TVSP_2
.pdf
Ответ: Корреляционная функция импульсной характеристики цепи имеет вид Rg (τ) = 5 10−3 exp(−106 τ ) (1/с), а
корреляционная функция отклика цепи на воздействие случайного напряжения Bвых(τ) = 5 10−16 exp(−106 τ ) (В2).
10.3. Сопоставьте шумовые полосы пропускания цепей, амплитудно-частотные характеристики которых показаны на рис. 28.
2 |
|K(f)| |
2· |
|
2 |
|K(f)| |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
f |
/ Fгр |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
–Fгр |
Fгр |
f, Гц |
|
–Fгр |
Fгр f, Гц |
|||||||||
|
|
Рис. 28. Амплитудно-частотные характеристики |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
сравниваемых цепей |
|
|
|
||||||
|
|
Ответ: Для АЧХ, показанной слева, шумовая полоса про- |
|||||||||||||
пускания составляет |
Пшf1 |
= Fгр / 2, а для показанной справа – |
|||||||||||||
шумовая полоса равна |
Пшf2 = Fгр / 3. |
|
|
|
|||||||||||
10.4. На параллельную RC-цепь с номиналами элементов R = 2 кОм, C = 0,25 мкФ воздействует дробовой ток со спектральной плотностью мощности Sj(f) = 4·10–21 А2/Гц. Оцените возможность наблюдения на элементах RC напряжения, мгновенное значение которого превышает +2 мкВ.
Ответ: При шумовой полосе Пшf = 500 Гц эффективное значение напряжения на элементах RC составляет σRC = 4 мкВ. Вероятность превышения порога 2 мкВ составляет p ≈ 30%.
10.5. На резонансный усилитель с частотой настройки контура ωрез = 107 рад/с и максимумом коэффициента усилении K0 = 20 воздействует дробовой ток со спектральной плотностью мощности Sj(ω) = 10–22 А2/Гц. Определите эквивалент-
98
ную добротность контура, служащего нагрузкой усилителя, если средняя мощность наблюдаемых на контуре реализаций напряжения составляет Pu = 2·10–15 В2/Гц.
Ответ: Для обеспечения мощностных показателей необходимо, чтобы шумовая полоса усилителя составляла 2,5·104 Гц, что требует эквивалентной добротности Qэ = 100.
10.4.Контрольные задания
10.6.Шум с показанной в левом столбце приведенной ниже таблицы спектральной плотностью мощности воздействует на усилитель, АЧХ которого представлена в правом столбце той же таблицы. Используя эффект нормализации широкополосных процессов в узкополосных цепях, определить вероятность наблюдения на выходе усилителя отрицательных мгновенных значений, меньших чем –0,2 В.
Но- |
Спектральная плотность |
Характеристика фильтра |
|||||||||||||
мер |
мощности шума на входе |
||||||||||||||
|
|
2·10 –7 |
Sξ(f), В2/Гц |
10 |
|K(f)| |
|
|
||||||||
1 |
|
|
f, Гц |
|
|
|
|
|
|
|
|
f, кГц |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
106 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
+10 |
6 |
|
-4 |
-3 |
3 4 |
|
|
||||||
|
|
|
белый шум |
интегрирующая RC-цепь |
|||||||||||
2 |
|
|
|
|
с постоянной времени |
||||||||||
|
Sвх(f) = 2,5 · 10 –16 А2/Гц |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
τц = 5 · 10 |
–4 |
с |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
Sξ(f), В2/Гц |
параллельный колебательный |
||||||||||
|
10 |
–5 |
|
|
|
контур с полосой пропускания |
|||||||||
3 |
|
|
f, Гц |
Пω0,707 = 2·105 рад/с и резо- |
|||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
нансным сопротивлением |
||||||||
|
- |
109 |
0 |
+10 |
9 |
|
|
|
|
Rк = 2 кОм |
|
|
|||
|
|
|
|
99 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Sξ(f), В2/Гц |
5 |
|K(f)| |
|
|
|
|
||||
|
8·10 –8 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4 |
f, Гц |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
f, кГц |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
-106 |
0 |
+106 |
|
|
|
|
||||||
|
-40 -30 |
|
|
30 40 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
0,02/π |
Sξ(ω), В2/Гц |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
интегрирующая RC-цепь |
|||||||||||
5 |
|
|
|
||||||||||
|
|
ω, рад/с |
с номиналами элементов |
||||||||||
|
|
|
R = 20 кОм, C = 5 нФ |
|
|||||||||
|
-104 |
|
104 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
–6 |
Sξ(f), В2/Гц |
|
|
−10−3 | f −10 |
4 | |
|
|
||||
|
1,25·10 |
|
e |
, f |
> 0 |
||||||||
6 |
|
|
2 |
|
−3 |
|
|
|
|||||
|
|
f, Гц |
| K( f ) | = |
e |
−10 |
| f +10 |
4 |
| , f |
< 0 |
