Uch_Orlov_A_I_Ekonometrika_-_M_2002

2.2.3.

Эмпирическая

Функция эмпирического распределения.

Определена, когда результаты наблюдений - числа

функция

или вектора (функции распределения по пп.1.2.2 и

пределения

1.3.2 соответственно).

2.2.4.

Выборочное

Сумма результатов наблюдений, включенных

Выборочное среднее арифметическое равно матема-

среднее

в выборку, деленная на ее объем.

тическому ожиданию случайной величины, имеющей

метическое

эмпирическое распределение.

2.2.5.

Выборочная

Сумма квадратов отклонений результатов на-

Выборочная дисперсия

дисперсия

блюдений, включенных в выборку, от их вы-

n

борочного среднего арифметического, делен-

s2 = 1/n ∑ (хi - xср)2-,

ная на объем выборки.

i=1

где x1, x2,...., xn - результаты наблюдений, включен-

ные в выборку; xср - выборочное среднее арифмети-

ческое,

n

xср = 1/n ∑ хi.

i=1

Выборочная дисперсия равна дисперсии случайной

величины, имеющей эмпирическое распределение.

2.2.6.

Выборочное

Неотрицательный квадратный корень из вы-

среднее квадра-

борочной дисперсии.

тическое откло-

нение

2.2.7.

Выборочный

Момент порядка q случайной величины,

n

момент порядка

имеющей эмпирическое распределение.

mq = 1/n ∑ хiq, где хi по п.2.2.5.

q

i=1

2.2.8.

Выборочный

Центральный момент порядка q случайной

n

центральный

величины, имеющей эмпирическое распреде-

mq = 1/n ∑ (хi - xср)q , где хi и xср по п.2.2.5.

момент порядка

ление.

i=1

q

2.2.9.

k-я порядковая

k-й элемент x(k) в вариационном ряду, полу-

статистика

ченном из выборки объема n, элементы кото-

рой x1, x2,...., xn расположены в порядке не-

убывания: x(1)≤x(2) ≤... ≤ x(k) ≤... ≤x(n).

2.2.10.

Размах выборки

Разность между наибольшим и наименьшим

Если x(1) и x(n) - первая и n-ая порядковые статистики

значениями результатов наблюдений в выбор-

в выборке объема n, то размах R = x(n) - x(1).

ке.

2.2.11.

Выборочная

Ковариация двумерного случайного вектора,

Если (xi, yi), i=1,2,....,n, - результаты наблюдений,

ковариация

имеющего эмпирическое распределение.

включенные в выборку, то выборочная ковариация

n

равна 1/n ∑ (хi - xср)(yi - yср), где хi и xср по

i=1

n

п.2.2.5, yср = 1/n ∑ yi.

i=1

2.2.12.

Выборочная

Ковариационная матрица случайного вектора,

На главной диагонали выборочной ковариационной

ковариационная

имеющего эмпирическое распределение.

матрицы стоят выборочные дисперсии по п.2.2.5, а вне

матрица

главной

диагонали

- выборочные

п.2.2.11.

2.2.13.

Выборочный

Коэффициент корреляции двумерного слу-

Выборочный коэффициент корреляции равен

коэффициент

чайного вектора, имеющего

эмпирическое

∑(xi - xср )(yi - yср )

корреляции

распределение.

rn =

1≤i≤n

2

2 1/ 2

{ ∑(xi - xср )

∑(yi - yср ) }

1≤i≤n

1≤i≤n

где хi и xср по п.2.2.5,

2.2.14.

Выборочная

Корреляционная матрица случайного вектора,

На главной диагонали выборочной корреляционной

корреляционная

имеющего эмпирическое распределение.

матрицы стоят 1, а вне главной диагонали - выбороч-

матрица

ные коэффициенты корреляции по п.2.2.13.

2.2.15

Выборочный

Отношение выборочного среднего квадрати-

Выборочный коэффициент вариации используют, ко-

коэффициент

ческого отклонения к выборочному среднему

гда результаты наблюдений положительны.

вариации

арифметическому.

2.3.1.

Оценивание

Приближенное определение

интересующей

Составляющими вероятностных моделей могут быть:

специалиста составляющей

вероятностной

значение

параметра

распределения;

модели явления (процесса) по выборке.

