Lek (1)
.pdf
Пример. Бросается монета до первого появления герба. Найти вероятность того, что для этого понадобится четное число бросков.
Решение. Пусть Ai – событие, состоящее в появлении герба при i – ом броске. Пусть А – событие, состоящее в появлении герба впервые при четном числе
бросков. Тогда |
|
A = A2 + A4 +.... , |
а |
по |
|
|
теореме |
сложения вероятностей |
|||||||||||||||||||||
несовместных событий |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Пусть ωг– событие, |
|
|
|
P(A)= P(A2 )+ P(A4 )+.... |
|
(1) |
|||||||||||||||||||||||
состоящее в появлении герба при одном броске, ωр– |
|||||||||||||||||||||||||||||
событие, состоящее в появлении решетки при одном броске. Тогда |
|
||||||||||||||||||||||||||||
A2 |
= ωp ωг , A4 = ωp ωp ωp ωг...... , а по теореме умножения |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
P(ωp )= P(ωг)= 1 |
|
P(A2 )= P(ωp ) P(ωг), P(A4 )= [P(ωp )]3 P(ωг)... |
(2) |
|||||||||||||||||||||||||
где |
. Из (1) и (2) следует |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
P(A)= |
+ |
|
+ |
|
|
+...., |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
26 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22 |
24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
где сумма бесконечной геометрической прогрессии равна |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
= 1 , |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
+ |
+ |
|
+.... = |
|
4 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
22 |
24 |
26 |
|
|
1 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|||||||||||||||
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 − 4 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
так что P(A)= |
+ |
+ |
+.... = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
22 |
24 |
26 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
§9. Теорема сложения вероятностей совместных событий |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
Пусть А, |
В – |
совместные события. |
Вероятности P(A), P(B) |
заданы. |
||||||||||||||||||||||||
Возникает задача вычисления вероятности P(A + B). Решение этой задачи дает теорема сложения вероятностей совместных событий. Доказательство основывается на теореме сложения вероятностей несовместных событий.
Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления, т.е.
P(A + B)= P(A)+ P(B)− P(A B).
Доказательство. Нетрудно доказать геометрически, что события AB, AB, AB
– несовместны и
|
|
|
|
|
|
|
|
(1) |
A + B = AB |
+ |
A |
B + AB , |
|||||
|
|
|
+ AB , |
(2) |
||||
A = AB |
||||||||
B = |
|
B + AB . |
(3) |
|||||
A |
||||||||
По теореме сложения вероятностей несовместных событий из (1)-(3) следует
P(A + B)= P(AB |
)+ P( |
|
B)+ P(AB), |
(4) |
||||||
A |
||||||||||
P(A)= P(AB |
)+ P(AB) , |
(5) |
||||||||
P(B)= P( |
|
B)+ P(AB). |
(6) |
|||||||
A |
||||||||||
Согласно (5) и (6) |
|
|||||||||
P(AB |
)= P(A)− P(AB), |
(7) |
||||||||
P( |
|
B)= P(B)− P(AB). |
(8) |
|||||||
A |
||||||||||
Подставляя (7) и (8) в (4), получим
P(A + B)= P(A)+ P(B)− P(A B),
что и требовалось доказать.
Пример. Что вероятнее: при бросании четырех игральных костей хотя бы на одной из них получить единицу, или при 24 бросках двух игральных костей хотя бы один раз получить две единицы?
