MathAn / !Лекция-II(4)-№2(2014-15)_St
.pdfМатематический анализ. Модуль-4
Лекция №2 Числовые ряды (продолжение)
5.Признаки сходимости ч.р.
признаки сходимости рядов с неотрицательными членами;
знакопеременные ряды;
абсолютно и условно сходящиеся ряды
Теорема 7 (признак Даламбера)
Если для ряда an ( an 0 ) существует предел
n 1
lim an 1 L , то n an
1)при L 1 ряд сходится;
2)при L 1 ряд расходится.
Доказательство
По определению предела числовой последовательности
0 N N : n N |
an 1 |
L |
L |
an 1 |
L . |
||
|
|
||||||
|
|
an |
|
|
an |
||
1) Пусть L 1, выберем настолько малым, что q L 1, тогда |
|||||||
an 1 qan |
для всех n N a2 |
qa1, a3 q2a1, , an qn 1a1 bn , |
|||||
|
|
|
|
|
|||
где bn |
a1qn 1 - сходящаяся геометрическая прогрессия |
||||||
n 1 |
n 1 |
|
|
|
ряд an ( an 0 ) сходится (на основании ???).
n1
2)Пусть L 1, тогда выберем q: L q 1, и, рассуждая аналогично 1),
получим an qn 1a1 bn |
|
|
an ( q 1) и ряд an |
( an 0 ) |
|
|
n 1 |
|
расходится (на основании ???).
#
1
Математический анализ. Модуль-4
Следствие
Если расходимость ряда установлена по признаку Даламбера, то lim an 0 .
n
Пример 6
!!! Если ряды содержат в общем члене степени, то удобно использовать следующий признак.
Теорема 8 (радикальный признак Коши)
Если для ряда an ( an 0 ) существует предел
|
|
|
n 1 |
|
|
|
L , то |
lim n a |
n |
||
n |
|
||
|
|
1)при L 1 ряд сходится;
2)при L 1 ряд расходится.
Доказательство аналогично признаку Даламбера.
Признаки Даламбера и Коши взаимозаменяемы, но признак Даламбера более удобен в применении и используется чаще.
НО!!!
Пример 7 (контрпример)
Теорема 8 (интегральный признак)
Если функция f : 1, R не возрастает и неотрицательна, то интеграл
|
|
|
|
|
|
|
f x dx и ч.р. |
an |
( an f (n) 0 ) либо оба сходятся, либо оба |
||||
1 |
n 1 |
|
|
|
|
|
расходятся. |
|
|
|
|
|
|
Пример 8a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||
Исследовать сходимость «эталонного» ряда |
. |
|||||
|
|
|||||
|
n |
|||||
|
|
n 2 n ln |
|
Пример 8b
2
Математический анализ. Модуль-4
|
|
|
|
|
1 |
|
1 . |
|
|
Исследовать сходимость «эталонного» ряда |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
n 1n |
|
|
|
||
6. Знакопеременные ряды. |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Def 4. Ряд |
1 n 1an a1 a2 |
1 n 1an an 0 называется |
|
||||||
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
знакочередующимся. |
|
|
|
|
|
|
|||
Признак Лейбница (достаточный признак) |
|
||||||||
|
Теорема 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если для ряда 1 n 1an a1 a2 1 n 1an выполняются |
|
|||||||
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
условия |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) a1 a2 an , |
|
|
|
|
|
|
||
|
2) lim an 0, |
|
|
|
|
|
|
||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то ряд сходится. |
|
|
|
|
|
|
||
|
Доказательство |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть для ряда 1 n 1an выполняются условия 1) и 2). |
|
|||||||
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим частичную сумму S2n a1 a2 a3 a4 a2n 1 a2n . |
||||||||
|
По условию 1) каждая скобка >0 последовательность S2n возрастающая |
||||||||
|
и S2n 0. Перегруппируем члены в S2n : |
|
|
|
|
||||
|
S2n |
a1 a2 a3 a4 a5 a2n 2 |
a2n 1 a2n , отсюда S2n a1 |
|
|||||
|
S2n |
ограничена lim |
S2n S a1. |
|
|
|
|
||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим последовательность нечетных сумм S2n 1 . По условию 2) |
|
|||||||
|
lim |
S2n 1 |
lim S2n a2n 1 lim S2n |
lim a2n 1 S . |
|
||||
|
n |
n |
n |
|
n |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
Т.о., последовательность Sn имеет конечный предел ряд сходится, # |
|
|||||||
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 9a |
|
|
|
|
|
|
|
3
Математический анализ. Модуль-4
1 n 1
Исследовать сходимость ряда .
n 1 n
Пример 9b
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|||
Исследовать сходимость гармонического ряда |
|
|
|
. |
|
|
|||
n |
|
n |
|
|
n 1 |
|
|
|
Def 5. Знакопеременным числовым рядом называется ряд an , содержащий
n 1
положительные и отрицательные члены.
! Знакочередующийся ряд – частный случай знакопеременного ряда.
7. Абсолютно и условно сходящиеся ряды
|
|
|
|
|
|
|
||||
Def 6. Ряд an называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд |
|
|
an |
|
, и |
|||||
|
|
|||||||||
n 1 |
|
|
|
|
|
n 1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
условно сходящимся, если ряд an сходится, а |
|
|
an |
|
расходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
n 1 |
n 1 |
|
|
|
|
|
Теорема 10 (признак абсолютной сходимости)
Всякий абсолютно сходящийся ряд сходится.
Без док-ва
Пример 10a
sin n
Исследовать на сходимость ряд
n 1 n2
Пример 10b
1 n 1
Исследовать на сходимость ряд
n 1 n
!!! Деление знакопеременных рядов на абсолютно сходящиеся и условно сходящиеся КРИТИЧНО.
! На абсолютно сходящиеся ряды можно переносить все свойства конечных сумм.
Теорема 11 (признак абсолютной сходимости)
4
Математический анализ. Модуль-4
Сумма абсолютно сходящегося ряда не меняется при перестановке слагаемых.
Доказательство
! Для условно сходящегося ряда теорема 11 не работает. В результате перестановки слагаемых можно получить расходящийся ряд.
5