Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
24
Добавлен:
26.03.2016
Размер:
295.26 Кб
Скачать

-->plot(x,y)

В результате получим окно с графиками, изображенное на рис.2.

Рис. 2 Графическое окно

Для построение графика функций двух переменных необходимо сначала сформировать матрицу значений функции, например так:

-->x=-5:0.5:5; -->y=-5:0.5:5;

-->z=10*(exp((-x^2)/20))'*(exp((-y.^2)/20));

а затем с помощью команды plot3d(x,y,z) построить график (рис.3).

11

Рис. 3 График функции двух переменных

Сценарии. Файл сценария --- это список команд SciLab, сохраненный на диске. Для удобства работы со сценариями в комплекте SciLab имеется текстовый редактор (пункт меню Editor). Сценария сохраняются в виде файлов с расширением sce. Загрузить сценарий на исполнение можно двумя способами:

с помощью пункта меню Execute->Load into SciLab встроенного радактора

с помощью команды exec('Путь к файлу сценария'). ЦЕЛЕСООБРАЗНО ИСПОЛЬЗОВАТЬ СЦЕНАРИИ ПРИ

ВЫПОЛНЕНИИ ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЫ!!!

Функции. Система SciLab предоставляет несколько способов определения новых функций. Первый из них --- ис-

пользование команды deff: deff('[Рез1,Рез2,...]=ИмяФункции(Арг1,Арг2,...)',

'Тело функции; Рез1=выражение; Рез2=выражение;...')

12

Для того, чтобы использовать функции в будущем целесообразно размещать их в отдельных файлах с расширением sci (можно по нескольку функций в одном файле). В этом случае каждую функцию необходимо оформлять следующим образом:

function [Рез1,Рез2,...]=ИмяФункции(Арг1,Арг2,...) Тело функции...

Рез1=выражение; Рез2=выражение;...

...

endfunction

Перед использованием функции должны быть загружены в систему SciLab с помощью одной из команд

-->exec('Путь к файлу функции'), -->getf('Путь к файлу функции').

Дифференцирование. Пакет программ SciLab имеет возможности численного дифференцирования несколькими способами.

1 способ. Если функция задана таблицей своих значений (т.е. вычислен вектор y значений функции для некоторого вектора x), то для нахождения первого дифференциала используют функцию

-->dy1=diff(y)

а для нахождения n-го дифференциала

-->dyn=diff(y,n).

После нахождения дифференциалов рассчитывают производную по формуле

y ' =1h dy1dy22 dy33 dy44 dy55 ...

13

Например, вычислим значение производной функции f x = x 2 3 5x в точке x=1. Введём функцию

-->function y=f(x), y=(x+2)^3+5*x, endfunction;

Определим вектор x и вычислим вектор y=f(x):

--> h=0.1

--> x=0:h:3 // 31 компонент вектора --> y=f(x)

Вычислим дифференциалы первого, второго и третьего порядка:

--> dy1=diff(y,1); --> dy2=diff(y,2); --> dy3=diff(y,3);

Заметим, что размерность вектора dy1 на единицу меньше размерности векторов x и y, то есть составляет 30 компонент. Аналогично размерность вектора dy2 на 1 меньше размерности dy (29 компонент), а размерность dy3 на 1 меньше размер-

ности вектора dy2 (28 элементов). Рассчитываем вектор зна-

чений первой производной, учитывая три первых дифференциала

--> for k=1:28, z(k)=(dy1(k)-dy2(k)/2+dy3(k)/3)/0.1, end

Значение х=1 является одиннадцатым компонентом вектора x. Поэтому выведем на экран значение z(11):

--> disp(z(11)) 32.

Это и есть искомое значение производной.

2 способ. С помощью команды

--> g=numdiff(fun,x),

где первый аргумент — имя дифференцируемой функции, второй — значение переменной х, по которой происходит

14

дифференцирование. Например, вычислим значение производной функции f x = x 2 3 5x в точке x=1

-->function f=my(x), f=(x+2)^3+5*x, endfunction; -->numdiff(my,1)

ans = 32. -->x=1;3*(x+2)^2+5 ans = 32.