||||
|
|
|
2 |
|
|
||||||||
|
-107 |
|
+107 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
белый шум |
интегрирующая RC-цепь |
||||||||||
7 |
|
с номиналами элементов |
|||||||||||
Sξ(f) = 8 · 10 –6 В2/Гц |
|||||||||||||
|
R = 20 кОм, C = 5 нФ |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
8·10 –8/π |
Sξ(ω), В2/Гц |
L = 1 мГн |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
8 |
|
|
|
ξ(t) |
|
|
|
|
|
|
η(t) |
||
|
|
ω, рад/с |
R = 1 кОм |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
-106 |
|
106 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Sξ(f), В2/Гц |
| K(f) | |
K0·cos(π·10-3·f) |
|
|||||||
9 |
1,25·10 –6 |
f, Гц |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
-105 |
0 |
+105 |
-0,5 |
|
|
|
0,5 f, кГц |
|||||
|
|
|
|
100 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
белый шум |
|
e |
−10−3 | f −10 |
4 | |
, f > 0 |
||||
10 |
2 |
|
|
|
|
|
||||
Sξ(f) = 5 · 10 |
–6 2 |
| K( f ) | = |
|
−10 |
−3 |
| f +10 |
4 |
| |
|
|
|
|
e |
|
|
, f < 0 |
|||||
|
В /Гц |
2 |
|
|
|
|
|
|||
10.7. Случайный процесс с показанной в левом столбце таблицы ниже спектральной плотностью мощности воздействует на вход фильтра, определяемого центральным столбцом той же таблицы. После прохождения через фильтр мощность случайного процесса не изменяется. Определить значение параметра, приведенного в последнем столбце таблицы.
Но- |
Спектральная плотность |
Фильтр / схема фильтра |
Ис- |
||||||||||||
мер |
|
мощности воздействия |
|
|
|
|
кать |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
S0 |
Sξ(f), В2/Гц |
2 |
|K(f) | |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f, кГц |
Fгр |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-90 |
|
90 f, кГц |
–Fгр |
|
Fгр |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
S0 |
Sξ(f), В2/Гц |
9 |
|K(f)| |
|
||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Fм |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
f, Гц |
|
|
|
f, кГц |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
Fм |
+F |
м |
-9 |
9 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
S0 |
Sξ(f) = S0·e-0,01 · | f | |
|
|
|
|
|
|||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| K( f ) | = 1,1 e−α | f | |
α |
||||
|
|
|
|
|
|
|
f, кГц |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
S0 |
Sξ(ω), В2/Гц |
|
K0 |
|K(f)| |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
f, кГц |
|
|
|
f, кГц |
K0 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
-50 |
|
50 |
|
|
–20 |
+20 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
101 |
|
|
|
|
|
||
|
|
Sξ(f), В2/Гц |
|
|
|K(f)| |
|
|
|
|
10.8. На резонансный усилитель, настроенный на частоту |
|||||||
|
S0 |
S0·cos(π·10-6·f) |
|
3 |
|
|
|
ωрез = 3·106 (рад/с) |
и обладающий коэффициентом усиления |
||||||||
5 |
|
|
|
|
|
|
Fгр |
на частоте резонанса |
K0 = 40 воздействует нормальное случай- |
||||||||
|
|
|
|
|
f, кГц |
|
|
ное напряжение, обладающее спектральной плотностью мощно- |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
-0,5 |
|
0,5 |
f, МГц |
–Fгр |
|
Fгр |
|
|
|
сти, представленной в таблице ниже. Определить эквивалент- |
|||||||
|
|
|
|
|
ную добротность контура усилителя Qэ, если известно, что… |
||||||||||||
|
|
Sξ(f), В2/Гц |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
S0 |
|
|
|
|
|
|
Но- |
Спектральная плотность |
Дополнительная |
|||||||
6 |
|
|
| K( f ) | |
= |
2 α e−α | |
f |
| |
α |
|||||||||
|
|
f, кГц |
мер |
мощности шума на входе |
информация |
||||||||||||
-2 |
0 |
+2 |
|
|
|
|K(f)| |
|
|
|
|
8·10 |
–17 |
Sξ(f), В2/Гц |
средняя мощность реали- |
|||
|
|
-0,001 · | f | |
K0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
заций СП на выходе уси- |
||||||
|
Sξ(f) = S0·e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
S0 |
|
|
|
|
|
|
|
K0 |
|
|
|
|
|
|
|
лителя Pвых = 2 · 10–9 В2 |
|
7 |
|
|
|
|
|
f, кГц |
|
|
|
-109 |
-104 |
+104 +109 f,Гц |
|||||
|
f, кГц |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
–0,5 |
|
+0,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Sξ(f), В2/Гц |
вероятность наблюдения на |
|
|
|
Sξ(f), В2/Гц |
|
5 |
|K(f) | |
