиями государственной системы обеспечения единства измерений.

Типы средств измерений, применяемые при создании ГГС, включая импортируемые., должны быть утверждены, а средства измерений при выпуске из производства, после ремонта и в процессе эксплуатации должны проходить поверку в соответствии с Федеральным законом “Об обеспечении единства измерений” от 27.04.1993 №4871-1 (с изменениями).

3.3. Референцные системы координат

Эти земные системы связаны с локальными референц-эллипсоидами. Центры референц-эллипсоидов как правило не совпадают с центром масс Земли из-за ошибок ориентирования. Поэтому эти системы иногда называют еще квазигеоцентрическими.

Основной плоскостью в референцной системе является плоскость экватора референц-эллипсоида. Ось Z направлена по нормали к экватору, вдоль малой оси эллипсоида. Ось X направлена в плоскости начального меридиана геодезической системы, то есть проходит через точку B=0, L=0. Ось Y дополняет две предыдущие оси до правой (или левой) координатной системы. Возможно использование размеров и формы одного и того же эллипсоида в различных координатных системах, отличающихся своей ориентировкой (исходными геодезическими датами).

В референцных системах обычно применяются геодезические (сфероидические) координаты (рис. 3.6): геодезическая широта B, геодезическая долгота L и высота над эллипсоидом H.

Из-за наблюдательных ограничений, наложенных ранее условностями геодезии, исторически оказались выполненными два разных типа геодезических систем:

- двухмерные континентальные плановые геодезические системы, закрепленные пунктами

геодезических сетей с координатами B r , североамериканская система NAD-27,

- полностью независимые континентальные высотные системы, являющиеся по существу физическими геодезическими основами, независимыми от эллипсоида, и строящиеся на основании уравнивания нивелирных наблюдений. К таким системам относится принятая в России Балтийская система высот 1942 г. и принятая в США Национальная геодезическая система высот 1929 г. (National Geodetic Vertical Datum, NGVD29). В этих системах высоты точек задаются относительно геоида (квазигеоида). Глобальные систем высот пока не определены и не приняты, хотя исследования в этом направлении ведутся

[70].

Таблица 3.3. Параметры некоторых локальных референц-эллипсоидов

Принятая в США система NAD-83 представляет собой пример глобальной плановой координатной системы, относящейся к эллипсоиду GRS-80. Хотя при установлении этой системы использовались данные РСДБ и доплеровские наблюдения спутников, при уравнивании сети не были включены в качестве неизвестных поправки к высотам точек над эллипсоидом, то есть NAD-83 - плановая система координат

[Snay, Soler 1999].

Континентальные плановые координатные системы, установленные по классическим геодезическим измерениям, не являются геоцентрическими. Наблюденные значения широт и долгот, принятые уклонения отвесных линий и ондуляции геоида в начальных точках сети (пункт Пулково для СК-42 или Meades Ranch в Канзасе для NAD-27), а также выбранные параметры подходящих эллипсоидов влияют на сдвиги начала системы по отношению к геоцентру. Использование упрощенного уравнения Лапласа и ошибки в измеренных астроазимутах приводят к непараллельности осей локальной референцной и общеземной систем. Различная методика измерений и обработки базисов и использование разных эталонов метра приводит к расхождению в масштабах систем.

Системы СК-42 и СГС-95

Система 1942 года (СК-42) является основной системой координат, принятой для использования в России (и в бывшем Советском Союзе). После 1946 года, когда были приняты параметры нового эллипсоида, более подходящего на территории нашей страны для обработки астрономо-геодезических построений и картографирования, в России была установлена система исходных геодезических дат с началом в пункте Пулково и поверхностью относимости в виде референц-эллипсоида Красовского. Работы по выводу параметров нового референц-эллипсоида велись в течение 10 лет в ЦНИИГАиК под руководством проф. Красовского Ф.Н. Впервые для вывода параметров эллипсоида были привлечены гравиметрические данные как на территории СССР, так и на зарубежной территории. Данная система получила название «Система 1942 года» (СК-42) [Макаренко и др. 2000].

По теоретическому определению начало системы координат 1942 года (СК-42) близко к центру масс Земли, но не совпадает с ним примерно на 200 м. Ось Z42 параллельна оси Z общеземной системы, ось X42 определяется положением нульпункта принятой системы счета долгот, ось Y42 дополняет систему до правой.

Центр референц-эллипсоида СК-42 совпадает с началом прямоугольной системы координат (X42, Y42, Z42), ось вращения совпадает с осью Z42, плоскость начального меридиана совпадает с плоскостью

(XOZ)42.

Линейные и угловые элементы ориентирования задают координаты центра референц-эллипсоида Красовского и ориентировку осей системы 1942 г. в общеземной системе координат. Система была реализована на территории страны системой 87 уравненных полигонов триангуляции 1-го класса, полностью покрывавших Европейскую часть страны и распространявшихся на восток в виде узкой цепочки полигонов. Сеть триангуляции уравнивалась отдельными блоками. На границе блоков результаты предыдущего уравнивания принимались за безошибочные и таким образом координаты постепенно передавались все далее на восток. В каркас полигонов 1-го класса вставлялась заполняющая сеть триангуляции 2-го класса. Такой принцип построения сети привел к неизбежным деформациям сети.

В 1991 г. построенная на территорию страны астрономо-геодезическая сеть (АГС) из 164000 пунктов была уравнена как единое целое. Результаты уравнивание подтвердили наличие значительных деформаций в сети, достигавших на севере и на востоке 20 – 30 метров. Локальные деформации на границах блоков иногда достигали 10 м. Точность взаимного положения пунктов в уравненной сети характеризуется средними квадратическими ошибками в 6, 20, 60 и 200 см при расстояниях соответственно в 10, 100, 1000 и 10000 км.

Проведенное уравнивание АГС показало необходимость в новой системе с однородной точностью координат по всей стране. Для повышения точности было решено использовать результаты высокоточных спутниковых измерений на 26 пунктах Космической геодезической сети (КГС), построенной ВТУ, и 134 пунктах Доплеровской геодезической сети (ДГС), созданной Роскартографией. В качестве дополнительных измерений в общее решение вошли геоцентрические расстояние геодезических пунктов, с использованием гравиметрических высот квазигеоида. Результаты проведенного в 1995 г. совместного уравнивания стали основой системы геодезических координат 1995 г. (СК-95).

Оси системы СК-95 параллельны осям общеземной системы ПЗ-90, то есть связь между этими системами устанавливается только тремя параметрами переноса. Другое условие реализации системы заключалось в неизменности геодезических координат пункта Пулково, то есть координаты начала геодезической сети в системах СК-42 и СК-95 были приняты одинаковыми. Это нестандартное решение привело к тому, что поправки в координаты пунктов на Европейской части России и на юге Сибири

Частными случаями матрицы R являются матрицы вращения вокруг одной из осей. Для таких случаев используется уравнение:

где - угол вращения, а i - номер оси, вокруг которой производится вращение. Если вращение происходит

При поворотах вокруг второй и третьей оси соответственно на углы и имеем:

Очень часто поворот разбивают на три вращения либо с использованием углов Эйлера (рис. 2.13), либо углов Кардано (рис. 2.14). На рис. 2.13 основные плоскости систем СК1 и СК2 пересекаются по линии

что первое вращение производится вокруг оси ZCK1 на угол Z против часовой стрелки. В результате этого вращения ось XCK1 оказывается в положении X , а ось YCK1 – в положении Y . Второе вращение производится вокруг оси X на угол X, в результате чего ось Y оказывается в положении YCK2, а ось ZCK1 – в положении Z .