типовые расчеты
.pdf7. (
!, ! !$ ! : |
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. |
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||||||
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8. . !$
! ,
! (1, -1, 1). ( # ! + .
9. ( # ! , !
$ , '
Oxz.
10. ( # ! , (1, 0, 1)
(0, -1, 1) -(5, 0, -3) 4.
11. ( ,
# .
12. ( ! ! $
.
13. ( ! ! !
23
! ' ! .
14.(
!, ! !$ ! (1, 0, -1)
(-1, 2, 1).
15.( /(1, 2, -2) ,
: .
16.-# ! , !$
$ ! * V=6.
17.' :
? 1 " ", # ! + .
18. 2 #, # #
, (5, 4, 3), (1, 2, 1), -(3, 6, 3),
' ! .
24
19. -# !
# .
20. -# ! , !$
! |
. |
21.( $ /(-2, 1, 0) #, !$
: .
22.) ! # ( !
, . ( # ! ,
! ! # - '
! !$ !.
23. ) # ! # :
( # ! , ' !$ !$
! !$ .
25
24. -# ! |
, |
! |
||
|
|
$ |
. |
|
|
|
|||
|
|
|||
( # ! !, |
! |
|||
+ . |
|
25. -# ! , !$
!
26. ( # ! !, ! !
$ :
27. #, $ $ ; " ",
# ! ! # ,
! :
,
.
28. ( ! , ' # :
,
26
.
29.( /(-3, 4, -5) , '
!$ ! (1, 2, 0).
30.) ! # (1, -1, 2), (2, 1, 1), -(3, -2, 3). ( ! , ! . ( # ! , ! ! #
- ' ! !$ !.
27
Задание 5. Решение систем линейных уравнений
Пример выполнения задания 5
) # ! &:
x + 2 y + z = 4
3x − 5 y + 3z = 1
2x + 7 y − z = 8.
( !$ :
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1 |
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2 |
1 |
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−5 3 |
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3 3 |
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3 −5 |
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= |
3 −5 3 |
= |
− 2 |
|
|
+ |
|
|
= |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
7 |
−1 |
|
|
|
7 |
−1 |
|
|
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|
|
2 |
−1 |
|
|
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|
|
2 |
7 |
|
|
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||||||||||||
|
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|
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|
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|
||||
= 5 − 21 − 2(−3 − 6) + 21 + 10 = 33 |
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
1 |
|
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|
|
|
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|
−5 3 |
|
|
|
|
|
1 3 |
|
|
|
|
|
1 −5 |
|
||||||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
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|
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|
|||||||||||||||||||||
1 = |
1 −5 3 |
= 4 |
|
− 2 |
+ |
= |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
8 |
|
|
7 |
−1 |
|
|
|
|
7 |
−1 |
|
|
|
|
8 |
|
−1 |
|
|
|
|
8 |
7 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|||
= 4(5 − 21) − 2(−1 − 24) + 7 + 40 = 33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
4 |
1 |
|
|
|
|
|
1 3 |
|
|
|
|
|
|
3 3 |
|
|
|
|
|
3 1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
2 = |
1 |
|
= |
|
|
− 4 |
|
|
+ |
|
|
= |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 1 3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
8 |
−1 |
|
|
|
8 |
−1 |
|
|
|
|
2 |
−1 |
|
|
|
|
|
2 |
8 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
= −1 − 24 − 4(−3 − 6) + 24 − 2 = 33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
4 |
|
|
|
−5 |
1 |
|
|
|
|
3 1 |
|
|
|
|
3 −5 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
3 = |
3 −5 1 |
= |
− 2 |
+ 4 |
= |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
7 |
8 |
|
7 |
8 |
|
|
|
|
2 |
|
8 |
|
|
|
|
2 |
|
7 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
||||||
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=−40 − 7 − 2(24 − 2) + 4(21 + 10) = 33.
! & :
28
x =
y =
z =
1
2
3
=1
=1
=1.
!:
1 + 2 1 + 1 = 4
3 1 − 5 1 + 3 1 = 1
2 1 + 7 1 − 1 = 8.
" , .
3) # ! #. !,
, # .
|
|
x1 − 2x 2 + x 3 − 3x 4 = 0 |
|
|
||||
|
|
|
+ x 2 − 2x 3 + x 4 = 2 |
|
|
|||
|
|
2x1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 − x 2 + x 3 − x 4 = 14 |
|
|
||||
|
|
|
− 3x 2 + 2x 3 − 4x 4 = 14. |
|
|
|||
|
|
2x1 |
|
|
||||
A A r |
!$ !$ - |
|||||||
: |
|
|
|
|
|
|
||
1 |
−2 1 −3 |
|
1 |
−2 1 −3 |
| 0 |
|||
|
2 |
1 −2 1 |
|
|
2 |
1 −2 1 |
| 2 |
|
A = |
, |
A r = |
. |
|||||
|
1 |
−1 1 −1 |
|
|
1 |
−1 1 −1 |
| 14 |
|
|
|
−3 2 −4 |
|
|
|
−3 2 −4 |
|
|
2 |
|
2 |
| 14 |
- #, + #.
) + # !$ ! A r +
(#!) .
29
2 ' !$ ! (-2)
, ! ' (-1) #. !:
1 |
−2 |
1 |
−3 |
| 0 |
|
|
|
0 5 |
−4 7 |
| 2 |
|
||
A r = |
. |
|||||
|
0 |
1 |
0 |
2 |
| 14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
0 |
2 |
| 14 |
|
2 ' #$ ! (-1) , |
||||||
, ! ! !$ !: |
|
|
|
|
||
1 |
−2 |
1 |
−3 |
| 0 |
|
|
|
0 5 |
−4 7 |
| 2 |
|
||
A r = |
. |
|||||
|
0 |
1 |
0 |
2 |
| 14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
| 0 |
|
#$ !, ! ' 2 ,
! ' (-5) :
1 |
0 |
1 |
1 |
| |
28 |
|
|
|
0 0 |
−4 |
−3 |
| −68 |
|
||
A r = |
. |
||||||
|
0 |
1 |
0 |
2 |
| |
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
| |
0 |
|
2 ' !$ ! (-1/4).
