Изучение статистических методов обработки опытных данных

Приборы и принадлежности: мост постоянного тока, набор резисторов одного номинала

Цель работы: изучение статистических методов обработки опытных данных, подчиняющихся нормальному канону распределения случайных величин

Результат измерения физической величины зависит от многих факторов, влияние которых заранее учесть невозможно. Значения, полученные в результате прямых измерений какого либо параметра, являются случайными. Если число измерений одного и того же параметра велико, то в значениях, принимаемых случайной величиной, обнаруживаются некоторые закономерности.

Пусть в п опытах измеряемая величина приняла от раз некоторое значение х, тогда для этого значения отношение

т/n=Р* (1.1)

будет частотой события.

Сумма произведений всех значений случайной величины на их частоту называется средним арифметическим значением случайной величины:

(1.2)

или

При небольшом числе опытов частота событий в значительной мере имеет случайный характер и может заметно изменяться от одной группы опытов к другой. Однако при увеличении числа опытов частота событий все более теряет свой случайный характер и приближается к некоторой постоянной величине Р - статистической вероятности события:

(1.3)

Например, при многократном бросании монеты частота выпадения герба будет лишь незначительно отличаться от ½.

Отклонение случайной величины от ее среднего значения характеризуется дисперсией, которая дли опытных данных определяется формулой

(1.4)

Для того чтобы оценивать рассеяние случайной величины в единицах той же размерности, вводят понятие среднего квадратичного отклонения:

(1-5)

Всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями, есть закон распределения случайной величины. Про случайную величину и этом случае говорят, что она подчиняется данному закону распределения. Закон распределения случайной величины может быть задан в разных формах:

1. ряд распределения (для дискретных величин);

2. функция распределения;

3. кривая распределения (для непрерывных величин) .

Простейшей формой является ряд распределения, который представляет собой таблицу значений случайных величин и соответствующих им частот.

Существует множество законов распределения случайных величин. Одним из наиболее распространенных и общих является нормальный закон распределения, характеризующийся тем, что для него среднее арифметическое значение случайной величины является также и наиболее вероятным.

График нормального закона распределения -изображен на рис. 1.1- Кривая симметрична относительно прямой , так как отклонения случайной величины вправо и влево от равновероятны. При кривая асимптотически приближается к оси абсцисс. Форма кривой распределения зависит от величины среднего квадратичного отклонения (рис. 1.2). Максимальное значение функция распределения вероятности принимает при вид (1.6)

Совокупность всех значений случайной величины называется простым статистическим рядом. Так как простой статистический ряд оказывается большим, его преобразуют в статистический ряд. Дли этого весь диапазон изменении случайной величины делят на несколько равных интервалов и для каждого подсчитывают число ; значений случайной величины, попавших в этот интервал. После этого вычисляют частоту случайной величины для каждого интервала , и среднее значение случайной величины в каждом интервале .

По статистическому ряду строится гистограмма, для чего по оси абсцисс откладывают интервалы, являющиеся основаниями прямоугольников, высота которых равна (рис. 1.3). В том случае, если случайная величина распределена по нормальному закону, для построения кривой распределения находят значения функции распределения вероятностей при

(1.7)

Эту функцию можно представить в виде

(1.8)

где

Описание установки

Экспериментальная установка состоит из моста постоянного тока, предназначенного для измерения сопротивлений, и набора резисторов. В данной работе случайной величиной является активное сопротивление резисторов. Технология изготовления этих резисторов такова, что отклонения их сопротивлений в большую или меньшую сторону от среднего значения равновероятны. Можно предположить, что сопротивления резисторов, взятых из одной партии, распределены по нормальному закону.

Для удобства измерения резисторы смонтированы на специальной панели. Одни концы их соединены общим проводом и подключены к измерительному мосту (ИМ) (рис. 1.4). При измерении переключается только один провод» что упрощает работу.

Рис. 1.4

Порядок выполнения работы

1. Намерьте с помощью моста постоянного тока сопротивления 100 резисторов.

2. Результаты измерений запишите в табл. 1.1 (простой статистический ряд).

3. Составьте статистический ряд:

   1. разбейте диапазон значений на 7—9 равных интервалов с границами и

   2. рассчитайте для каждого интервала;

   3. подсчитайте число , значений сопротивлений, попавших в каждый интервал;

   4. по формуле определите частоты, соответствующие каждому интервалу;

4. Найдите значения для каждого интервала и постройте гистограмму.

5. Определите среднее арифметическое значение, дисперсию и среднее квадратичное отклонение [см. (1,2), (1.4), (1.5)].

6. Вычислите функцию распределения вероятностей [см. (1.7), (1.8)].

7. Постройте график функции в одной системе координат с гистограммой. Максимум кривой соответствует . Для нахождения ординаты этой точки следует определить при , т. е. , и вычислить .

8. Результаты измерений и вычислений занесите в табл. 1.2.

9. Результат измерений запишите в виде . Интервал ; укажите с доверительной вероятностью , и

Таблица 1.1

i	1	2	3	…	100
Xi, Ом

Таблица 1.2

, Ом, , Ом	, Ом			, Ом-1	, Ом	, Ом		, Ом-1

Вопросы и упражнения

1. Что называется статистической вероятностью события?

2. Запишите формулы для определения математического ожидания и дисперсии случайной величины,

3. Перечислите способы задания закона распределения случайной величины.

4- Запишите функцию, соответствующую нормальному закону распределения случайной величины.

5. Укажите основные особенности нормального закона распределения случайной величины.

6. Укажите основные этапы построения гистограммы.

7. Как зависит форма кривой распределения от дисперсии случайной величины?