Аппроксимация данных с использованием метода наименьших квадратов

ТЕМА 10. Изучаемые вопросы: Построение трендовых моделей при помощи диаграмм в среде MIKROSOFT EXCEL; Коэффициент достоверности аппроксимации R²

Аппроксимация данных функции методом наименьших квадратов

Цель: Построить кривые, аппроксимирующие с заданной точностью исходные данные, полученные в ходе экспериментального исследования.

 В качестве исходных данных имеем значения ежемесячного износа тормозных колодок автомобиля. Исходные данные представлены в виде, графика (рис. 32) состоящего из 10 результатов измерений износа (по месяцам).

Рис.32. График износа тормозных колодок автомобиля (по месяцам года)

Рассматриваемый процесс колебания ежемесячного износа тормозных колодок имеет моменты пиков и спадов. Это объясняется тем что, износ нестабилен по времени, так как зависят от пробега, климатических и дорожных условий и т.п., а значит, является случайной величиной. В связи с этим удобней будет работать с аппроксимированными параметрами модели.

Аппроксимацию выполним методом наименьших квадратов.

Пусть …,- последовательность линейно-независимых функций на [a,b]. Аппроксимирующую функциюбудем представлять в виде:

(56)

где с₁,с₂,…..,с_n - неизвестные параметры функции .

Тогда, согласно методу наименьших квадратов, функционал J, имеющий смысл суммы квадратов отклонений аппроксимирующей функции от результатов измеренийв заданных точках запишется в виде:

(57)

и параметры с₁,с₂,…..,с_n будем выбирать из условия минимума этого функционала, т.е.

, j=1,n. (58)

(59)

или

, j=1,n (60)

Последнее выражение можно записать в виде системы линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных параметров с₁,с₂,…..,с_n .

(61)

или в матричной форме:

, (62)

где: A – симметрическая матрица порядка n; – n мерный вектор-столбец свободных членов;– n мерный вектор-столбец неизвестных параметров, которые можно представить в виде:

, (63)

, (64)

(65)

Таким образом, задача нахождения параметров аппроксимирующей функции (42) сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений (48). Это можно сделать двумя способами:

1. либо искать решение системы (45);

2. либо находить матрицу , обратную матрице A, тогда

(66)

В большинстве случаев (в зависимости от вида конкретных матриц) при аппроксимации удобно придерживаться второго пути. В качестве последовательности …,- взяты величины: (1,X, X², …….Xⁿ).

Построение трендовых моделей при помощи диаграмм

Многие экспериментальные данные можно интерпретировать как временные ряды - последовательность измерений, полученных в определенные моменты времени t_i, где i - порядковый номер измерения на оси времени. Такие ряды характеризуются некоторой тенденцией развития процесса во времени и называются трендовыми. Используя трендовые модели, можно выдавать прогнозы на краткосрочный и среднесрочный периоды. Excel имеет средства для создания трендовых моделей встроенные в построитель диаграмм.

Одной из форм трендовых моделей при постоянном шаге по времени является линейная модель:

(67)

В качестве примера используем данные о динамике изменения числа автомобилей в АТП с 2000 по 2010 гг. Знание этой динамики позволяет планировать развитие АТП и его инфраструктуры на перспективу. Исходные данные приведены в таблице 3. Таблица 3.

Порядок расчетов следующий.

1. Выделить диапазон B2:B12 и построить по этим данным диаграмму типа "График", щелкнув по значку "Мастер диаграмм" на панели инструментов.

2. Выделить диаграмму и выполнить Диаграмма/Добавить линию тренда.

3. В окне "Линия тренда" открыть вкладку "Параметры" и установить флажки "Показывать уравнение на диаграмме" и "Поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации".

1. На вкладке "Тип" выбрать тип диаграммы – линейная и нажать Ok. Результаты показаны на рисунке.

1. Вычислить по формуле y = 23,818x + 105,82. Следует учесть, что аргументом трендовой модели является порядковый номер, т.е. в нашем примере x=12. В результате получим прогноз на 2011 год: 391 автомобиль.

Коэффициент достоверности аппроксимации R² показывает степень соответствия трендовой модели исходным данным. Его значение может лежать в диапазоне от 0 до 1. Чем ближе R² к 1, тем точнее модель описывает имеющиеся данные.

Возможно, что более точный прогноз был бы получен с помощью степенной или экспоненциальной линий тренда. Поэтому рассмотрим еще один пример использования нелинейного тренда.

В процессе изменения угла опережения зажигания у двигателя автомобиля ГАЗ-3307 контролировали часовой расход топлива. Регулировку выполняли на стенде тяговых качеств. Значения угла опережения зажигания Х и значения часового расхода топлива записывали в таблицу 4.

Таблица 4.

Х	1	2	3	4	5	6	7
	41	25	20	19	27	41	68

После чего результаты измерений были занесены в таблицу 5 среды Microsoft Excel:

Таблица5.

Рис. 33. Внешний вид таблицы 1 в среде Microsoft Excel

Выделим диапазон А2:B8 и построим по этим данным диаграмму типа "Точечная", щелкнув по значку "Мастер диаграмм" на панели инструментов.

Рис. 34 Внешний вид графика функции в средеMicrosoft Excel

Выделим диаграмму и выполним Диаграмма/Добавить линию тренда. (см. рис. 35).

Рис. 35. Опция добавления линии тренда на график функции

В окне "Линия тренда" открыть вкладку "Параметры" и установить флажки "Показывать уравнение на диаграмме" и "Поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации" (см. рис. 34 и 35).

Рис. 36. Опция добавления линии тренда на график функции

Рис. 37 Опция добавления уравнения графика функции

На вкладке "Тип" выбрать тип диаграммы – «Полиномиальная» и нажать Ok. Результаты показаны на рисунке 36.

Рис. 38 График и уравнение функции

Полученное уравнение y = 3,9048x² – 26,952x + 64,143 зависимости часового расхода топлива от величины угла опережения зажигания с достоверностью аппроксимации R² = 0,9952 позволяет определить оптимальный для данного автомобиля угол опережения зажигания (на уровне 3,5^о), обеспечивающий минимум часового расхода топлива.