Билет 1
Пример.
Исследовать
на линейную зависимость такие функции:
.
Решение
Исследование
проведем в интервале
,
который представляет собой
область определения заданных функций. Применим правило для определения
линейной зависимости двух функций, указанное в начале страницы. Так как при
имеем:
,
то данные функции линейно независимы
на
.
Билет 2
Основные
свойства неопределенного интеграла
Билет 3
Билет 4
Билет 5
Билет 6
Дробно-рациональная
функция
называется
правильной,
если степень многочлена, стоящего в числителе, ниже степени
многочлена в знаменателе, и неправильной в противном случае.
Алгоритм:
1.Если дробь неправильная — выделить целую часть. Получим
интеграл от целой части (интегрируется непосредственно) и
интеграл от правильной дроби;
2.Если числитель равен дифференциалу знаменателя (или
отличается от него постоянным множителем), то использовать
замену переменной z=знаменатель;
3.Если числитель равен дифференциалу некого многочлена (или
отличается от него постоянным множителем), а знаменатель равен
степени того же многочлена, то использовать замену переменной
z=знаменатель;
4.В остальных случаях нужно разложить дробь на сумму простейших.
Пример
.
=
;
=
Общим решением дифференциального уравнения
F(x, y(x), y '(x), y ''(x), … , y(n )(x)) = 0
называется функция
y = Ф(x, С1, С2, … , Сn),
содержащая некоторые постоянные (параметры) С1, С2, … , Сn, и обладающая следующими свойствами:
Ф(x, С1, С2, … , Сn) является решением уравнения при любых допустимых значениях С1, С2, … , Сm;
для любых начальных данных y(x0) = y0, y '(x0) = y1, y ''(x0) = y2, … , y(n − 1)(x0) = yn − 1, для которых задача Коши имеет единственное решение,
существуют значения постоянных С1 = A1, С2 = A2, … , Сn = An, такие что решение y = Ф(x, A1, A2, …, An) удовлетворяет заданным начальным условиям.
теорема о структуре общего решения линейного однородного уравнения).
Если все коэффициенты уравнения линейного однородного дифференциального уравнениния непрерывны на отрезке [a;b] , а функции y1(x), y2(x),..., yn(x) образуют фундаментальную систему решений этого уравнения, то общее решение уравнения имеет вид
y(x,C1,..., Cn) = C1y1(x) + C2y2(x) + ... + Cnyn(x),
где C1,...,Cn — произвольные постоянные.
Теорема.
Если
и
– линейно независимые решения уравнения
,
то их линейная комбинация
,
где
и
–
произвольные постоянные, будет общим
решением этого уравнения.
Доказательство.
То,
что
есть
решение уравнения (2.3), следует из теоремы
о свойствах решений лоду 2-го порядка.
Надо только еще показать, что решение
будет общим,
т.е. надо показать, что при любых начальных
условиях
,
можно выбрать произвольные постоянные
и
так,
чтобы удовлетворить этим условиям.
Запишем начальные условия в виде:
Постоянные
и
из
этой системы линейных алгебраических
уравнений определяются однозначно,
так как определитель этой системы
есть значение определителя Вронского
для линейно независимых решений лоду
при
:
,
а такой определитель, как мы видели в предыдущем параграфе, отличен от нуля.
Билет 7
Общее
решение (8) на отрезке
с непрерывными на этом отрезке
коэффициентами
и правыми частями
равно сумме общего решения соответствующей
однородной системы (9) и частного
решения
неоднородной
системы (8).(
,
тогда (6) можно переписать в виде:
,(8)
если
то
(9))
Рассмотрим линейную однородную систему обыкновенных дифференциальных уравнений вида
которая в векторной форме записывается в виде
Здесь
Матрица Φ, столбцами которой являются nлинейно независимых на [a, b] решений Y1(x), Y2(x), ..., Yn(x) однородной линейной системы Y' = A(x)Y называется фундаментальной матрицей решений системы:
Фундаментальная матрица решений однородной линейной системы Y' = A(x)Y удовлетворяет матричному уравнению Φ' = A(x)Φ.
Здесь
--------------- Квадратная матрица Φ(t), столбцы которой образованы линейно независимыми решениями x1(t), x2(t), ..., xn(t), называется фундаментальной матрицей системы уравнений. Она имеет следующий вид:
где xij (t) − координаты линейно независимых векторных решений x1(t), x2(t), ..., xn(t). Заметим, что фундаментальная матрица Φ(t) является невырожденной, т.е. для нее всегда существует обратная матрица Φ −1(t). Поскольку фундаментальная матрица содержит n линейно независимых решений, то при ее подстановке в однородную систему уравнений получаем тождество
Умножим это уравнение справа на обратную функцию Φ −1(t):
Полученное соотношение однозначно определяет однородную систему уравнений, если задана фундаментальная матрица. Общее решение однородной системы выражается через фундаментальную матрицу в виде
где C − n-мерный вектор, состоящий из произвольных чисел.------
Билет 8
Если функция интегрируема по Риману на отрезке, то она ограничена
на этом отрезке. Зам.: условие ограниченности является необходимым
условием интегрируемости функции по Риману на отрезке.
Док-во:Пусть функция f(x) интегрируема на
[a,
b], тогда
.
По определению интеграла
,
то есть
для
и
любого набора точек
выполняется:
,
отсюда получаем:
Допустим, что функция не ограничена на [a, b], то есть не ограничена
на
некотором
.