Решение. Введем обозначения: A1– событие, состоящее в том, что на первой
кости выпадет единица; |
A2 – событие, состоящее в том, что на второй кости |
|||
выпадет |
единица; |
A3 – |
событие, |
состоящее в том, что на третьей кости |
выпадет |
единица; |
A4 – событие, |
состоящее в том, что на четвертой кости |
|
выпадет единица. Тогда A = A1 + A2 + A3 + A4 – событие, состоящее в том, что
хотя бы на одной из 4 костей выпадет единица при бросании 4 игральных костей. Геометрически можно показать, что имеет место формула
двойственности |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По определению противоположного |
||||||||||||||||||||||||||
A |
A1 A2 A3 A4 . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
события A + |
|
= Ω, так что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
P(A1 + A2 + A3 + A4 )=1 − P( |
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
4 ). |
|
(1) |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
A1 |
A |
A |
A |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
По теореме умножения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
P( |
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
4 )= P( |
A1) P( |
|
2 ) P( |
|
3) P( |
|
4 ), |
|
(2) |
||||||||||||||||||
где P( |
Ai ) |
|
|
A1 |
A |
A |
A |
A |
A |
A |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
– вероятность того, что |
на |
i-ой кости не появится |
единица, и |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
4 |
P(Ai )= |
. |
Подставляя (2) в (1), получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
≈ 0.52 . |
||||||||||||||||||||||||||
6 |
P(A1 + A2 + A3 + A4 )=1 − |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
Для ответа на вторую часть вопроса введем обозначения: B – событие, состоящее в том, что выпадут хотя бы один раз две единицы за 24 броска двух игральных костей; B1– событие, состоящее в появлении единицы при первом броске двух костей; B2 – событие, состоящее в появлении единицы при втором броске двух костей; …; B24 – событие, состоящее в появлении единицы при 24 броске двух костей; b1 – событие, состоящее в появлении единицы при одном броске на первой кости; b2 – событие, состоящее в
появлении единицы при одном броске на второй кости. В данных
обозначениях B = B1 + B2 +.... + B24, Bi = b1 b2 . С учетом теоремы умножения и введенных обозначений
|
|
|
|
|
|
|
35 |
24 |
|
P(B)=1 − P(B )=1 − (P(B ))24 |
=1 −[1 − P(b )P(b )]24 |
≈ 0.49 . |
|||||||
=1 − |
|
||||||||
|
|
|
i |
1 2 |
|
36 |
|
||
Окончательно имеем P(A)> P(B).
Пример. В сфере радиуса R случайно и независимо друг от друга разбросано N точек. Чему равна вероятность того, что расстояние от центра до ближайшей точки будет не меньше r? К чему стремится вероятность,
найденная выше, если |
|
N |
|
|
4π |
λ ? |
|
|
|
= |
|
||
lim |
|
|
|
|||
|
R→∞ R3 |
|
|
3 |
|
|
Решение. По формуле геометрической вероятности вероятность того, что одна точка окажется в указанной области, равна
|
|
|
|
|
|
4π |
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
− r |
|
|
|
|
|
|
|
r3 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
P(r ≤ L ≤ R)= |
3 |
|
|
|
|
|
|
= |
− |
|
, |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
4π |
|
R |
|
|
1 |
|
R |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
а по теореме умножения вероятность того, что N частиц окажется в |
|||||||||||||||||||||||||||
указанной объеме, определяется выражением |
|
|
|
|
3 N |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
(r ≤ |
L ≤ R)= |
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
P |
|
1 − |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
так что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
||||
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
4πr |
3 |
||||||
P (r ≤ L ≤ ∞)= |
1 |
− |
|
|
|
= |
lim |
|
1 |
− |
|
|
|
|
|
|
|
= exp |
− |
|
λ |
||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|||||||||||||||||||
N |
lim |
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
R→∞ |
|
|
|
|
|
R→∞ |
|
|
(R / r) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
§10. Формула полной вероятности
Пусть выполняются следующие условия:
1) события H1, H2,...Hn образуют полную группу событий, т.е.
H1,+H2 +... + Hn = Ω,
Hi H j =Ø.
2)событие А может наступить при условии появления одного из событий
H1, H2,...Hn .
Пусть известны вероятности P(A / Hi ), P(Hi ). Возникает задача определения вероятности P(A). Решение задачи основывается на следующей теореме. Теорема. Вероятность события А, которое может появиться лишь при условии появления одного из событий H1, H2,...Hn , образующих полную группу событий, вычисляется по формуле полной вероятности:
n
P(A)= ∑P(Hi )P(A / Hi ). i=1
Доказательство. По условию теоремы H1 + H2 +... + Hn = Ω, Hi H j =Ø, так
что
A(H1 + H2 +... + Hn )= AΩ = A.