|
|
|
|
10–15 |
выходе усилителя значений, |
||||||
|
S0 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
по абсолютной величине |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Fгр |
|
|
|
|
|
|
превышающих +0,3 мВ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-109 |
|
|
0 |
|
+109 f, Гц |
|||
|
|
|
|
|
f, кГц |
|
|
|
|
|
|
P{ | uвых | > 3·10–4 } = 13%. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
-1 |
|
1 |
f, МГц |
–Fгр |
|
Fгр |
|
|
|
|
|
|
|
|
Sξ(f), В2/Гц |
у СП на выходе усилителя |
|
|
Sξ(f), В2/Гц |
|
| K(f) | |
|
|
|
|
5·10–15 |
|||||||||
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
второй начальный момент |
|||||||||
|
S0 |
|
|
|
3 ·cos(π·10-3·f) |
|
|
|
|
|
|
|
распределения равен |
||||
9 |
f, Гц |
|
|
Fм |
|
-109 |
|
|
|
|
+109 f, Гц |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
m2{ η(t) } = 2,5·10–7 В2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
-Fм |
0 |
+Fм |
-0,5 |
|
0,5 f, кГц |
|
|
|
|
5·10 |
-16 Sξ(ω), В2/Гц |
вероятность наблюдения |
|||||
|
Sξ(f), В2/Гц |
|
| K(f) | |
|
|
|
|
|
|
|
|
на выходе усилителя |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
K0 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
мгновенных значений, |
|||||
|
S0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω, рад/с |
|||
10 |
|
|
|
|
K0·cos(π·10-3·f) |
|
K0 |
|
|
|
|
|
|
превышающих +0,2 мВ |
|||
|
f, кГц |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-104 |
|
|
|
104 |
P{ uвых > 2·10–4 } = 16%. |
|||
-2 |
0 |
+2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
-0,5 |
|
0,5 f, кГц |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
102 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
103 |
|
|
|
|
|
3·10–17 |
Sξ(f), В2/Гц |
дисперсия случайного |
||||||||||
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
процесса на выходе |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f, Гц |
усилителя составляет |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Dη = 10–9 В2 |
|
|
|
|
-107 |
|
0 |
+107 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
4·10–15 |
Sξ(ω), В2/Гц |
вероятность наблюдения на |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
выходе усилителя значений, |
||||||||
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
по абсолютной величине |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω, рад/с |
превышающих 1 мВ |
|||||
|
|
-106 |
|
|
|
106 |
|
|
|
P{ | uвых | > 10–3 } = 0,8%. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
белый шум |
средняя мощность реали- |
|||||||
7 |
|
|
|
|
|
|
|
заций СП на выходе уси- |
||||||||
|
|
|
Sвх(f) = 8 · 10–13 В2/Гц |
|||||||||||||
|
|
|
|
лителя Pвых = 2 · 10 |
–5 |
2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
|
|
|
8·10 |
–16 |
Sξ(f), В2/Гц |
эффективное значение СП |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
на выходе усилителя равно |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f, Гц |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ση = 2·10–4 В |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1010 |
|
0 |
+1010 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Sξ(f), В2/Гц |
вероятность наблюдения |
||||||
|
|
|
|
2,5·10–14 |
на выходе усилителя |
|||||||||||
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
мгновенных значений, |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
-109 |
-104 +104 +109 f,Гц |
превышающих –0,2 мВ |
|||||||||||
|
|
P{ uвых > –2·10–4 } = 58%. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
у СП на выходе усилителя |
||||
10 |
|
|
|
|
10–15 |
Sξ(f), В /Гц |
второй начальный момент |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
распределения равен |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
-109 |
|
0 |
|
+109 f, Гц |
m2{ η(t) } = 2,4·10–8 В2 |
|||||||||
104
10.9. На фильтр, свойства которого определяются левой колонкой таблицы ниже, воздействует смесь гармонического сигнала с частотой fs = 100 кГц и амплитудой As = 10- 4 В и шума, характеристики которого приведены в таблице справа. Определить соотношение сигнал/шум, наблюдаемое на выходе фильтра.
