Posob_k_Rgr_N2-1

- 10 -

соотношения отличаются от закона Гука. Другие физические соотношения действуют и при больших нагрузках, когда нарушается закон Гука.

Замечания.

1.Напряжения и деформации ` связаны друг с другом, сопровождают друг друга. Поэтому состояние тела под нагрузкой называют напряженно- деформированным состоянием, сокращенно НДС.

2.Поперечная деформация происходит без напряжений в поперечном направлении.

3.В пределах действия закона Гука при сжатии большинство материалов имеет те же свойства, что и при растяжении.

4.НДС материала стержня при растяжении рассмотрено выше не в полном объеме. В сечениях, нормаль которых составляет некоторый угол α с продольной осью стержня (рис. 1.4), легко обнаружить касательные напряжения, представляющие собой силу в плоскости сечения Tα ,

приходящуюся на единицу его площади:

Рассматривая деформацию элементов, мысленно вырезанных из растянутого стержня под углом к продольной его оси, найдем, что при деформациях ε > 0 и εп = −με < 0 углы элементов

прямыми не остаются. Особенно просто это видеть для элементов с проекцией в виде квадрата на плоскость чертежа, стороны которого составляют угол в 45° с продольной осью стержня (рис. 1.5). Угловая деформация, связанная с касательными напряжениями, таким образом, здесь также не рассмотрена.

Проверка прочности при расчете стержней на растяжение-

сжатие заключается в проверке выполнения условия прочности

где σ − допускаемое напряжение, представляющее собой некоторое опасное для данного материала значение, деленное на коэффициент запаса, соответствующий особенностям задачи.

Это условие должно выполняться в каждой точке стержня. Поскольку допускаемое напряжение обычно одинаково для всего стержня, его обычно

записывают так:

σ max ≤ σ

т.е. максимальное по модулю значение нормального напряжения не должно превышать допускаемое.

-11 -

1.4.Пример решения задачи на растяжение и сжатие

Требуется проверить прочность и определить перемещение свободного конца стержня, изображенного на рис. 1.6. Здесь F, 1,3F, 1,4F − площади поперечных сечений, где F = 350 мм2; P, 1,2P, 1,5P − осевые силы; P = 30 кН; 1,8a, a, 1,5a − длины участков стержня где a = 0,35 м. Места приложения сил выделены на рисунке жирной точкой. Материал: сталь Ст3, допускаемое напряжение которой [σ] = 160 МПа, модуль упругости E = 200000 МПа.

-45

Эпюра σ (x), МПа

46,2

−25,7

−91,8

Рис. 1.6

Решение задачи начнем с построения эпюры осевых сил в сечениях стержня. Для этого следует воспользоваться общим алгоритмом построения эпюр. Поскольку стержень консольный, то опорную реакцию определять не будем. Точки приложения сил разбивают стержень при построении эпюры на три отдельных участка(рис. 1.6). Далее согласно алгоритму к каждому участку

в отдельности следует применить метод сечений для определения внутренних осевых сил N(x). Эпюра полученных осевых сил дана на рис. 1.6. Поскольку распределенных осевых сил нет, то осевые силы оказываются постоянными в пределах участка, а эпюра представляет собой кусочно-постоянную функцию.

По осевой силе вычислим нормальные напряжения в сечениях стержня, а затем, воспользовавшись законом Гука и определением линейной деформации, найдем удлинения отдельных участков стержня:

Участок CD:

Эпюра распределения нормальных напряжений по длине стержня приведена на рис. 1.6. Алгебраически суммируя удлинения отдельных участков стержня получим удлинение всего стержня:

l = lCD + lBC + lAB = −0,241− 0,045 + 0,146 = −0,140 мм ,

т.е. стержень укорачивается.

- 14 -

Рис. 1.7b

-15 -

Врассматриваемой задаче условие прочности выполняется, поскольку

91,8МПа < 160МПа .

Задание.

Построить эпюры осевых сил N(x) и нормальных напряжений σ(x), проверить прочность и определить перемещения свободного конца стержня. Схему стержня взять с рис. 1.7 по номеру варианта, который сообщает преподаватель. На рис. 1.7 F − площадь поперечного сечения; P − осевая сила. Материал: сталь Ст3, [σ] = 160 МПа, E = 200000 МПа. Прочие данные взять из таблицы с помощью шифра.

-16 -

2.ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК СОСТАВНОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ

2.1. Геометрические характеристики поперечных сечений, используемые при расчетах

Простейшей геометрической характеристикой поперечного сечения является его площадь. Если представить поперечное сечение состоящим из бесчисленного множества элементарных площадок (рис. 2.1), то площадь сечения F равна

При центральном растяжениее и сжатии стержней напряжения, воз- никающие в их поперечных сечениях, величина их потенциальной энергии деформации зависят от площадей поперечных сечений балок.

При изгибе, кручении и различных случаях работы балки при слож- ных деформациях, а также при расчете сжатых стержней на устойчивость приходится использовать более сложные геометрические характеристики: статический момент площади поперечного сечения, осевой, полярный и центробежный момент инерции поперечных сечений. Формулы для определения этих характеристик отличаются от формулы для площади тем,

таблицах ГОСТов приводятся геометрические характеристики профилей стандартного проката (уголков, швеллеров, двутавров). Некоторые из этих

-19 -

2.Поворот осей координат на угол α против хода часовой стрелки:

где Iy1 , Iz1 , Iy1z1 − моменты инерции попречного сечения относительно осей

y1 и z1 , повернутых на угол α против хода часовой стрелки по отношению к осям y и z. Сумма осевых моментов инерции при повороте осей координат

не меняется:

Iy1 + Iz1 = Iy + Iz .

Для сложного поперечного сечения, в результате расчленения которого получаем n составных частей, основные моменты инерции всего сечения оп- ределяются по формулам:

если оси y и z являются глобальными осями, т.е. едиными для всего сложного сечения.

2.3. Главные оси и главные моменты инерции

Для некоторых значений угла α величины осевых моментов инерции сечения достигают максимума и минимума. Главные моменты инерции определяются как экстремальные (максимальные или минимальные) значения осевых моментов инерции. Главным моментом инерции соот- ветствуют главные оси инерции. Главные оси инерции взаимно перпенди- кулярны.

Относительно главных осей инерции центробежный момент инерции равен нулю.

Взаимно перпендикулярные оси, из которых одна или обе совпадают с осями симметрии сечения, всегда являются главными осями инерции.

Положение главных осей относительно произвольно взятых осей, определяется углом α0:

Уравнению удовлетворяют ряд значений угла αo . Из них выбирается

минимальное по модулю значение. Если оно положительно, то для определения положения главных осей инерции следует оси y и z повернуть

на угол αo против хода часовой стрелки, а если отрицательно - то по ходу