страхование для выдачи студентам / Элементы страховой математики
.pdfубытком Х1, вторая - Х2. Они хотят обменяться перестраховочными договорами на условиях:
−ожидаемый доход от обмена равен нулю;
−дисперсия нетто - удержания должна быть минимальной для обеих компаний.
Как им обменяться рисками? Первое условие требует, чтобы
перестраховочные взносы равнялись рисковым взносам, т.е.
перестраховочная функция отсутствует. Второе условие приводит к договору квотного типа, т.е. если первый страховщик оставляет себе долю с1, а второй - долю с2, то после договора риски сторон:
1) c1 × X1 + (1 - c2) × X2 ; 2) c2 × X2 + (1 - c1) × X1.
Доли с1 и с2 определяются по принципу Парето /2/.
Можно показать, что с1 + с2 = 1, но решение не единственное, т.к.
стороны стремятся к разным точкам на этой прямой. Необходим компромисс, достигаемый с помощью дополнительного условия, состоящего в том, что объем обмена должен быть сбалансирован, т.е.
перестраховочные премии должны быть равны.
(1 - с1) × Р1 = (1 – c2) × Р2
Тогда вместе с условием (с1 + с2 = 1) получим систему с единственным решением:
c1 = P1/(P1 + P2); c2 = P2/(P1 + P2).
Этот результат можно обобщить на случай нескольких компаний. Решение получается использованием аппарата теории игр нескольких игроков.
Например, есть k страховщиков с одинаковым распределением общих убытков Xi, причем убытки компаний взаимно независимы, и страховщики хотят организовать пул. Условия взаимного обмена: i - й страховщик оплачивает R(Xj) убытков j - й компании, причем минимизируется СКО убытков собственного удержания (включая принятые убытки других компаний). Тогда: R(X) = X/k, - искомое решение. Т.е. каждый сохранил за собой только 1/k часть своего риска,
что эквивалентно объединению всех компаний.
13.10. Роль дисперсии в формировании рисковой надбавки
Выше показано, что именно за счет надбавки общий доход от всего портфеля должен быть достаточно велик, чтобы обеспечить требуемую платежеспособность. При этом возникает проблема "справедливого" распределения (между всеми полисами с разными рисками) суммарного превышения всех нетто - премий над всеми рисковыми премиями. Это - самостоятельная задача, особенно актуальная для "нон лайф" страхования. В основе подхода – (граница)
251
маржа платежеспособности (резерв) U для защиты портфеля. Можно показать /6/, что резерв должен быть пропорционален СКО размера агрегированных убытков Х, т.е.
U = t × Sx = t ×p × 
rn2 +Sq2 ,
где t - характеристика безопасности, например, 3. (Для нормального закона отклонение СВ от своего МО больше, чем на 3*СКО, практически невозможно.)
Для частной компании следует учитывать плату процентов на капитал безопасности U (или недополученную прибыль). В общих компаниях этот резерв создается за счет самофинансирования и поддерживается за счет рисковых надбавок (что может быть принципиальным в условиях инфляции).
Всоответствии с этим рассчитывается общая рисковая надбавка L
исоответствующий общий (ожидаемый) доход L × P, пропорциональный СКО (Sx), а следовательно, и пропорциональный U.
Интересная ситуация возникает в обществе взаимного страхования. Здесь группа владельцев полисов создает страховую компанию и собирает начальный капитал U. Возможен подход, основанный на теории игр нескольких лиц.
Предположим, что рисковая надбавка пропорциональна СКО размера ущерба, и следовательно, пропорциональна минимальному начальному капиталу: L × P = k × U, где k - коэффициент пропорциональности (иногда без потери общности полагают: k = 1). Для примера, портфель состоит из трех однородных субпортфелей. Малые (но многочисленные) риски (автомобили и домашнее имущество), большие (но менее многочисленные) риски (морские суда, самолеты, промышленные пожары и т.д.), очень большие (малочисленные) риски, связанные с природными явлениями (лесные пожары и т.д.).