Но- |
Схема или АЧХ фильтра |
Спектральная плотность |
мер |
мощности шума на входе |
|
|
резонансный усилитель с |
белый шум |
1 |
коэф. усиления K0 = 20, |
|
резон. частотой fр = 96 кГц |
Sξ(f) = 8 · 10–13 В2/Гц |
|
|
и добротностью Qэ = 12 |
|
|
R = 160 Ом |
|
4·10 –13 |
Sξ(f), В2/Гц |
|
2 |
η(t) |
|
|||
ξ(t) |
|
|
|
||
|
С = 10 нФ |
|
-100 |
0 |
+100 f. кГц |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Sξ(f), В2/Гц |
|||
3 ξ(t) |
|
L = 1 мГн |
|
|
|
η(t) |
10 |
–12 |
|||||||||
R = 630 Ом |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
-109 |
0 |
+109 |
f, Гц |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
2 |
|K(f)| |
|
|
2,5·10–14 |
Sξ(f), В2/Гц |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
f, кГц |
|
|
-200 |
|
+200 |
|
f, кГц |
||
-200 |
0 |
200 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
105
|
|
|
2 |
|K(f)| |
|
5·10–14 |
|
Sξ(f), В2/Гц |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-100 |
0 |
+100 |
f, кГц |
-100 |
|
+100 |
|
f, кГц |
|
|
|
L=1,6 мГн |
|
4·10–13 |
Sξ(f), В2/Гц |
|||||
6 |
ξ(t) |
η(t) |
|
|
|
|
||||
|
R = 1 кОм |
|
|
|
f, Гц |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
-105 |
|
105 |
|
|
|
|
R = 1,6 кОм |
|
|
|
Sξ(f), В2/Гц |
||||
7 |
ξ(t) |
η(t) |
3·10–12 |
|
|
f, Гц |
||||
|
|
|
С = 1 нФ |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
-105 |
0 |
+105 |
||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
резонансный усилитель с |
10–11 |
Sξ(f), В2/Гц |
|||||||
8 |
коэф. усиления K0 = 20, |
|
|
|
||||||
резон. частотой fр = 105 Гц |
-109 |
|
+109 |
|
||||||
|
и добротностью Qэ = 50 |
0 |
f, Гц |
|||||||
|
|
|
4 |
|K(f)| |
|
5·10–15 |
Sξ(f), В2/Гц |
|||
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
f, кГц |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-109 |
0 |
+109 |
f, Гц |
||
|
-200 -100 |
+100 |
+200 |
|||||||
|
4 |
|
| K(f) | = 4 e−10−6 | f | |
5·10-13 |
Sξ(f), В2/Гц |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f, кГц |
-100 |
|
100 |
f, кГц |
||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
106 |
|
|
|
|
|
10.10. Шум с приведен- |
Bξ (τ) = 0,012·cos(0,5π 106τ ), |
||||
ной на рисунке слева корре- |
|
12·10–3 |
В2 |
||
ляционной функцией Bξ(τ) |
|
|
|
|
|
поступает на вход линейной |
|
|
|
|
|
цепи, обладающей корреляци- |
|
|
|
|
|
онной функцией импульсной |
–1 |
0 |
1 τ , мкс |
||
характеристики Rg(τ), пока-
занной в представленной ниже таблице. Используя временной метод анализа, определить корреляционную характеристику отклика цепи Bη(τ).