Откуда следует
A = AH1 + AH2 +.... + AHn ,
где AHi – несовместные события. Тогда по теореме сложения вероятностей несовместных событий и теореме умножения
P(A)= P(H1)P(A / H1)+ P(H2 )P(A / H2 )+.... + P(Hn )P(A / Hn ),
что и требовалось показать.
§11. Формула Байеса
Пусть событие А может наступить при условии появления одного из событий H1, H2,...Hn , образующих полную группу событий. Так как заранее
не известно, какое из Hi наступит, то их называют гипотезами. Допустим,
что произведено испытание, в результате которого появилось событие А. Возникает задача переоценки вероятностей P(Hi ) после испытания, в
результате которого наступило событие А. Задача решается на основе формулы Байеса.
По теореме умножения
P(AHi )= P(A) P(Hi / A)= P(Hi )P(A / Hi ),
откуда следует |
|
|
|
|
P(Hi )P(A / Hi ) |
|
|
|
|
P(H |
i |
|
/ A)= |
|
, |
|
|||
|
|
|
P(A) |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где P(A)= ∑n P(H j )P(A / H j ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j=1 |
|
|
|
|
|
P(Hi )P(A / Hi ) |
|
|
|
Полученная формула P(H |
i |
/ A)= |
|
|
называется формулой |
||||
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
P(A) |
|
|
|
|
Байеса. Она позволяет переоценить безусловные вероятности P(Hi ) после
того, как становится известным результат испытания, в итоге которого появилось событие А. Изменение скачком вероятностей от P(Hi ) до P(Hi / A)
в результате проведения испытания является классическим аналогом коллапса волновой функции, возникающего в квантовой механике. Пример. Телеграфное сообщение состоит из точек и тире. Помехи таковы, что искажаются в среднем 2/5 сообщений точек, и 1/3 сообщений тире. Точка и тире встречаются в сообщении в отношении 5/3. Найти вероятность того,
что при приеме сигнала точки и тире в действительности были переданы эти сигналы.
Решение. Введем обозначения: А – прием сигнала точки; В – прием сигнала тире; H1 – передан сигнал точки; H2 – передан сигнал тире. Тогда по условию задачи
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P(B / H |
|
|
) |
= 2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P(A / H2 )= |
1 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P(H1) |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
5 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P(H2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Требуется найти условные вероятности |
P(H1 / A), P(H2 / B). |
Так как события |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
(A / H1), (B / H1) образуют полную группу, то |
|
|
|
|
|
=1 − 2 = 3 . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P(A / H )=1 − P(B / H |
|
) |
|
|
|
|
|
(4) |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
5 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Аналогично, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P(B / H2 )=1 − P(A / H2 )=1 − 1 |
|
2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
(5) |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||
Гипотезы H1, H2 также образуют полную группу, так что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Из (3) и (6) следует |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P(H1) + P(H2 )=1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) = 5 , |
|
|
|
|
|
|
= 3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P(H |
|
P(H |
2 |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(7) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
8 |
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Учитывая (2), (4), (7), по формуле полной вероятности получим |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
P(A)= P(H |
)P(A / H )+ P(H |
2 |
)P(A / H |
2 |
)= 5 3 + 3 1 = 1 . (8) |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
5 |
|
|
8 |
3 |
2 |
||||||||||
По формуле Байеса с учетом (8) найдем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
P(H |
)P(A/ H ) |
|
|
5 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P(H |
|
|
)P(A/ H |
|
) |
|
|
3 |
|
2 |
|
|
||||||
|
|
8 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
8 |
|
|
|
|||||||||||||||
P(H / A)= |
1 |
|
1 |
|
= |
|
|
= 0.75, P(H |
2 |
/ B)= |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
3 |
|
= 0.5 . |
|||||||||||||||
P(A) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P(A) |
|
|
|
0.5 |
|
||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
0.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
В данном примере в результате испытания происходит коллапс вероятности
от значения |
P(H ) = |
5 = 0.625 до значения P(H / A) = 0.75 |
и от значения |
|||
|
|
|
1 |
8 |
1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
P(H2 )= |
= 0.375 до |
значения P(H2 / B) = 0.5 . При этом |
информационная |
|||
|
8 |
|
|
|
|
|
энтропия уменьшается от значения
Si = −[P(H1) ln(P(H1))+ P(H2) ln(P(H2))]= 0.662
до значения
S f = −[P(H1 / A) ln(P(H1 / A))+ P(H2 / B) ln(P(H2 / B))]= 0.562 .