Можно рассчитать характеристики каждого субпортфеля и по ним определить резерв для этого субпортфеля. А затем эти резервы сложить. Если учесть, что для независимых случайных величин дисперсии складываются, то можно показать, что:
Sx2 = ∑Sxj2 = ∑(Nj A2j + N2j M2j Sqj2 )= |
|
||||||||
|
|
r |
+ Sq2 |
|
p2 , (Sq2 |
= ∑πj Sqj2 |
) |
||
= N A2 |
+ N2 M |
2 Sq2 = |
2 |
|
|||||
N |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
252
Теперь можно рассчитать общий резерв для всего портфеля. Он незначительно превысит самый большой резерв для субпортфеля, но будет значительно меньше суммы резервов. (Это еще одно подтверждение того факта, что увеличение портфеля повышает устойчивость.)
В частном случае, когда k = 1, эта разность: G =∑Uj - U может быть названа "доходом от объединения субпортфелей".
Теперь надо распределить этот доход между группами (и затем, внутри групп - между полисами). Каждому субпортфелю надо выделить его часть дохода Gj, (∑Gj = G). Очевидно, что эти части дохода Gj должны быть не меньше дохода, получаемого при объединении (кооперировании) любых двух групп (в этом примере, без третьей). В противном случае возникнут предпосылки для создания коалиций внутри портфеля.
Эта идея позволяет рассмотреть поочередно каждую комбинацию и найти соответствующие этой комбинации доходы, т.е. получить систему соотношений: Gi + Gj > Gij, которая должна выполняться для любых комбинаций (i, j). Решение этой системы неравенств позволит определить Gi.
Однако, отметим, что возможно наличие дополнительных условий, которые изменят это решение.
Таким образом, это пример кооперативной игры N лиц, где есть набор решений, удовлетворяющих требованиям, и называемых "ядром игры". Он может быть распространен на произвольное число страховщиков, участвующих в общих рисках.
13.11. Распределение надбавки между субпортфелями
Выше отмечено, что субпортфели содержат различные риски, поэтому возникает проблема "справедливого" распределения рисковой надбавки между субпорфелями. Если граница платежеспособности (резерв U), и пропорционально ей рисковые надбавки делятся в соответствии с групповыми СКО (а они пропорциональны рисковым резервам):
U = t × Sx = t × P × |
r2 |
+ Sq2 , |
|
n |
|
то доли не удовлетворяют условию (Gi + Gj > Gij). Группы малых рисков "перенагружены" в пользу групп с большими рисками (бедные платят за богатых!).
253
Ситуация еще ухудшится, если использовать не СКО, а дисперсию. Часть дохода, выделяемая группе с большими рисками, возрастет, а для других групп - уменьшится, что потребует соответствующего изменения надбавки. Возникает ситуации, когда
большая масса страхователей с малыми рисками будет расплачиваться за уравнивание больших рисков.
Если выразить L = k × U/P, то видно, что с ростом портфеля относительная надбавка падает, т.е. устойчивость и конкурентоспособность крупной компании - выше. Этот факт был установлен и ранее, но на примере нормального закона. Теперь этот же результат получен для произвольного распределения.
Отметим, что проблему надбавки можно анализировать и с другой точки зрения. Известна рисковая премия, ниже которой взнос быть не может. Оценивается, какую нетто - премию может заплатить страхователь (здесь используется теория полезности). Разность указывает надбавку и соответственно, позволяет оценить платежеспособность. В частности, если все страховщики договорились использовать экспоненциальную функцию полезности, то обмен рисков между ними может быть представлен в виде аналитических формул.
13.12. Влияние перестрахования на вероятность разорения
При изучении перестрахования отмечалось, что для пропорционального перестрахования вопрос сводится к замене переменных, поэтому принципиальный интерес представляет эксцендентное перестрахование. По тем же соображениям и в этом разделе нас будет интересовать именно такой договор.