Но- |
Корр. функция импульсной |
Но- |
Корр. функция импульсной |
||||||
мер |
характеристики цепи Rg(τ) |
мер |
|
характеристики цепи Rg(τ) |
|||||
|
Rg(τ )=10-2 ·cos( 0,5π 106τ ), |
|
|
|
|
Rg(τ ), 1/c |
|||
1 |
10–2 |
1/c |
6 |
|
|
|
5·10+2 |
· δ(τ ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
–1 0 |
1 |
τ , мкс |
|
0 |
5 |
τ , мкс |
||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Rg(τ ), 1/c |
|
|
Rg(τ )=10-2 ·cos(1,5π 106τ ), |
||||
2 |
|
10+2· e−5104 |τ | |
7 |
|
|
10–2 |
1/c |
||
|
|
|
|
–1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
10 |
τ , мкс |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
τ , мкс |
|||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Rg(τ ), 1/c |
|
|
Rg(τ )=cos(0,5π 106 τ) ,1/c |
||||
3 |
|
100 · δ(τ ) |
8 |
1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
0 |
1 |
τ , мкс |
|
|
|
|
|
τ |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
107
|
Rg(τ )=0,1 ·cos(1,5π 105τ ), |
|
|
Rg(τ ), 1/c |
|||||
4 |
–10 |
0,1 |
|
1/c |
9 |
|
100 · e−10+6 |τ | |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
10 |
τ , мкс |
|
0 |
1 |
τ , мкс |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Rg(τ )=10-3 ·cos( |
π |
105 τ ), |
|
Rg(τ ) = cos(0,5π 105τ) ,1/c |
||||
|
2 |
|
|||||||
|
|
10–3 |
1/c |
|
1 |
|
|
||
5 |
|
|
10 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
–10 |
0 |
10 |
τ , мкс |
|
|
|
τ |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10.11. На фильтр, схема которого приведена в таблице ниже, воздействует нормальный случайный процесс, имеющий прямоугольную спектральную плотность мощности
Sξ(ω), В2/Гц
S0
|
|
|
|
|
|
ω, рад/с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
–ωгр 0 |
+ωгр |
|
||||
|
|
|
|
|||||
Но- |
ωгр, |
Схема или АЧХ фильтра |
Определить… |
|||||
мер |
рад/с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R = 10 кОм |
|
константу S0, если |
|
|
|
эффективное значе- |
|
1 |
104 |
ξ(t) |
η(t) |
ние напряжения |
|
|
С = 10 нФ |
|
навыходе цепи |
|
|
|
|
составляет 1 мВ. |
108
|
|
|
|
|
|
|
|
константу S0, если |
|
L = 1 мГн |
|
|
|
|
|||
8 ξ(t) |
|
|
η(t) |
эффективное значе- |
||||
2 10 |
R = 100 кОм |
|
|
|
|
ние напряжения |
||
|
|
|
|
навыходе цепи |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
составляет 10 мВ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R = 100 кОм |
|
эффективное значение |
|
3 |
104 |
η(t) |
напряжения |
||
ξ(t) |
|||||
|
|
С = 1 нФ |
|
на выходе схемы, |
|
|
|
|
если S0 = 10-6 (В2/Гц) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
эффективное значение |
|
|
|
L = 1 мГн |
|
|
|
|
||||
|
7 |
ξ(t) |
|
|
|
напряжения |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4 |
10 |
R = 10 кОм |
|
|
|
η(t) |
на выходе схемы, |
||||
|
|
|
|
|
если S0 = 10-7 (В2/Гц) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|K(f)| |
во сколько раз мощ- |
|||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
ность переменной |
|
|
π·105 |
|
|
|
|
|
|
|
составляющей про- |
||
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f, кГц |
цесса на выходе |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
усилителя больше |
||
|
|
-50 |
0 |
50 |
|
|
|
чем на входе |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
резонансный усилитель с |
добротность контура |
||||||||
|
|
усилителя, если |
|||||||||
|
10 |
максимальным коэффициентом |
S0 = 10-16 (В2/Гц), а |
||||||||
6 |
10 |
усиления K0 = 20 и частотой эффективное значение |
|||||||||
|
|
резонанса ωр = 106 рад/с |
выходного напря- |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
жения σu вых = 2 мВ. |
|
|
|
|
|
109 |
|
|
|
|
||
|
|
|
3 |
|K(f)| |
|
эффективное значение |
||
7 |
107 |
|
|
|
|
|
выходного напря- |
|
|
|
|
|
|
|
f, кГц |
жения, если |
|
|
|
|
|
|
|
S0 = 10-8 (В2/Гц) |
||
|
|
-22,5 |
-7,5 |
7,5 |
22,5 |
|
|
|
|
|
|
| K(f) | = |
4 e |
−10−4 | f | |
во сколько раз мощ- |
||
|
|
4 |
|
ность переменной |
||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
π·106 |
|
|
|
|
составляющей СП |
||
8 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
f, кГц |
на выходе усилите- |
||
|
|
|
|
|
ля больше чем на |
|||
|
|
|
|
|
|
|
входе |
|
|
|
резонансный усилитель с |
константу S0, если |
|||||
|
|
эффективное значе- |
||||||
|
|
максимальным коэффи- |
ние напряжения на |
|||||
|
1010 |
циентом усиления K0 = 20 и |
||||||
9 |
выходе цеписоставля- |
|||||||
|
|
частотой резонанса |
ет 4 мВ, а доброт- |
|||||
|
|
|
ωр = 106 рад/с |
|||||
|
|
|
ность контура усили- |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
теля Q = 100 |
|
|
|
|
2 |
|K(f)| |
|
эффективное значе- |
||
10 |
107 |
|
|
|
|
|
ние напряжения |
|
|
|
|
|
|
f, кГц |
на выходе схемы, |
||
|
|
|
|
|
-7 |
2 |
||
|
|
-20 |
0 |
20 |
|
если S0 = 10 |
(В /Гц) |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
110
11. УЗКОПОЛОСНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ И ИХ НЕЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
11.1. Краткое теоретическое введение
Узкополосными называют случайные процессы, ширина спектра которых существенно превышает его центральную частоту. Реализации узкополосных процессов представляют собой квазигармонические колебания со случайно изменяющимися амплитудой и фазой. Для обоснования этого заключения учтем, что высокочастотный СП (нижний на рис. 29), спектр которого определяется соотношением.