§12. Формула Бернулли
Говорят, что испытания производятся по схеме Бернулли, если выполняются следующие условия:
1)испытания независимы;
2)вероятность появления события А в каждом отдельном испытании постоянна;
3)в каждом испытании событие А может появиться, либо не появиться.
При таких условиях применима следующая теорема.
Теорема. Если эксперимент проводится по схеме Бернулли, то вероятность появления события А ровно m раз в n независимых испытаниях вычисляется по формуле Бернулли
P(m)= Cmn pm qn−m ,
где число сочетаний |
Cmn |
n! |
|
p – вероятность появления события А в |
= (n − m)!m! |
, |
каждом отдельном испытании, q =1 − p – вероятность не появления события А в каждом отдельном испытании.
Доказательство. Пусть Ai – событие, |
|
состоящее |
в |
том, что событие А |
|||||||||||||||
появится в i-ом испытании; |
|
|
|
|
том, что событие А не |
||||||||||||||
Ai – событие, состоящее в |
|||||||||||||||||||
появится в i-ом испытании; D j = Ai |
Ai |
|
Ai |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– событие, |
||
2 |
m |
Ai |
m+1 |
Ai |
m+2 |
Ai |
n |
||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
состоящее в том, что событие А появится ровно m раз в n независимых
испытаниях. Очевидно, событий |
D j |
|
может быть столько, |
сколько можно |
|||||||||||||||||||||||||||||||
составить |
|
сочетаний |
из |
n |
элементов по |
|
m |
элементов, т.е. j =1,2,...N , где |
|||||||||||||||||||||||||||
n |
|
С |
учетом |
|
|
сделанных |
|
|
обозначений |
по |
|
|
|
теореме |
умножения |
||||||||||||||||||||
N = Cm . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
вероятностей независимых событий |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
P(D |
|
)= P(A |
|
) P(A |
|
|
) P(A |
) P( |
|
|
|
|
) P( |
|
|
|
|
) P( |
|
|
|
|
)= pm qn−m . |
||||||||||||
j |
|
|
|
A |
|
|
A |
|
|
A |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
i |
|
i |
2 |
|
|
i |
|
i |
m+1 |
|
|
|
|
i |
m+ |
2 |
|
|
|
i |
n |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
События |
|
D j |
несовместны. |
Поэтому |
по |
|
теореме |
сложения |
вероятностей |
||||||||||||||||||||||||||
несовместных событий |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
m |
|
n−m |
|
n |
m |
|
n−m |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑P(D j )= |
Np |
q |
|
q |
, |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
P |
∑D j = |
|
|
|
|
|
= Cm p |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
j=1 |
|
|
j=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
что и требовалось получить.
§13. Формулы Пуассона и Муавра-Лапласа
Формулы Пуассона и Муавра-Лапласа будут получены в дальнейшем. В том случае, когда p < 0.1 и npq ≤ 9 вместо формулы Бернулли применяют приближенную формулу Пуассона
P(m)≈ |
λme−λ |
, λ = np . |
(1) |
|
m! |
|
|
В том случае, когда p, q не малы, а npq > 9 для приближенного вычисления вероятностей P(m) применяются формулы Муавра-Лапласа.