Сначала обсудим ограничения на уровень собственного удержания M. Совокупный страховой взнос, собранный страховщиком (до перестрахования) за единицу времени, составил (1+Θ) × λ. Взносы, собранные перестраховщиком за единицу времени (после перестрахования), равны:
с′ = (1 + Θ) × λ × M(Xi) - (1 + h) × λ × M(Z)
Для страховщика его нетто-взнос (собранные суммы без перестраховочных платежей) должен превышать ожидаемые страховые выплаты, то есть:
(1 + Θ) × M(Xi) - (1 + h) × M(Z) > M(Y)
Ранее показано: M(Y) + M(Z) = M(Y + Z) = M(X), поэтому: Θ × M(X) > h × M(Z)
254
Логично предположить, что Θ< h, иначе страховщик «уступает» весь риск перестраховщику, а прибыль оставляет себе.
Если Θ = h, то M(X) > M(Z), что справедливо при любом уровне удержания M. Стороны делят между собой риск.
Если Θ < h, то из условия M(X) > M(Z) возникает ограничение на M. Разница между h и Θ дает страховщику оценку того, какая часть риска может быть передана перестраховщику. Существует нижний предел M.
Пример 8. Выплаты страховщика распределены экспоненциально со средним 1. Надбавки безопасности страховщика - Θ и перестраховщика – h, (h > Θ); уровень удержания M. Проанализировать целесообразность перестрахования.
Решение. Математическое ожидание выплат перестраховщика:
M(Z) = ∞∫(x − M) exp(−x)dx = ∞∫y exp(−y − M)dy = exp(−M)
M |
0 |
так как Θ × M(X) > h × M(Z), то Θ > h × exp(-M), тогда M > ln(h/Θ).
Например, Θ = 0,15, h = 0,3. Тогда M > ln 2 = 0,693. То есть
минимальное значение M равно 0,693.
Итак, установлен предел, показывающий, насколько большой риск можно передать перестраховщику. Но это не означает, что определена оптимальная часть передаваемого риска. h > Θ, перестрахование уменьшает прибыль страховщика. Определяется компромисс между ожидаемыми прибылями и безопасностью. Перестрахование повышает безопасность, уменьшая вероятность разорения или увеличивая поправочный коэффициент.
В частности, для рассмотренного выше примера можно показать зависимость вероятности выживания от M (например, графически) и найти значение M*, при котором эта вероятность достигает максимума (на практике эта задача решается численно). (Рис. 13.6).
255
R
M* M
Рис. 13.6.
Если рассмотреть окрестность экстремума, то видно, что отклоняться от M* влево нецелесообразно. Передается слишком много риска по слишком высокой цене, что повышает вероятность разорения. При отклонении вправо несколько повышается вероятность разорения при повышении ожидаемой прибыли.
На практике часто решают аналогичную задачу: минимизируют вероятность разорения. Соответственно меняется график.
Таким образом, выбор стратегии при перестраховании зависит от
готовности руководства компании к риску ради возможной прибыли.
Следовательно, актуарий должен в общем случае подготовить несколько приемлемых вариантов и четко сформулировать их сравнительные достоинства и недостатки (и возможные последствия принятия различных решений).
256
14.Статистические модели в страховании
14.1.Модель оперативного управления запасами денежных средств страховщика
На практике страховая компания редко занимается только одним видом страхования. Обыкновенно в ее страховом портфеле находятся наборы договоров по различным видам страхования. Создаваемые резервы для каждой части портфеля при объединении рисков могут быть несколько уменьшены из-за распределения по времени пиков страховых выплат по различным видам страхования.
Таким образом, как правило, актуарная задача оценки резервов решается в определенном направлении. Сначала определяется резерв по каждому виду страхования (обеспечивающий заданную надежность), а затем риски объединяются, и оценивается возможность сокращения суммарного резерва (суммарный резерв не превосходит суммы резервов).
В данной работе предлагается оценить ситуацию с несколько иных позиций. Пусть страховщик имеет возможность создать суммарный резерв определенной величины (на все виды страхования, обслуживаемые данной компанией). Задача представляет особый интерес, если возможности страховщика несколько меньше его потребностей. Необходимо оценить, какая часть этого суммарного резерва должна быть выделена для каждого фрагмента страхового портфеля и какую надежность (вероятность неразорения) по этому виду страхования может обеспечить такой резерв.
