МатМод экология / Лекция №3
.pdf
Чем меньше остаточная сумма квадратов по сравнению с общей суммой квадратов, тем больше значение коэффициента детерминации r 2 ,
который показывает, насколько хорошо уравнение, полученное с помощью регрессионного анализа, объясняет взаимосвязи между переменными. Если он равен 1, то имеет место полная корреляция с моделью, т.е. нет различия между фактическим и оценочным значениями y. В противоположном случае,
если коэффициент детерминированности равен 0, то уравнение регрессии неудачно для предсказания значений y.
Пример 1. Процесс y=f(x) задан таблицей:
xi |
yi |
12,85 |
154,77 |
12,32 |
145,59 |
11,43 |
108,37 |
10,59 |
100,76 |
10,21 |
98,32 |
9,65 |
81,43 |
9,63 |
80,97 |
9,22 |
79,04 |
Требуется построить аналитическую модель этого процесса и определить, насколько она адекватна.
Решение. Самая простая модель зависимости – линейная. Для проверки гипотезы о том, что зависимость между x и y именно линейная,
предварительно найдем коэффициент корреляции данных:
8 |
|
8 |
|
||
Среднее арифметическое: x |
xi |
10,7375 ; |
y |
yi |
106,1563; |
i 1 |
i 1 |
||||
|
|||||
|
|
||||
8 |
|
8 |
|
||
Вычислим коэффициент корреляции:
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(xi x)( yi y) |
|||||||||||||
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,978806 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(xi |
x)2 |
|
( yi |
y)2 |
||||||||
|
|
i 1 |
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
Близкий к единице коэффициент корреляции подтверждает, что моделируемая зависимость действительно линейна.
Для построения модели необходимо определить коэффициенты
линейной функции y a1 a2 x . |
Для определения коэффициентов a1 и a2 |
||||
воспользуемся системой |
|
|
|
|
|
|
|
n |
n |
|
|
|
a1n a2 xi |
yi |
, |
|
|
|
|
i 1 |
i 1 |
|
|
n |
n |
n |
|
|
|
a1 |
xi |
a2 xi2 xi |
yi . |
||
|
i 1 |
i 1 |
i 1 |
|
|
В нашем случае число наблюдений n=8.
8a1 85,9a2 849,2585,9a1 934,8098a2 9386,317
Решим систему методом Крамера:
885,9
85,9 934,8098 (8*934,8098) (85,9 *85,9) 7478,4712 - 7378,81 99,6612
|
1 |
|
849,25 |
85,9 |
(849,25*934,8098) (85,9 *9386,317) -12397,40765 |
|
|
9386,317 |
934,8098 |
|
|
|
|
|
|
8849,25
2 85,9 9386,317 (8*9386,317) (849,25*85,9) 2139,961
a |
1 |
124,4 ; |
a |
2 |
21,5 (с округлением до 1 знака после запятой). |
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
Следовательно, модель имеет вид:
y 124,4 21,5x
Для исследования адекватности модели дополним таблицу исходных данных столбцом со значениями в точках xi, рассчитанных по модели:
xi |
yi |
yT |
|
|
i |
12,85 |
154,77 |
151,875 |
12,32 |
145,59 |
140,48 |
11,43 |
108,37 |
121,345 |
10,59 |
100,76 |
103,285 |
10,21 |
98,32 |
95,115 |
9,65 |
81,43 |
83,075 |
9,63 |
80,97 |
82,645 |
|
|
|
|
|
|
|
9,22 |
79,04 |
|
73,83 |
|
|||
Вычислим коэффициент детерминации: |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
8 |
yiT )2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
|
|
( yi |
252,1472 |
|
|
|
|
|||||
r |
1 |
|
8 |
|
1 |
1 |
0,0032 0,9968 |
|||||||
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( yi |
y)2 |
78832,67 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Практически равное единице значение коэффициента детерминации говорит о высокой эффективности модели.