Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
2ЧАСТЬлабЭлектромагнетизм.doc
Скачиваний:
64
Добавлен:
25.03.2016
Размер:
8.88 Mб
Скачать

Изучение магнитного поля короткой катушки

Цель работы: измерение индукции магнитного поля на оси катушки конечной длины; проверка принципа суперпозиции; изучение явления взаимной индукции.

Теоретическое введение

Подобно тому, как электрическое поле создается электрическими зарядами, магнитное поле создается электрическими токами. Пусть по тонкому неподвижному проводу течет электрический ток силой I. Рассмотрим малую часть провода, которую будем характеризовать вектором . Этот вектор начинается в произвольной точке провода, его модуль равен длинерассматриваемой части провода, а направление совпадает с направлением тока (рис.10.1).

Элемент токасоздает в пространстве магнитное поле, индукция которого в произвольной точке А пространства в вакууме определяется закономБио-Савара-Лапласа:

, (10.1)

где – магнитная постоянная;– магнитная проницаемость среды (для неферромагнитных материалов можно считать, что ); – радиус-вектор, проведенный от элемента тока до рассматриваемой точки (рис.10.1).

Модуль вектора можно найти по формуле:

(10.2)

где – угол между векторами и. Направление вектора определяется по правилу буравчика (см.рис.10.1). Формула (10.1) была установлена Лапласом при изучении результатов экспериментальных исследований магнитных полей токов в проводах различной формы, которые были проведены Био и Саваром.

Закон Био-Савара-Лапласа совместно с принципом суперпозиции (10.3) позволяет найти индукцию поля, созданного проводниками с токами любой конфигурации в произвольной точке пространства. Индукция поля, созданного в данной точке несколькими токами, равна векторной сумме индукций полей, созданных в данной точке каждым током в отдельности:

. (10.3)

В случае непрерывного проводника сумма заменяется на интеграл по вcему контуру с током:

. (10.3а)

Прежде чем вычислять индукцию магнитного поля на оси соленоида, нужно найти индукцию на оси кругового витка, поскольку каждый виток соленоида – это круговой ток. Рассмотрим элемент тока, находящийся в точкеМ (рис.10.2). Он создаёт в точке А индукцию , направленную перпендикулярно радиус-векторуточкиА и элементу тока (правило буравчика). Величина индукции вычисляется по (10.2). Аналогичный элемент тока, находящийся в диаметрально противоположной точкеМ1 окружности, создаёт индукцию (пунктир на рис.10.2). Составляющиеи, перпендикулярные осиOX, равны по величине и противоположны по направлению, так что компенсируют друг друга. Таким образом, из симметрии следует, что результирующая индукция будет направлена по оси симметрии – оси OX, и равна собственной проекции на ось OX. По принципу суперпозиции (10.3а)

.

Дальше по закону Био-Савара-Лапласа: , где:

.

Здесь учтено, что величины I, r, β постоянны, а интеграл по контуру равен длине окружности контура:

;

.

Поскольку , то

; (10.4)

. (10.4а)

По теореме Пифагора , тогда из (10.4):

. (10.4б)

Индукцию магнитного поля в центре кругового тока (точка О) можно получить, как частный случай (10.4б), если подставить x=0:

. (10.5)

Получим формулу для индукции магнитного поля на оси соленоида длины l и радиуса R, на единицу длины которого приходится n витков (, гдеN – полное число витков соленоида). На участке длины соленоида (рис.10.3) будет

витков. Суммарный ток этих витков равен

и, согласно (10.4а), создаёт в точке А оси соленоида индукцию (10.6):

. (10.6)

Так как угол мал, из рис.10.3 получим:

,

Подставим в (10.6):

.

Далее, , следовательно,

.

Последнее выражение можно проинтегрировать по всем виткам соленоида; пределы интегрирования – см.рис.10.3.

.

Окончательно получим:

. (10.7)

Результирующая индукция , как и все элементарные индукции , направлена по оси соленоида в соответствии с правилом буравчика.

В случае бесконечного соленоида β1=0, β2=π, и тогда

. (10.8)

Индукцию в центре соленоида конечной длины получим, подставив (рис.10.4); :

,

Поскольку , а– диаметр соленоида,

. (10.9)

Индукцию на левом конце в середине основания соленоида получим, подставив в (10.7) ; ; :

. (10.10)

Очевидно, в силу симметрии, то же самое выражение получится и для середины правого основания. Можно найти зависимость B(x) для любой точки на оси соленоида (x – расстояние до центра соленоида, рис.10.4):

, . (10.11)

Подставив (10.11) в (10.7) с учётом того, что , найдёмB=f(x):

. (10.12)

Из (10.12) тоже можно получить выражения (10.9) и (10.10) для магнитной индукции на торцах соленоида (; ) и в его середине ().

Формула (10.12) справедлива для всех точек на оси соленоида, в том числе при . Согласно этой формуле магнитная индукция монотонно убывает до нуля при . График зависимостиB=f(x) изображен на рис. 10.4. При формула (10.12) для магнитной индукции в центре соленоида переходит в полученное ранее выражение (10.8) для бесконечного соленоида.