Локальная формула Муавра-Лапласа
Вероятность того, что в n независимых испытаниях событие А наступит ровно m , приближенно равна
P(m)≈ |
1 |
exp |
|
− |
(m − a)2 |
(2) |
||
|
|
|
2 |
, σ = npq, a = np . |
||||
|
2πσ |
|
|
2σ |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
Интегральные формулы Муавра-Лапласа
Вероятность того, что в n независимых испытаниях число появлений события А находится в пределах m1 < m < m2 приближенно равна
|
|
|
m |
2 |
− a |
|
m |
|
− a |
|
|
m |
2 |
− a |
|
|
m |
|
− a |
|
||||||||
P(m |
< m < m |
)= Φ |
|
|
|
|
− Φ |
|
1 |
|
|
= Φ |
0 |
|
|
|
|
−Φ |
0 |
|
1 |
|
, |
(3) |
||||
|
σ |
|
|
|
σ |
|
|
|||||||||||||||||||||
1 |
2 |
1 |
|
1 |
|
σ |
|
|
|
|
|
|
|
σ |
|
|
||||||||||||
где функции Лапласа затабулированы и
Φ (x)= |
1 |
x − |
t2 |
|
|
(x)= |
1 |
x |
|
− |
t 2 |
|
|
(x)= Φ |
(x)− |
1 . |
|
∫ |
e |
2 dt, Φ |
0 |
∫ |
e |
|
2 dt, Φ |
0 |
|||||||||
1 |
2π |
|
|
|
|
2π |
|
|
|
|
1 |
|
2 |
||||
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Непосредственно из формулы (3) следует интегральная формула
P( |
|
|
|
< ε)=1 − 2Φ |
|
|
n |
|
|
|
|
|
n |
|
m |
|
|
|
W (A)− p |
|
|
−ε |
|
= 2Φ |
|
|
ε |
, W (A)= |
. |
(4) |
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
n |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
pq |
|
|
|
|
pq |
|
||||
Пример. Французский ученый Бюффон бросил монету 4040 раз, причем герб появился 2048 раз. Найти вероятность того, что при повторении опыта Бюффона относительная частота появления герба по абсолютной величине не более чем в опыте Бюффона.
Решение. Так как относительная частота появлений герба W (Г)= 40402048 = 0.507 ,
то отклонение частоты от вероятности равно ε = 0.507 − 0.5 = 0.007 . Тогда согласно интегральной формуле (4)
P( |
|
W (A)− p |
|
< ε)= 2Φ |
|
|
ε |
n |
|
= 2Φ |
|
|
0.007 |
4040 |
|
≈ 0.6196 . |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.52 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
pq |
|
|
|
|
|
|
||
Пример. Какова вероятность того, что в столбце из 100 наугад отобранных монет число монет, расположенных гербом вверх будет заключено в пределах от 45 до 55?
Решение. Согласно интегральной формуле Муавра - Лапласа эта вероятность равна
P(45 ≤ m ≤ 55)≈ Φ0 |
|
55 −100 0.5 |
−Φ0 |
|
45 −100 0.5 |
|
= 2Φ0(1)≈ 0.68. |
|
|
|
100 0.5 0.5 |
|
|||
|
|
100 0.5 0.5 |
|
|
|
|
С другой стороны, по формуле Бернулли
55
P(45 ≤ m ≤ 55)= ∑C100k 2−n ≈ 0.73, k=45
так что отличие точного значения вероятности 0.73 от приближенного значения 0.68 составляет 5%.
Погрешность приближенной формулы Муавра-Лапласа определяется выражением
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(m −a)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
1 |
|
|
|
|
P(m ≤ m ≤ m |
) |
|
|
|
|
|
|
exp |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
m −a |
1 |
|
|
|
2σ |
2 |
|
|||||||
|
1 |
|
2 |
|
≈ Φ′ |
|
1 |
|
|
≈ |
|
|
|
|
. |
|
m −m |
|
|
σ |
σ 2π |
|
|
||||||||||
|
|
|
0 |
|
σ |
|
|
|
|
|
|
|||||
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для исследованной выше |
задачи |
эта |
величина |
равна |
σ |
1 |
≈ 0.048 , что |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π e |
|
|
составляет 5%.