1 |
0 |
1 |
|
1 |
| 28 |
|
|
|
0 0 |
1 |
3 |
/ 4 |
| 17 |
|
|
A r = |
. |
||||||
|
0 |
1 |
0 |
|
2 |
| 14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
| 0 |
|
2 ' !$ ! (-1) :
1 |
0 |
0 |
1/ 4 |
| 11 |
|
|
|
0 0 1 3 / 4 |
| 17 |
|
|||
A r = |
. |
|||||
|
0 |
1 |
0 |
2 |
| 14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
| 0 |
|
2 3. !:
30
|
|
|
1 |
|
0 |
0 |
1/ 4 |
| 11 |
|
|
|
|
r |
|
0 |
|
1 |
0 |
2 |
| 14 |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
% |
|
A |
|
|
0 |
0 |
1 |
3 / 4 |
| 17 |
= A . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
0 |
0 |
| 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
% |
|
|
+ A A . |
|
|
||||||||
$ |
r a n gA = r a n gA r |
= 3 . r a n gA r ." |
||||||||
A A r |
$ , , # |
, ' .
+ ! ' # !
! !$ -
.
!$ $ ! #
, m − r |
, |
|||
!. |
|
|
|
|
. , ! !$ !: |
||||
|
|
x1 + 1/ 4x 4 = 11 |
||
|
|
|
|
2 + 2x 4 = 14 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
+ 3 / 4x 4 = 17. |
|
|
x 3 |
||
# , ! ! |
||||
|
% |
, # , |
+ |
|
A |
||||
|
x1,x 2 ,x 3 .", x 4 $ |
, x1,x 2 ,x 3 ' ! # .
x 4 .
|
= 11 − |
1 |
|
|
||
x1 |
|
|
x 4 |
|||
4 |
|
|||||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||
x 2 |
= 14 − 2x 4 |
|||||
|
|
3 |
|
|
||
x 3 |
= 17 − |
x 4 . |
||||
|
||||||
|
|
|
4 |
|
|
" , ! # :
31
|
− |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
||
4 |
|
||||||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||
|
−2 |
|
|
|
14 |
|
|
X = c1 |
|
3 |
|
+ |
|
17 |
. |
|
− |
|
|
|
|
||
4 |
|
|
|||||
|
|
|
|
0 |
|
||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Варианты задания 5
) # ! ! &:
|
3x − 2 y − 3z = 0 |
|
2x + 2 y − 3z = 1 |
|
||||
1. |
|
|
= 1 |
2. |
|
+ 2z |
= −15 |
|
x + 5 y + 3z |
x − 5 y |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
= −1 |
|
|
2x − 3y − 4z = 3 |
|
2x − y − 7 z |
|
||||
|
2x + y + 4z = −5 |
|
x − 2 y + 3z = 6 |
|
||||
3. |
|
+ 3 y − 6z |
= 2 |
4. |
|
|
= 3 |
|
x |
2x − y − z |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x − 2 y + 2z = 9 |
|
3x − 4 y + z = 2 |
|
||||
|
3x + 2 y − z = 1 |
|
3x + 3 y − 2z = −3 |
|
||||
5. |
|
|
|
6. |
|
+ 2z |
= 2 ; |
|
x − 3y − 2z = 0 ; |
x + 3y |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
= −1 |
|
|
2x + y + 3z = 0 |
|
2x + 2 y + z |
|
||||
|
2x − y − z = 4 |
|
5x + 2 y − 2z = −3 |
|
||||
7. |
|
|
|
8. |
|
+ 4z |
= 13 ; |
|
3x + 4 y − 2z = 11 ; |
3x − y |
|||||||
|
|
|
|
|
|
+ 5z = 5 |
|
|
|
3x − 2 y + 4z = 11 |
|
x + 3 y |
|
||||
|
x − 2 y − 3z = −1 |
|
x − 2 y − 3z = −1 |
|
||||
9. |
|
|
|
10. |
|
|
|
|
2x − 5 y − 4z = 1 ; |
2x − 5 y − 4z = 1 ; |
|
||||||
|
|
+ 3y − 4z |
= 2 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
x + 3y − 4z = 2 |
|
||||
|
3x + 2 y − z = 7 |
|
4x + 2 y + z = 1 |
|
||||
11. |
|
− 3y + 2z |
= −2 ; |
12. |
|
+ z = −2 ; |
|
|
x |
x + y |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x + y − z = 1 |
|
2x + y + 3z = 3 |
|
||||
|
2x + y + 3z = 2 |
|
7x + 2 y + 3z = 15 |
|
||||
13. |
|
+ 3y + 4z |
= 2 ; |
14. |
|
+ 2z |
= 15 |
; |
x |
5x − 3 y |
|||||||
|
|
|
= −1 |
|
|
|
|
|
|
2x + 3y + z |
|
10x −11y + 5z = 36 |
|||||
|
4x + y + 2z = −9 |
|
− x + 2 y + 4z = 29 |
|
||||
15. |
|
+ 3y + 5z |
= −12 ; |
16. |
|
|
|
; |
5x |
5x + 1y − z = 21 |
|||||||
|
|
+ 3y + 7z |
= −20 |
|
|
+ 9z = 76 |
|
|
|
8x |
|
2x + y |
|
32