В следующем примере вычислим значение первой производной в нескольких точках m=[0:3]

-->v=0:3;

 

 

-->numdiff(my,v)

 

ans =

 

 

 

17.

0.

0.

0.

0.

32.

0.

0.

0.0. 52.999999 0.

0.0. 0. 80.000002

-->function f1=my1(x), f1=3*(x+2)^2+5, endfunction; -->my1(v)

ans = 17. 32. 53. 80.

15

Практическое задание.

В вашем варианте дана функция f t и точка x0 .

1.Разложите заданную функцию f t в ряд Тейлора в окрестности точки x0 . Найдите 10 первых коэффициентов ряда.

2.Напишите функцию, реализующую вычисление приближенного значения заданной вам функции суммированием первых n членов ряда Тейлора.

3.Постройте на одном графике заданную функцию вместе с приближенной.

4.Вычислите ошибку представления заданной функции своими приближениями. Постройте на отдельном графике ошибку в зависимости от х.

Варианты

Функция f(t)

Точка x0

1

f x =exp −x2

0

2

f x =cos x

1

3

f x =x8 3x2−2

2

4

f x =exp −x cos 5x

3

5

f x =sin x2

π

6

f x =tg x

0

7

f x =ctg x

π /2

8

f x =1−2cos x

0

9

f x =8x tg x

0

10

f x =x exp −x2

0

16

 

11

f x =sin x

 

0

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

12

f x =sin2 x cos2 2x

 

1

 

13

f x =exp −x2 x

 

 

 

14

f x =sin2 x2

 

2

 

15

f x =cos x exp −x2

 

π

 

 

Пример выполнения работы.

Пусть дана функция f x =x2 exp x2

и точка x0=1.

1.Создадим файл сценария test.sce. Все описываемые далее команды будем писать в файле сценария и загружать его на выполнение.

2.Определим функцию

function y=f(x), y=(x^2)*exp(-x^2), endfunction;

и построим ее график t=-5:0.1:5;

ff=f(t);

plot(t,ff)

3.Для нахождения производных введем дискретизацию некоторой окрестности исходной точки x0. При этом точка х0 должна располагаться не посередине выбранной окрестности, а ближе к ее левому краю.

x=0:0.1:5

Заметим, что при таком выборе дискретизации исходная точка x0 имеет номер 11, то есть х(11)=х0.

4.Вычисляем значения функции в узлах дискретизации y=f(x);

5.Находим значения первой производной в узлах дискретизации

dy1=diff(y,1);

dy2=diff(y,2);

dy3=diff(y,3); for k=1:28

z(k)=(dy1(k)-dy2(k)/2+dy3(k)/3)/0.1; end

disp(z(11))

6.Вычисляем значения второй производной dz1=diff(z,1);

dz2=diff(z,2);

dz3=diff(z,3); for k=1:25

w(k)=(dz1(k)-dz2(k)/2+dz3(k)/3)/0.1; end

disp(w(11))

18

7.Вычисляем значения третьей производной dw1=diff(w,1);

dw2=diff(w,2);

dw3=diff(w,3); for k=1:22

v(k)=(dw1(k)-dw2(k)/2+dw3(k)/3)/0.1; end

disp(v(11))

8.Вычисляем значения четвертой производной dv1=diff(v,1);

dv2=diff(v,2);

dv3=diff(v,3); for k=1:19

q(k)=(dv1(k)-dv2(k)/2+dv3(k)/3)/0.1; end

disp(q(11))

9.Формируем ряд Тейлора x0=x(11);

A=y(11);

B=z(11);

C=w(11)/2;

D=v(11)/6;

E=q(11)/24;

function y=g(x), y=A+B*(x-x0)+C*(x-x0)^2+ D*(x-x0)^3+E*(x-x0)^4 , endfunction;

19

10. Строим график функции g(x) gg=g(t);

plot(t,gg)

Получаем

11.Введем функцию ошибки приближения рядом Тейлора function e=err(x), e=abs(f(x)-g(x)), endfunction;

20

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.