распределения (математическое ожидание, коэффици-

ент вариации и др.); функция распределения; плот-

ность вероятности; регрессионная зависимость, и т.д.

2.3.2.

Оценка

Результат оценивания по конкретной выборке.

Оценка является статистикой, а потому случайным

элементом, в частных случаях - случайной величиной

или случайным вектором.

2.3.3.

Точечное оце-

Вид оценивания, при котором для оценивания

нивание

используется одно определенное значение.

2.3.4.

Доверительное

Вид оценивания, при котором для оценивания

Рассматриваемое множество лежит в пространстве

оценивание

используется множество.

возможных состояний оцениваемой составляющей

вероятностной модели явления (процесса).

2.3.5.

Доверительное

Определяемое по выборке множество в про-

Доверительное множество является случайным мно-

множество

странстве возможных состояний оцениваемой

жеством.

составляющей, используемое при доверитель-

ном оценивании.

2.3.6.

Доверительная

Вероятность того, что доверительное множе-

В конкретных задачах оценивания для фиксированных

вероятность

ство содержит действительное значение оце-

доверительных вероятностей строят соответствующие

ниваемой составляющей.

доверительные множества.

2.3.7.

Доверительный

Доверительное множество, являющееся ин-

Интервалы могут быть как ограниченными, так и не-

интервал

тервалом.

ограниченными (лучами).

2.3.9.

Граница доверительного интервала, являюще-

Для доверительного интервала (-∞; a) верхней довери-

рительная

гра-

гося лучом, не ограниченным снизу.

тельной границей является число a.

ница

2.3.10.

Нижняя

дове-

Граница доверительного интервала, являюще-

Различие верхних, нижних и двусторонних довери-

рительная

гра-

гося лучом, не ограниченным сверху.

тельных границ необходимо учитывать при проведе-

ница

нии конкретных расчетов, т.к. часто все виды границ

определяются с помощью одних и тех же таблиц.

2.3.11.

Двусторонние

Границы ограниченного (и сверху, и снизу)

Для двусторонних границ (T1;T2) с вероятностью 1

доверительные

доверительного интервала

справедливо неравенство T1≤T2.

границы

2.4. Проверка статистических гипотез

2.4.1.

Статистическая

Определенное предположение о свойствах

гипотеза

распределений случайных элементов, лежа-

щих в основе наблюдаемых случайных явле-

ний (процессов).

2.4.2.

Нулевая

гипо-

Статистическая гипотеза, подлежащая про-

Из возможных статистических гипотез в качестве ну-

теза

верке по статистическим данным (результатам

левой выбирают ту, прннятие справедливости которой

наблюдений, вошедшим в выборку).

наиболее важно для дальнейших выводов.

2.4.3.

Альтернативная

Статистическая гипотеза, которая считается

Сокращенная форма - альтернатива.

гипотеза

справедливой, если нулевая гипотеза неверна.

2.4.4.

Статистический

Правило, по которому на основе результатов

Принимаемое решение может однозначно определять-

критерий

наблюдений принимается решение о приня-

ся по результатам наблюдений (нерандомизированный

тии или отклонении нулевой гипотезы.

критерий) или в некоторой степени зависеть от случая

(рандомизированный критерий).

2.4.5.

Статистика

Статистика, на основе которой сформулиро-

Как правило, нерандомизированный статистический

критерия

вано решающее правило.

критерий основан на статистике критерия, прини-

мающей числовые значения.

2.4.6.

Критическая

Область в пространстве возможных выборок

Если статистический критерий основан на статистике

область

стати-

со следующими свойствами: если наблюдае-

критерия, то критическая область статистического

стического кри-

мая выборка принадлежит данной области, то

критерия однозначно определяется по критической

терия

отвергают нулевую гипотезу (и принимают

области статистики критерия.

альтернативную), в противном случае ее при-

Краткая форма: критическая область.

нимают (и отвергают альтернативную).

2.4.7.

Критическая

Множество чисел такое, что при попадании в

Краткая форма: критическая область.

область

стати-

него статистики критерия нулевую гипотезу

стики критерия

отвергают, в противном случае принимают.

2.4.8.

Критические

Границы (концы) одного или двух интерва-

Критическими значениями являются одно или два из

значения

лов, составляющих критическую область ста-

чисел t1, t2 в случае, если критическая область имеет

тистики критерия.

