Метод радиальных базисных функций

Радиальные базисные функции (Radial basis functions - RBF) -это целый ряд жестких методов интерполяции; то есть, поверх­ность, построенная с использованием этих функций, будет про­ходить через все опорные точки.

Методы RBF концептуально похожи на метод "резинового лис­та", когда лист проходит через все опорные точки, и при этом минимизируется общая кривизна поверхности. Выбранная ба­зисная функция определяет, как резиновый лист пройдет через опорные точки. На рисунке 20 внизу наглядно показано, как поверхность, построенная с использованием радиальной базис­ной функции RBF, проходит через опорные точки с высотами. На профиле обратите внимание, что поверхность проходит че­рез значения опорных точек.

Рисунок 20 – Радиальные функции

Будучи жесткими интерполяторами, методы RBF отличаются от интерполяторов, использующих глобальные и локальные по­линомы, поскольку эти два метода являются нежесткими ин­терполяторами и не предполагают прохождения поверхности через опорные точки (аппроксимируют значения в опорных точ­ках). При сравнении методов с использованием радиальных ба­зисных функций и метода взвешенных расстояний, другого жесткого интерполятора, следует отметить, что метод IDW ни­когда не даст значений, которые будут выше максимальных или ниже минимальных значений опорных точек.

В отличие от метода взвешенных расстояний, функции RBF могут давать значения выше максимальных и ниже минималь­ных измеренных значений (см. рисунок 21).

Рисунок 21– Профили поверхности, построенные по методу IDW и RBF

Оптимальные параметры функций определяются так же, как и для метода взвешенной интерполяции и локальных полиномов, т.е. с использованием перекрестной проверки (см. раздел этой гла­вы, посвященный методу взвешенных расстояний).

Когда использовать радиальные базисные функции

Радиальные базисные функции используются для построения сглаженных поверхностей для большого количества опорных точек. Функции дают хорошие результаты для плавно меняю­щихся поверхностей, таких как рельеф.

Эти методы не подходят в тех случаях, когда на поверхности происходит резкое изменение значений на коротком расстоя­нии по горизонтали и/или в тех случаях, когда вы предполагае­те, что в исходных данных могут быть ошибки или неточности.

Теоретические основы использования радиальных базисных функций

В модуле Geostatistical Analyst радиальные базисные функции формируются над каждой опорной точкой. РБФ - это функция, которая меняется с расстоянием. Например, на ри­сунке 22 показаны три точки, и для каждой из них функция РБФ показана своим цветом.

Рисунок 22 - Радиальные базовые функции

В данном примере, радиальная базисная функция - просто рас­стояние от каждой точки, поэтому над каждой точкой она обра­зует перевернутый конус. Если вы посмотрите на сечение плос­кости x,z для значения у = 5 (рисунок 22), вы увидите разрез каждой из приведенных РБФ.

Теперь предположим, что вам надо найти значение функции для точки у = 5, х = 7. Значение каждой из рассматриваемых функ­ций RBF в искомой точке может быть определено по графику, показанному на рисунке 22, (значения обозначены буквами f₁, f₂ и f₃) и зависит от расстояния до каждой из точек.

Интерполятор образуется путем нахождения взвешенного среднего w₁ f_] + w₂ f₂ + w₃f₃ +.... Вопрос заключается в том, как определить эти веса?

Ведь вы совсем не использовали значения данных! Веса w₁ ,w₂ , w₃ , и так далее, должны удовлетворять следующему условию:

если искомая точка будет помещена в точку с измеренным зна­чением, значение данных будет проинтерполировано точно. Это приводит к образованию системы из N уравнений с N неизвест­ными, для которой могут быть найдены однозначные решения.

Таким образом, поверхность проходит через опорные точки, то есть интерполятор является жестким. Функция RBF, приве­денная выше, является особым случаем мультиквадратиков.

В модуле Geostatistical Analyst можно также использовать другие функции РБФ, такие как полностью регуляризованный сплайн, плоский сплайн, сплайн с натяжением, и обратные мультиквадратрики. Часто разница между ними невелика, но у вас могут быть причины для выбора одной из них, либо вы можете попробовать использовать несколько функций, а затем для выбора оконча­тельной применить перекрестную проверку. Каждая функция РБФ имеет параметр, который контролирует "сглаживание" поверхности.