Sвч( f ) = Sнч( f + f0 ) + Sнч( f – f0 ) |
(11.1) |
будет иметь корреляционную функцию вида
Bвч( τ ) = 2 · Bнч( τ ) · cos( 2π·f0·τ ). |
(11.2) |
|
Sнч(f) , В2/Гц |
|
|
Внч(ф), В2 |
||
S0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В0 |
|
|
–fmax |
+fmax |
f, кГц |
–ф1 |
0 |
+ф1 ф, мс |
|
S0 |
Sвч(f) , В2/Гц |
|
2·В0 |
Ввч(ф), В2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
f0 – fmax |
f0 + fmax |
|
|
|
|
|
–f0 |
+f0 |
f, кГц |
–ф1 |
+ф1 |
ф, мс |
|
Рис. 29. Взаимосвязь энергетических характеристик низкочастотных и узкополосных высокочастотных СП
111
При малой ширине спектра низкочастотного СП его корреляционная функция Bнч( τ ) будет медленной функцией своего аргумента. Как следствие, Bвч( τ ) будет иметь практически косинусоидальную форму, а это возможно лишь если реализации процесса по форме близки к гармоническому колебанию.
Огибающей и фазой случайного процесса ξ(t) называют процессы, определяемые соотношениями
A(t) = ξ2 (t) +η2 (t) , |
(11.3) |
|||
|
η(t) |
|
, |
(11.4) |
Θ(t) =arctg |
|
|||
|
ξ(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
где вспомогательный процесс η(t) является сопряженным с ξ(t) по Гильберту.
Для выделения огибающей и фазы случайных процессов используют амплитудный и фазовый детекторы. Идеальным амплитудным детектором называют устройство, которое в ответ на воздействие узкополосного СП ξ(t) формирует на своем выходе его огибающую A(t). Напряжение на выходе идеального фазового детектора, формируемое в ответ на воздействие узкополосного СП ξ(t), определяется набегом фазы, т.е. пропорционально Δφ(t) = Θ(t) – 2π·f0·t.
