Практика 2015 / Методические указания к практике / Работа 3.5

Задание 3.5

Решить задачу линейного программирования.

Оптимизация методом поиска решения

Для производства двух видов продукции А и В можно использовать сырье трех видов. При этом на изготовление единицы продукции вида А расходуется а₁ кг сырья первого вида, а₂ кг сырья второго вида и а₃ кг сырья третьего вида. На изготовление единицы продукции вида В расходуется b₁ кг сырья первого вида, b₂ кг сырья второго вида и b₃ кг сырья третьего вида.

На складе имеется всего сырья первого вида с₁ кг, сырья второго вида с₂ кг и третьего вида с₃ кг. От реализации единицы готовой продукции вида А предприятие имеет прибыль x тыс. руб., от реализации единицы готовой продукции вида В прибыль составляет j тыс. руб. Определить максимальную прибыль от реализации всей продукции видов А и В.

1) Составить математическую модель задачи линейного программирования.

2) Рассчитать максимальную прибыль и оптимальный план выпуска товаров для её достижения. Определить минимально необходимое количество ресурсов.

3) Выполнить то же, увеличив все ресурсы в 2 раза, сравнить результаты пунктов 2 и 3.

Пример выполнения задания 2

МП выпускает товары Х₁, Х₂, Х₃, Х₄, получая от реализации каждого прибыль в 60, 70, 120, 130 руб. соответственно. Затраты на производство приведены в таблице:

Затраты	Х1	Х2	Х3	Х4	Всего
Трудовые	1	1	1	1	16
Сырьевые	6	5	4	1	110
Финансовые	4	6	10	13	100

Определить:

1) Максимум прибыли в зависимости от оптимального распределения затрат.

2) Минимум ресурсов, необходимых для получения максимальной прибыли.

Решение

Задача линейного программирования в общем случае формулируется следующим образом: определить максимум (минимум) целевой функции F max (min) при заданной системе ограничений (2) и граничных условий (3):

F_max(min) =A₁*X₁+ A₂*X₂+...+A_n*X_n (1)

{B₁₁*X₁+B₁₂*X₂+...+B_1n*X_n≤C₁

{B₂₁*X₁+B₂₂*X₂+...+B_2n*X_n≤C₂

.............................................................. (2)

{B_n1*X₁+B_n2*X₂+...+B_nn*X_n≤C_n

X_i≥0, i=1...n (3)

Составим математическую модель процесса по описанию задачи:

60Х₁+70Х₂+120Х₃+130Х₄ = F_max – целевая функция прибыли

{Х₁+Х₂+Х₃+Х₄ ≤16

{6Х₁+5Х₂+4Х₃+Х₄ ≤ 110 – ограничения модели

{4Х₁+6Х₂+10Х₃+13Х₄ ≤ 100

Х_j ≥0 – граничные условия модели

Решение задачи средствами Excel состоит из 3 этапов:

1 этап. Создание формы.

а) Составление формы в виде:

	А	B	C	D	E	F	G	H
1	Переменная	X1	X2	X3	X4	формула	знак	св. член
2	Значение
3	Нули
4	Коэф. ЦФ	60	70	120	130		max
5	Трудовые	1	1	1	1			16
6	Сырьевые	6	5	4	1			110
7	Финансы	4	6	10	13			100

б) Запись в ячейки В4:Е4 коэффициентов целевой функции F (1), в В5:Е7 коэффициентов из системы ограничений (2) и в ячейки Н5:Н7 - свободных членов из системы (2).

в) Ввод формул с помощью процедуры |f| - Мастер функций.

Для целевой функции: щелкнуть левой клавишей мыши по ячейке F4, затем по значку Мастера функций |f| на панели инструментов, в появившемся окне "Мастер функций, Шаг 1" в левой части выбрать категорию "Математические", в правой части – функцию СУММПРОИЗВ, нажать клавишу Далее, в окне "Мастер функций, Шаг 2" в поле Массив 1 ввести с клавиатуры В2:Е2 (ячейки, в которых будут варьироваться Х₁...Х₄), в поле Массив 2 ввести В4:Е4 (коэффициенты целевой функции ЦФ).

Примечание. Можно вводить В2:Е2 не с клавиатуры, а поставить курсор в окно Массив 1, а затем протащить курсор при нажатой левой клавише мыши по ячейкам В2:Е2, имена ячеек сами запишутся в окно. Аналогично поступить с полем Массив 2.

