11 Отражение и преломление света на границе двух диэлектриков.

Граничные условия для векторов поля световой волны на границе между двумя диэлектриками при отсутствии свободных зарядов и токов проводимости имеют вид:(4.25) – (4.26)

где t, n – индексы тангенциальной (касательной к границе раздела) и нормальной компоненты вектора соответственно.

Пусть на плоскую границу двух диэлектриков с абсолютными (не относительными !) проницаемостями (e₁ ; m₁) и (e₂ ; m₂) (магнитную проницаемость пока оставим в общем виде) падает под некоторым углом плоская световая волна (рис.4.3). Тогда для напряженностей электрического поля в падающей, отраженной и преломленной волнах соответственно имеем:

(4.27)

где – волновые числа, причем– скорости света в 1-й и 2-й средах.

Законы отражения и преломления света на границе полностью определяются граничными условиями (4.25) и (4.26). Для электрического поля с учетом (4.27) граничные условия принимают вид:

(4.28)

Отметим, что начало отсчета вектора r (точка 0’ ) совершенно произвольно. Если 0’ лежит не на поверхности раздела, то(4.29)

При этом в (4.28): . Но для любой точки поверхности, поэтому удобно точку0’ поместить на границе раздела.

Равенство (4.28) будет соблюдаться для произвольных значений r и t только при(4.30)

. (4.31)

Отсюда следует, что . (4.32)

(Частота ЭМВ при отражении и преломлении не меняется.)

Выберем точку 0’ так, чтобы вектор (т.е. направим перпендикулярно плоскостиXZ рис.4.3). Тогда , а из (4.31) следует, что и. Отсюда следует, чтоволновые векторы падающей, отраженной и преломленной волн (условно пока назовем направление k лучом) лежат в одной плоскости. Плоскость, в которой лежат волновой вектор k₀ и нормаль к поверхности раздела n в точке падения луча, называется плоскостью падения. Из рис.4.3 видно, что

(4.33)

Тогда с учетом (4.31) получаем:

(4.34)

или из (4.27) и (4.32):(4.35)

Вспомним, что – показатели преломления. Из (4.35) можно сделать следующие выводы:

1. . (4.36)

2. . (Закон Снеллиуса) (4.37)

Введем обозначение

–относительный показатель преломления. (4.38)

Тогда закон Снеллиуса примет вид:

(4.39)

При (падение из менее оптически плотной в более оптически плотную среду)(рис.4.4). При(рис.4.5).

Вообще говоря, вектор E₀ в падающей волне может иметь произвольный азимут a (угол между E и плоскостью падения. Разложим векторы электромагнитного поля на две составляющие: перпендикулярные плоскости падения (будем обозначать их индексом s (или ⊥) и параллельные плоскости падения (будем обозначать их индексом p (или || )) (рис.4.6):

(4.40)

Видно, что векторы исоставляют правовинтовые тройки векторов и образуют сами плоские ЭМВ. Кроме этого видно, что, т.е. плотность потока энергии исходной волны равна сумме плотностей потока энергии волн, на которые она разлагается.

Т.о. плоскую волну с произвольным азимутом можно разложить на сумму волн, у одной из которых E_p (p – поляризация) лежит в плоскости падения, а у другой E_s (s – поляризация) – перпендикулярна ей. Изучив поведение этих волн на границе с учетом принципа суперпозиции и аддитивности (в данном случае) плотностей потока энергии, получим поведение ЭМВ с произвольным азимутом.

12 Отражение и преломление s-поляризованной ЭМВ. (Рис.4.7)

Введем единичные векторы в направлении волновых векторов:

(4.41)

Как направлены векторы E₁ и E₂ заранее не известно. Направим условно их так, как показано на рис.4.7. Если знак получится отрицательный, значит векторы направлены в противоположную сторону.

Граничные условия для s–поляризации (индексы s опустим):

(4.42) – (4.43)

Обозначим–волновое сопротивление (импеданс) среды. (Для вакуума .) В оптике, в отличие от электричества, понятие волнового сопротивления среды практически не используется. Но для удобства записи мы им временно воспользуемся. Тогда

(4.44)

Из рис.4.7 можно найти связь :

(4.45)

Для дальнейшего использования в (4.43) получим из (4.44) и (4.45) скалярное произведение для любой из рассматриваемых волн:

. (4.46)

С учетом известной из векторного анализа формулы

(4.47)

получаем:

(4.48)

Тогда из (4.43) имеем:

Соотношения (4.49) и (4.42) совместно можно записать в виде:

(4.49)

(4.50)

Обозначим:

–ампл. коэффициент отраж.(4.51)

–амплитудный коэффициент пропускания.(4.52)

Учтем, что(4.53)

При система (4.50) имеет действительное решение для всех угловq₀ . Если она имеет действительное решение лишь для углов(подробнее этот случай рассмотрим позднее). Тогда имеем:

(4.54) – (4.55)

(Обобщенные формулы Френеля для s – поляризации)

Для диэлектриков в оптическом диапазоне обычно . Тогда из (4.54) и (4.55) получим общепринятые формулы Френеля дляs – поляризации:

(4.56) – (4.57)

Графики зависимостей идляприведены на рис.4.8. При отражении света от диэлектрика сфаза отраженной волны изменяется наp. При преломлении в этом случае изменения фазы нет. При отражении света от диэлектрика с скачка фазы наp не происходит ни для отраженной, ни для преломленной волны (для углов рассмотрение – ниже).

Отражение и преломление p–поляризованной ЭМВ.

Рассмотрение в данном случае проводится аналогично случаю s–поляризации. Для этого учтем, что

(4.58) – (4.59)

Отсюда.(4.60)

Граничные условия для p–поляризации принимают вид:

(4.61) – (4.62)

Подставляя (4.60) в (4.61), получаем:

4.63). (4.64)

Для действительных углов преломления получаем обобщенные формулы Френеля для p–поляризации

(4.65) – (4.66)

или для диэлектриков с m₁ = m₂ :

(4.67) – (4.68)