Возникает задача распределения ресурсов между несколькими объектами. Известно, что выделение определенной величины ресурса на данный объект обеспечивает некоторый фиксированный уровень надежности (резерв заданной величины для определенной части портфеля обеспечивает конкретную вероятность неразорения).
Страховщик имеет определенную шкалу предпочтений (для различных видов страхования, которыми занимается его компания). На основании этой шкалы могут быть составлены весовые коэффициенты для каждого фрагмента страхового портфеля.
Это позволяет построить взвешенную целевую функцию.
Таким образом, возникла задача поиска условного экстремума с ограничением на сумму ресурсов, где взвешенная целевая функция учитывает не только эффективность вложения средств в каждый объект, но и важность объектов.
Особенностью данной задачи является ее нелинейность, как следствие нелинейной зависимости вероятности неразорения от величины вложенных средств. Поэтому решение этой экстремальной задачи должно опираться не на идеи линейного программирования, а
257
использовать более универсальный алгоритм. В качестве такового предлагается основанный на принципе оптимальности Р. Беллмана /13/ алгоритм динамического программирования.
В результате применения указанного метода для каждого фрагмента страхового портфеля будет указана соответствующая величина страхового резерва, выделяемая на данный фрагмент, и вероятность неразорения по этому фрагменту, обеспеченная за счет выделенного резерва.
Представляется, что в современных российских условиях , когда страховые компании еще не настолько сильны, чтобы создавать свои страховые резервы «по потребностям», данный подход, ориентированный на «возможности», должен представлять определенный интерес для страховых компаний. (Необходимо учесть, что страховая математика только формулирует задачу оптимизации, а решать ее приходится, как правило, численными методами. /13, 14/)
Имеется и второе применение данного алгоритма (совместно с традиционным подходом). После определения страхового резерва по каждому фрагменту и объединения рисков появляется возможность несколько снизить суммарный страховой резерв (он станет меньше суммы резервов по всем фрагментам). Тогда возникает задача поиска наиболее рационального использования сэкономленного (при объединении рисков) резерва. По мере укрупнения компании и повышения ее устойчивости (возможности приближаются к потребностям) интерес страховой компании именно ко второй стороне изложенной задачи будет повышаться. С этой задачей тесно связана и другая.
При планировании своей деятельности на страховом рынке каждый страховщик обязательно учитывает возможность инвестировать временно свободные средства. Это позволяет ему не только получить прибыль, но и снизить свои тарифы, повышая тем самым свою конкурентоспособность.
Но инвестированные средства становятся недоступными, что создает определенные проблемы при необходимости выполнения своих обязательств, особенно, в экстренной ситуации. Поэтому возникает задача определения оптимальной величины как средств, направляемых на инвестиции, так и средств, оставляемых в банке на счете страховщика, предназначенных для выплаты страховых возмещений.
Не инвестированные средства приносят меньшую прибыль, что удорожает страхование. Но при возникновении экстренной ситуации отсутствие собственных свободных средств также приносит убытки и отражается на репутации страховщика. Поиск разумного компромисса при формализации приводит к задаче стохастической динамической оптимизации, решаемой с помощью модели, разработанной автором. /13/.
258
С актуарных позиций наиболее совершенным является страхование жизни и пенсии. Построенные на основе таблицы (и кривой) смертности коммутационные функции позволяют сформулировать аналитическое решение для целого ряда актуарных задач, в том числе и определить величину страхового резерва.
Несколько сложнее обстоит дело в других видах страхования (например, имущественного или страхования ответственности), где аналитические результаты можно получить только для очень ограниченного круга задач, опирающихся на сравнительно простые распределения. (Аналогичные задачи возникают, например, в страховании от несчастных случаев и в медицинском страховании.)
В этой связи особую актуальность стали приобретать в последние годы численные методы решения актуарных задач. Разработка соответствующих методов, алгоритмов и программ занимает все большее место в актуарной литературе.