Нажать клавишу Готово, в ячейку F4 запишется формула 60*Х₁+70*Х₂+120*Х₃+ 130*Х₄ в виде СУММПРОИЗВ(В2:Е2)(В4:Е4).

Для левых частей ограничений аналогично:

- в ячейку F5 вносим СУММПРОИЗВ(В2:Е2)(В5:Е5),

- в ячейку F6 вносим СУММПРОИЗВ(В2:Е2)(В6:Е6),

- в ячейку F7 вносим СУММПРОИЗВ(В2:Е2)(В7:Е7).

Примечание. Чтобы каждый раз для новой ячейки F5...F7 не вызывать Мастер функций |f|, можно скопировать в буфер команду из F4 СУММПРОИЗВ(B$2:E$2)(B4:E4) кнопкой на панели инструментов Копировать в буфер или командой из пункта меню Правка, затем вставить в выделенную ячейку F5..F7 эту команду с помощью кнопки Вставить из буфера или соответствующей команды из пункта меню Правка, при этом ячейки B$2:E$2 не изменятся, а В4:Е4 поменяются на В5:Е5, В6:Е6 и В7:Е7, т.к. символ абсолютной адресации строк $ в них не введён.

2 этап. Заполнение окна Поиск решения.

Выбрать в пункте меню Сервис команду Поиск решения, поставить курсор в поле целевой функции, выделить ячейку F4 в форме (или ввести F4 с клавиатуры), поставить точку в кружок строки "Максимальному значению".

В поле "Изменяя ячейки" ввести В2:Е2 (с клавиатуры или протащив мышью).

Нажать клавишу "Добавить", в окне "добавление ограничения в поле "Ссылка на ячейку" ввести F5, выбрать через "стрелка вниз" знак "<=", в поле справа ввести Н5.

Аналогично через "Добавить" ввести F6<=H6, F7<=H7 для системы ограничений B2>=B3,C2>=C3,D2>=D3 и Е2>=E3 для граничных условий Х_i>=0.

После ввода последнего граничного условия вместо "Добавить" нажать клавишу ОК, появится окно "Поиск решения".

Для изменения или удаления ограничений и граничных условий используются клавиши Изменить..., Удалить.

3 этап. Параметры поиска.

В окне "Поиск решения" нажать клавишу "Параметры", выбрать по умолчанию Максимальное время - 100 с.(может быть до 2^15=32767 c.> 4 час.), число итераций- 100(для большинства задач это количество просчётов подходит с большим запасом), установить флажок "птичка" в строке "Линейная модель", нажать ОК, в появившемся окне Поиск Решения нажать Выполнить, появится окно (результаты поиска решения с таблицей результатов):

	А	B	C	D	E	F	G	H
1	Переменная	X1	X2	X3	X4	формула	знак	св. член
2	Значение	10	0	6	0
3	Нули
4	Коэф. ЦФ	60	70	120	130	1320	max
5	Трудовые	1	1	1	1	16	<=	16
6	Сырьевые	6	5	4	1	84	<=	110
7	Финансы	4	6	10	13	100	<=	100

т.е. оптимальный план Х(Х₁,Х₂,Х₃,Х₄)=(10,0,6,0) при минимальном использовании ресурсов в объеме:

-Трудовые - 16 (У₁)

-Сырьевые - 84 (У₂)

-Финансы - 100 (У₃)

даёт максимум прибыли F в 1320 руб.

Вывод: Максимальная прибыль F в 1320 руб. получается при выпуске

только товаров Х₁ и Х₃ в количестве 10 и 6 штук соответственно, товары Х₂ и Х₄ выпускать не нужно (это приведёт к снижению прибыли). Трудовые (У₁) и финансовые (У₃) ресурсы используются полностью, по сырьевым ресурсам (У₂) есть запас в 110-84=26 ед. Кроме того, это означает, что изменение трудовых (У₁) и финансовых (У₃) ресурсов приведёт к изменению прибыли F, а изменение сырьевых ресурсов (У₂) - нет.

Разности между плановыми ресурсами и использованными являются двойственными переменными У₁,У₂ и У₃ сопряжённой задачи линейного программирования. В данном случае У₁=У₃=0, а У₂=26 ед. Таким образом, ресурс У₂ можно уменьшить на 26 ед., тогда план по сырью тоже будет оптимальным.