Для нормального случайного процесса с нулевым средним значением огибающая имеет релеевский закон распределения
спараметром σ, равным эффективному значению исходного процесса. Фаза подобного процесса имеет равномерный в пределах от 0 до 2π закон распределения. Таким образом, при воздействии на идеальный амплитудный детектор процесса ξ(t)
сплотностью вероятности
|
1 |
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
Wξ (x) = |
exp |
|
− |
|
|
|
(11.5) |
||
2π σξ |
|
2 σ |
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
ξ |
|
|
распределение выходного напряжения будет иметь вид
112
|
x |
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
WA (x) = |
|
exp |
− |
|
|
|
, x ≥0 . |
(11.6) |
2 |
2 σ |
2 |
||||||
|
σξ |
|
|
ξ |
|
|
||
При этом, в соответствии со свойствами распределения Релея
M A = |
π |
σξ |
≈1,25 σξ , |
|
(11.7) |
|||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
− |
π |
≈0,43 σ |
2 |
(11.8) |
DA =σξ |
2 |
|
ξ . |
|||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
Если же на идеальный амплитудный детектор подать смесь детерминированного гармонического сигнала и узкополосного нормального шума
ς(t) = U0 cos(ω0 t +ψ0 ) +ξ(t) , |
(11.9) |
где U0, ω0 и ψ0 – некоторые константы, то наблюдаемая на выходе огибающая будет иметь обобщенное релеевское распределение (распределение Релея-Райса)
|
x |
|
|
x |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
WA (x) = |
|
|
|
+ U0 |
|
|
x U0 |
|
x ≥0 , (11.10) |
|||
|
exp |
− |
|
|
|
|
I0 |
|
|
, |
||
2 |
|
|
2 |
2 |
||||||||
|
σξ |
|
|
|
2 σξ |
|
|
|
σξ |
|
|
|
где I0(·) – модифицированная функция Бесселя 0-го порядка первого рода (ее табличные значения можно найти в прил. 3). Математическое ожидание распределения Релея-Райса равно
|
π |
|
h |
2 |
|
|
|
h |
2 |
|
h |
2 |
|
|
|
|||
M A = |
|
|
+h2 |
I0 |
|
|
|
, (11.11) |
||||||||||
2 |
σξ I0 |
|
2 |
|
|
2 |
|
+I1 |
2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где отношение сигнал/шум |
h2 = |
U02 |
|
2 . |
|
|
|
|
(11.12) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σξ2 |
|
|
|
|
|
|
||
Наконец, плотность распределения вероятностей фазы Θ(t) смеси гармонического сигнала и нормального шума имеет вид
113
|
1 |
|
|
|
U2 |
|
|
|
χ F (χ) |
|
χ 2 |
|
U2 |
|
|
|
||
WΘ(ϕ) = |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
ст |
|
|
|
0 |
|
, |
(11.13) |
|
|
exp |
− |
|
|
|
+ |
|
|
exp |
|
− |
2 |
|
|||||
2π |
|
2 |
|
2π |
2 |
|||||||||||||
|
|
2 |
σξ |
|
|
|
|
|
|
2σξ |
|
|
|
|||||
где |
|
χ = |
U |
0 |
|
|
|
cos(ϕ −ψ0 |
−ω0 |
t ) . |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
σξ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
11.2. Типовые задачи
Задача 1. На вход идеального амплитудного детектора воздействует узкополосный нормальный шум неизвестной интенсивности. Напряжение, наблюдаемое на выходе детектора, превышает уровень 1,2 вольта в 70% случаев. Определить среднюю мощность реализаций шума на входе детектора.
Решение
а) Огибающая нормального шума имеет релеевское распределение, поэтому вероятность наблюдения для нее значений, превышающих произвольный уровень Uпор, может быть рассчитана по формуле
+∞ |
x |
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Uпор |
|
||
Pпрев = P{A(t) > Uпор} = ∫ |
|
exp |
− |
|
|
|
dx = exp |
− |
|
. |
|
2 |
2 σ |
2 |
2 |
||||||||
Uпор |
σξ |
|
|
ξ |
|
|
|
2 σξ |
|
||
Таким образом, вероятность превышения огибающей шума некоторого порогового уровня определяется отношением этого уровня к эффективному значению анализируемого шума σξ.
Для отношения Uпор / σξ, имеем
Uσпор = − 2 ln(Pпрев) .
ξ
б) Шумовой характер воздействия подразумевает, что математическое ожидание воздействующего напряжения равно нулю, а значит средняя мощность реализаций входного процесса совпадает с мощностью их переменной составляющей и
114
численно равна дисперсии процесса. Учитывая нормальное распределение воздействующего напряжения, получаем
P |
= Dξ =σ 2 |
= |
Uпор2 |
= |
|
1,22 |
= |
1,44 |
|
≈2 (В2). |
|
− 2 ln(Pпрев) |
− 2 |
ln(0,7) |
0,713 |
||||||||
ср|Mξ =0 |
ξ |
|
|
|
|
||||||
Задача 2. Эргодический нормальный СП со спектральной плотностью мощности (СПМ), представленной на рис. 30, воздействует на вход идеального амплитудного детектора. Средняя мощность реализаций, наблюдаемых на выходе детектора, составляет 1,0 В2. Построить (с соблюдением масштаба) график корреляционной функции воздействия.
|
Sξ(f) , В2/Гц |
S0 |
Sнч(f) , В2/Гц |
|
S0 |
|
|
|
f |
|
|
–80 –60 –40 |
+40 +60 +80 f, кГц |
–20 |
+20 f, кГц |
Рис. 30. Спектральные характеристики исходного и вспомогательного низкочастотного СП из задачи 2
Решение
а) Для процессов на выходе амплитудного детектора в условии задана средняя мощность реализаций, которую следует рассматривать как полную среднюю мощность, т.е. включающую как мощность переменной, так и мощность постоянной составляющей. С учетом (11.7), (11.8) эта мощность равна
1,0 = Pср = Dξ + Mξ2 = 2 σξ2 .