Предлагаемая методика базируется на предположении, что все поступления и выплаты осуществляются через банк, который использует свободные средства, находящиеся на счету страховой компании, для инвестиций в целях повышения не только доходов компании, но и надежности ее функционирования.
(Отметим, что в РФ инструкция Страхнадзора жестко регламентирует порядок размещения резервов страховщика. Но, например, в Германии, страховщик предпочитает заниматься своим прямым делом, а все его расчеты (с клиентами и партнерами) проходят через определенный банк. Там же накапливаются и временно свободные средства страховой компании. И т.к. банк обслуживает не только этого страховщика, но и другие фирмы, то он накапливает значительные суммы, и может их инвестировать более профессионально, чем его клиенты, причем за очень умеренные комиссионные. Возникает целесообразность такого сотрудничества.)
Предполагается, что весь резерв страховой компании условно делится на две части: оперативную и стратегическую. Первая используется для текущих выплат, вторая - для инвестиций. Возможно перераспределение средств между этими двумя составляющими.
Однако, для банка проведение подобных операций по перераспределению имеет некоторую цену. Поэтому для него есть различие между плановым распределением и экстренным, которое, естественно, стоит дороже.
Из-за этого и страховая компания заинтересована в том, чтобы ее оперативная составляющая не приближалась к нулевой отметке, а своевременно пополнялась, причем не только за счет поступлений взносов, но и (при необходимости) за счет стратегической составляющей. С другой стороны, нецелесообразно и чрезмерное увеличение первой составляющей, поскольку вторая «работает» более
259
эффективно и приносит банку, а следовательно, и страховщику, больший доход.
Возникает задача оперативного регулирования величины той части резерва, которая непосредственно используется для текущих выплат. В принципе, это может быть достигнуто за счет поддержания величины этого резерва в определенном, наиболее рациональном диапазоне. Процесс исследуется с помощью так называемой модели резервуара с пополнением и расходованием запаса некоторого ресурса. /5, 32, 13, 14/.
Предлагаемый аппарат решения этой задачи динамической стохастической оптимизации опирается на понятия: состояния
(величины резерва) и стратегии (величины привлекаемых или высвобождаемых средств), а также на вероятность перехода из состояния в состояние под действием выбранной стратегии.
Очевидно, эти вероятности, зависящие от интенсивности поступления страховых премий и интенсивности выплат страховых возмещений, могут быть определены численно.
Пребыванию в каждом состоянии соответствует определенная плата (недополучение прибыли от инвестирования). А возникновение потребности в экстренном привлечении средств означает обращение к банку за кредитом, что стоит еще дороже. Наконец, каждая операция по переводу средств из одной составляющей в другую также имеет некоторую цену, не зависящую от размера перевода. Это позволяет построить взвешенную функцию потерь (затрат), среднюю величину которой на определенном временном интервале необходимо минимизировать. Поскольку предполагается, что система может функционировать неопределенно долго, следует минимизировать не суммарные, а средние за этап издержки.
То есть необходимо указать наиболее рациональное поведение (оптимальную стратегию) в каждом состоянии. Сформулированная задача динамической стохастической оптимизации может быть решена с помощью разработанной автором модификации метода Р.Ховарда /13/. Рекомендации, полученные при решении задачи, справедливы до момента изменения характера случайных процессов (законов распределения или величин параметров).
Для повышения эффективности модели автор внес в алгоритм некоторые модификации. Используется неравномерная сетка для определения границ интервалов, задающих множество состояний системы и множества стратегий, применяемых в каждом состоянии. Это позволило работать с практически любым диапазоном величины резерва без существенного увеличения размерности задачи. /13/
Учитывая близость матрицы вероятностей (перехода из состояния в состояние под действием выбранной стратегии) к диагональной, упрощена процедура перебора возможных вариантов. Игнорирование ситуаций (переход из состояния в состояние под действием выбранной стратегии) с пренебрежимо малыми вероятностями позволил
260