Для всех методов, за исключением обратных мультиквадриков, чем выше значение параметра, тем выше сглаживание поверх­ности; обратное утверждение верно для функции обратных муль­тиквадриков.

Модуль Geostatistical Analyst использует набор из п базисных функций, по одной для каждой опорной точки. Интерполятор - это линейная комбинация базисных функций [ ga]:

Где: φ(r) -радиальная базисная функция, r= ||s_i -s₀|| - эвкли­дово расстояние между интерполируемой точкой s₀ и каждой опорной точкой s_i , а {ω_i: i = 1, 2, ..., n + 1} - оцениваемые значения весов.

Пусть w = (ω₁, ω₂,..., ω_n), которые вычисляются путем решения системы уравнений.

где Ф - матрица с i,j- ым элементом φ (||s_i -s₀||) для пары опорных точек ij,

1 - вектор столбца, состоящий из единиц, a z - вектор столбца, содержащий данные.

Если φ - вектор, содержа­щий φ (||s_i -s₀||), интерполятор равен,

Где ω _п+1 - параметр смещенности.

Следует использовать аналогичный интерполятор,

где λ решает уравнение.

преимущество которого состоит в том, что он показывает весо­вые коэффициенты для всех данных. Веса отображаются в диа­логе Поиск соседства.

В модуле Geostatistical Analyst используются следующие ради­альные функции:

1. Полностью регуляризованный сплайн,

где ln - натуральный логарифм,

Е₁(х) - экспоненциальный инте­грал; (Abramowitz and Stegun, 1965, стр. 227),

С_Е - константа Эйлера. (Abramowitz and Stegun, 1965, стр. 255),

2. Функция сплайна с натяжением,

где К₀(х) - модифицированная функция Бесселя (Abramowitz and Stegun, 1965, стр. 374),

3. Мультиквадрик,

4. Обратный мультиквадрик

5. Плоский сплайн

Оптимальный параметр сглаживания σ определяется путем минимизации среднеквадратичных ошибок вычислений с ис­пользованием перекрестной проверки.

Радиальные базисные функции описаны Бишопом (Bishop, 1995. стр. 164). Развернутое описание радиальных функций и их свя­зей со сплайнами и методами кригинга можно найти в работах Cressie (1993, стр. 180) и Chiles и Delfmer (1999, стр. 272).

Геометрическая анизотропия

Геометрическая анизотропия учитывается как преобразование координат:

где θ - угол поворота и r - соотношение размеров малой и большой оси результирующего эллипса. Расстояние затем рас­считывается как (||s_i⁺ -s₀⁺ ||)

другой источник- В этом методе искомая функция находится как линейная комбинация набора радиальных базисных функций:

, (2.3)

где а -константа, i - индекс точки измерений, _i - неиз­вестные коэффициенты, R_i(x,y) - базисные функции, зависящие от расстояния точки (х, у) до i-ой точки наблюдения.

Существует пять различных видов функций: плоский сплайн (), сплайн с натяжением (), полно­стью регуляризованный сплайн() , функция мультиквадратиков (), и обратный мультиквадратик().

Каждая радиальная функция имеет различную форму и результаты для различных поверхностей интерполяции. Методы RBF - форма искусственных нейрон­ных сетей.

Существуют несколько типов базисных функций:

• Inverse Multiquadric

• Multilog

• Мультиквадратичная (Multiquadric), наиболее часто используется;

• Natural Cubic Spline

• Thin Plate Spline ,

где R² – фактор сглаживания, чем больше будет параметр, тем более сглаженные будут контура. Разумные значения показателя находятся в интервале от среднего межточечного расстояния выборки до половины этого среднего значения.

Итак, способы, рассмотренные нами, относятся к детерминист­ским методам интерполяции, поскольку они напрямую основа­ны на измеренных значениях опорных точек в окрестностях искомой или на заданных математических формулах, которые определяют сглаживание результирующей поверхности.