Обозначим остальную, не относящуюся к
данному отрезку часть суммы за σ:
,
В
силу неограниченности всегда можно
выбрать такое ξ*,
что
.Получено
противоречие,
следовательно интегрируемая функция должна быть ограниченной
Билет 9
Если существует конечный предел I интегральной суммы при λ → 0, и он не зависит от способа выбора точек ξ i, способа разбиения отрезка, то этот предел называется определенным интегралом от функции f (x)по отрезку [a, b] и обозначается следующим образом:
Общее
решение (8) на отрезке
с непрерывными на этом отрезке
коэффициентами
и правыми частями
равно сумме общего решения соответствующей
однородной системы (9) и частного
решения
неоднородной
системы (8).(
,
тогда (6) можно переписать в виде:
,(8)
если
то
(9))
Рассмотрим линейную однородную систему обыкновенных дифференциальных уравнений вида
которая в векторной форме записывается в виде
Здесь
Матрица Φ, столбцами которой являются nлинейно независимых на [a, b] решений Y1(x), Y2(x), ..., Yn(x) однородной линейной системы Y' = A(x)Y называется фундаментальной матрицей решений системы:
Фундаментальная матрица решений однородной линейной системы Y' = A(x)Y удовлетворяет матричному уравнению Φ' = A(x)Φ.
Здесь
--------------- Квадратная матрица Φ(t), столбцы которой образованы линейно независимыми решениями x1(t), x2(t), ..., xn(t), называется фундаментальной матрицей системы уравнений. Она имеет следующий вид:
где xij (t) − координаты линейно независимых векторных решений x1(t), x2(t), ..., xn(t). Заметим, что фундаментальная матрица Φ(t) является невырожденной, т.е. для нее всегда существует обратная матрица Φ −1(t). Поскольку фундаментальная матрица содержит n линейно независимых решений, то при ее подстановке в однородную систему уравнений получаем тождество
Умножим это уравнение справа на обратную функцию Φ −1(t):
Полученное соотношение однозначно определяет однородную систему уравнений, если задана фундаментальная матрица. Общее решение однородной системы выражается через фундаментальную матрицу в виде
где C − n-мерный вектор, состоящий из произвольных чисел.
Билет 10
Теорема об оценке
интеграла.
Если на отрезке [a,b]
функция удовлетворяет неравенству
,
то
.
Док-во.
Докажем левое неравенство (цифрами над
знаками импликации обозначены номера
применяемых ранее доказанных свойств):
.
Аналогично доказывается и правое
неравенство.
Билет 11
или
Общее
решение (8) на отрезке
с непрерывными на этом отрезке
коэффициентами
и правыми частями
равно сумме общего решения соответствующей
однородной системы (9) и частного
решения
неоднородной
системы (8).(
,
тогда (6) можно переписать в виде:
,(8)
если
то
(9))
Билет 12
Ф-ла Ньютона-Лейбница
Билет 13
Билет 14
Билет 15
Билет 16
Пустьf(x)
определена на (a,b],
терпит бесконечный разрыв в точке x=a и
.
Тогда:
Если
,
то используется обозначение
и
интеграл называется несобственным
интегралом Римана второго рода.
В этом случае интеграл называется
сходящимся.
Если
или
,
то обозначение сохраняется, а
называется
расходящимся.
Пусть
f(x)
определена на (a,b],
терпит бесконечный разрыв при x=b и
.
Тогда:
Если
,
то используется обознач….
Если
функция f(x)
терпит
разрыв во внутренней точке c
отрезка
,
то несобственный интеграл второго рода
определяется формулой:
Свойства.
1)
Если интеграл
сходиться,
С – некоторое число, то интеграл
также
сходиться и
2)
Если интегралы
и
сходятся,
то интеграл
только
сходится и
3)
Если функции
и
интегрируемы
при
,
то
4)
Пусть функция f(x) непрерывна
при x>=a
, функция
определена,
непрерывна и имеет непрерывную
производную на промежутке
конечном
или бесконечном, где
<
Тогда
Билет
17
Д-во
Билет 18
Пример.
Обыкновенное
дифференциальное уравнение 1-го порядка
(n=1)
имеет вид:
или, если его удается разрешить
относительно производной:
.
Общее
решениеy=y(x,С)
или общий
интеграл
уравнения 1-го порядка содержат одну
произвольную постоянную. Единственное
начальное условие для уравнения 1-го
порядка
позволяет определить значение константы
из общего решения или из общего интеграла.
Таким образом, будет найдено частное
решение или, что тоже, будет решена
задача Коши.
Геометрически
общее решение уравнения
1-го порядка представляет собой семейство
кривых на плоскости XOY,
не имеющих общих точек и отличающихся
друг от друга одним параметром –
значением константы C.
Эти кривые называются интегральными
кривыми для
данного уравнения. Интегральные кривые
уравнения
обладают очевидным геометрическим
свойством: в каждой точке
тангенс угла наклона касательной к
кривой равен значению правой части
уравнения в этой точке:
.
Другими словами, уравнение
задается в плоскости XOY
поле направлений касательных к
интегральным кривым.
Изоклиной ду называется множ-во точек пл-ти, в каждой из которых угловой коэф касательной к интегральным кривым этого ур-я имеет постоянное значение. Очевидно, ур-е изоклины имеет вид: f(x,y)=k, где к-значение углов коэфкачательной. Изоклины – линии уровня ф-цииf(x,y)
Пример.
Найти общее решение уравнения y'+3y=e2x
и частное решение,удовлетворяющее
начальным условиям х=0,
у=1.
Решение. Данное уравнение является
линейным..
Билет 19
Рассмотрим
Билет 20
Несобственный
интеграл I=
называется: а)абсолютно
сходящимся,
если сходится интеграл
=
,
в этом случае говорят, что ф-ция f абс.
интегрируема на промежутке [a;b); б)условно
сходящимся,
если интеграл I сходится, а
расходится.