Таким образом, воздействующий на детектор нормальный СП должен иметь мощность σξ2 = 0,5 (В2).
115
б) Исходя из спектральной плотности мощности среднюю мощность СП можно получить на основе соотношения (9.11) или (из геометрического смысла интеграла) как площадь под кривой Sξ(f). Применительно к графику, представленному на рис. 30 слева, площадь определяется соотношением
Pср = 2 S = 2 f S0 ,
откуда S0 =0,5 Pср / f = 0,5 0,5/(2 104 ) =1,25 10−5 В2/Гц.
в) Итак, параметры СПМ исходного процесса определены, однако попытка получить корреляционную функцию процесса ξ(t) непосредственно из Sξ(f) хотя и допустима, но сопряжена с весьма громоздкими вычислениями. Гораздо выгоднее сначала рассчитать корреляционную функцию Bнч(τ) вспомогательного низкочастотного процесса (спектр которого показан на рис. 30 справа), а уже по ней на основании соотношения (11.2) записать искомую корреляционную функцию Bξ(τ).
СПМ низкочастотного процесса можно представить в виде
Sнч(f )=S0 |
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
− |
|
|
|
|
|
f |
≤ f . |
|
|
|
|
|
||||||
1 |
|
|
|
|
, |
||||
|
|
|
|
f |
|
|
|||
В соответствии с теоремой Винера-Хинчина корреляционная функция Bнч(τ) связана с Sнч(f) преобразованием Фурье. Таким образом, для расчета Bнч(τ) необходимо осуществить обратное преобразование Фурье. Наличие под интегралом знака модуля затрудняет интегрирование, поэтому для расчета Bнч(τ) воспользуемся (9.16). Применяя интегрирование по частям, получим
|
|
|
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
B |
|
|
|
|
|
S ( f ) e+ j 2π f τ df |
|
= |
|
|
|
|
|||
|
(τ) =2 Re |
∫ |
|
|
|
|
|
||||||||
|
нч |
|
|
|
нч |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
f |
|
+ j 2π f τ |
|
+ f |
|
|
f |
|
+ j 2π f τ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
= |
2 |
Re |
∫ S0 |
e |
|
df −S0 |
∫ |
|
|
|
e |
|
df |
= |
|
|
|
|
f |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
116
|
+ j 2π f τ |
|
f |
|
|
1 |
|
|
e |
+ j 2π f τ |
|
|
f |
|
e |
+ j 2π f τ |
|
|
f |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
= 2 S0 Re |
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
= |
|||
|
j 2π τ |
|
0 |
|
|
f |
|
j 2π τ |
|
0 |
( j 2π τ)2 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1−e |
+ j 2π f τ |
|
|
|
|
|
|
|
1−cos(2π f τ) |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2 S0 |
|
|
|
||||||||||||||||
= 2 S0 Re − |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|||||||||||
j |
2π τ |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
f (2π τ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (2π τ) |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
= 2 S0 |
sin2 |
(π |
|
f τ) |
= S0 |
|
f sin c2 (π |
f τ ). |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
f |
(π τ)2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
г) Используя теперь соотношение (11.2) и подставляя |
|
f = |
||||||||||||||||||||||||||||||||
= 20 кГц, f0 = 60 кГц , получаем окончательно |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Bξ(τ) = 2·Bнч(τ)·cos(2π·f0·τ) = 2·S0·fгр · sinc2(π· |
f ·τ) ·cos(2π·f0·τ) = |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
= 0,5 · sinc2( 2π·104·τ ) ·cos( 1,2·105·π ·τ ), В2. |
|||||||||||||||||||||||||||||
Соответствующий график показан на рис. 31. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,5 |
Ввч(τ), |
В2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
–100 |
–50 |
50 |
100 τ, мкс |
Рис. 31. Корреляционная функция узкополосного СП из задачи 2
Задача 3. Белый шум со спектральной плотностью мощности N0 = 10–12 В2/Гц проходит через усилитель с АЧХ, пред-
ставленной на рис. 32, и поступает на вход идеального амплитудного детектора. При каком коэффициенте усиления усилителя наблюдаемая на выходе детектора постоянная составляющая реализаций будет составлять 0,25 мВ?
117