вид {Tn<t1}, {Tn>t1} или {Tn<t1} {Tn>t2}, где Tn -

статистика критерия.

2.4.9.

Ошибка

перво-

Ошибка, заключающаяся в том, что нулевую

го рода

гипотезу отвергают, в то время как в действи-

тельности эта гипотеза верна.

2.4.10.

Уровень

значи-

Вероятность ошибки первого рода или точная

Если нулевая гипотеза является сложной (например,

верхняя грань таких вероятностей.

задается с помощью множества параметров Θ0), то

вероятность ошибки первого рода может быть не чис-

лом (α), а функцией (α(θ0), θ0 Θ0). В качестве уровня

значимости берут точную верхнюю грань значений

указанной функции:

α= sup α(θo).

θo Θo

2.4.11.

Ошибка

второ-

Ошибка, заключающаяся в том, что нулевую

го рода

гипотезу принимают, в то время как в дейст-

вительности эта гипотеза неверна (а верна

альтернативная гипотеза).

2.4.12.

Мощность кри-

Вероятность того, что нулевая гипотеза будет

Мощность критерия является однозначной действи-

терия

отвергнута, если альтернативная гипотеза

тельной функцией, определенной на составляющем

верна.

альтернативу множестве гипотез, заданном в конкрет-

ной задаче статистической проверки гипотез, в част-

ности, на параметрическом множестве, соответст-

вующем альтернативным гипотезам.

2.4.13.

Функция

мощ-

Функция, определяющая вероятность того,

Функция мощности критерия задана на множестве

ности статисти-

что нулевая гипотеза будет отклонена.

всех гипотез, используемых в конкретной задаче ста-

ческого

крите-

тистической проверки гипотез. Сужением ее на нуле-

рия

вую гипотезу является функция, задающая вероят-

ность ошибки первого рода. Сужением ее на альтерна-

тиву является мощность критерия.

2.4.14.

Оперативная

Функция, определяющая вероятность того,

Оперативная характеристика - дополнение до единицы

характеристика

что нулевая гипотеза будет принята.

функции мощности статистического критерия.

статистического

критерия

2.4.15.

Критерий со-

Критерий проверки гипотезы согласия, т.е.

гласия

того, что функция распределения результатов

наблюдения, включенных в простую случай-

ную выборку, совпадает с заданной или вхо-

дит в заданное параметрическое семейство.

2.4.16.

Критерий одно-

Критерий для проверки гипотезы о том, что

Рассматривают также критерии независимости, сим-

родности

функции распределений результатов наблю-

метрии, случайности, отбраковки и др.

дений из двух или нескольких независимых

простых случайных выборок совпадают (аб-

солютная однородность) или отдельные их

характеристики совпадают (однородность в

смысле математических ожиданий, коэффи-

циентов вариации и т.д.).

2.4.17.

Номинальный

Число, используемое в статистических табли-

Номинальный (заданный) уровень значимости обычно

(заданный) уро-

цах, с помощью которого выбирают критиче-

берут равным 0,1; 0,05; 0,01.

ское значение статистики критерия при про-

сти

верке статистической гипотезы.

2.4.18.

Реальный

(ис-

Уровень значимости статистического крите-

Из-за дискретности распределения статистики крите-

тинный)

уро-

рия, выбранного по номинальному уровню

рия реальный уровень значимости может быть в не-

вень

значимости.

сколько раз меньше номинального.

сти

2.4.19.

Достигаемый

Случайная величина, равная вероятности по-

Для критической области вида {x:x>a} достигаемый

уровень

значи-

падания статистики критерия в критическую

уровень значимости есть F(Xn), где Xn - рассчитанное

мости

область, заданную рассчитанным по выборке

по выборке значение статистики критерия X, а F(a) =

значением статистики критерия.

P(X>a) - дополнение до 1 функции распределения ста-

тистики критерия X. Достигаемый уровень значимо-

сти - это вероятность того, что статистика критерия Х

в новом независимом эксперименте примет значение

большее, чем при расчете по конкретной выборке, т.е.

большее, чем Xn.

2.4.20.

Независимые

Выборки, объединение элементов которых

См. п.1.1.11.

выборки

моделируется набором независимых (в сово-

купности) случайных элементов.