Кочубей СПЕКТРОСКОПИЯ РАССЕИВАЮЩИХ СРЕД

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Id r,s z s d

.pdf

Скачиваний:

126

Добавлен:

21.03.2016

Размер:

2.19 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 106 7 8 9 10 > Следующая >>>

интегральной интенсивности излучения внутри среды Id(r) и светового потока диффузионного излучения Fd(r).

Диффузная интенсивность может быть записана следующим образом:

( , ) =		( )+		( ) .	(77)

Уравнение (77) представляет собой первые два члена разложения в ряд Тейлора диффузной интенсивности излучения Id(r,s), где ϕd(r) изотропная, а Fd(r) анизотропная компоненты диффузной интенсивности излучения внутри рассеивающей среды.

Подставим (77) в (76) и, используя хорошо известные из математики соотношения (78)

получим∫

= 0

∫ (

)(

)

(

)

(78)

уравнение для диффузной интенсивности:

)(

( ) )+

( )

( )+3( )(

( ) ) = −

( )−3(

−

(79)

Интегрируя+ (1−

)

( )exp(−

)[1+3

]

использованием

(79) по

всем направлениям и

упрощая

соотношения (78), получим следующее выражение для диффузного потока

излучения:	( )+	(1− ) ( )exp(−	)
Левая ( ) = −				(80)
			.
часть уравнения (80)		представляет собой изменение диффузного

потока излучения. Умножая (79) на s и интегрируя по всем углам, получим

изменение плотности потока энергии для диффузной интенсивности излучения

где

( ) = −3

( )+3

(1− )

( )exp(− )

, (81)

(1− )

так

называемый

транспортный

коэффициент

ослабления,

единичный

вектор,

определяющий

направление

оси .

Применим операцию дивергенции к уравнению (81) и решим его

относительно

Fd(r).

Сравнивая

( ) = −

( )−

(1−

)

( )exp(−

)

которое и

, (82)

уравнения (80) и (82), получим уравнение Гельмгольца:

( )−

( ) = −3

(

)91− )

( )exp(−

)

(83)

является хорошо известным диффузионным уравнением (записанным для коллимированного пучка света, падающего по нормали к поверхности среды). Здесь = 3 .

Граничные условия

Для решения диффузионного уравнения (83), т.е. для нахождения вида функции ( ), необходимо ввести граничные условия на границе воздух-среда или среда-стекло. Рассмотрим следующие случаи:

Показатели преломления на границе раздела (воздух-среда) согласованны, поверхность образца освещается коллимированным источником света.

Потребуем, чтобы диффузионный поток света идущего от границы раздела

внутрь среды на поверхности равнялся нулю.					= 0 .
∫	,			= 0 ,	= 0 .		(84)
					2	≥ 0	" показывает,
Стоящий под	интегралом предел интегрирования "						" показывает,
Стоящий под	(	)(	)

что интегрирование выполняется по полусфере, в которой положительно.

Напомним,		что						- проекция								единичного												вектора, определяющего
направление		рассеянного (отраженного) фотона на ось																											Z	,		в цилиндрической
направление			=																										Z
системе координат. Дополнительный член																												обеспечивает										проекцию
вектора интенсивности излучения на ось Z.( Уравнение)																																	(84) может быть
переписано с учетом разложения (78)																				)				+		∫		(			( )						)(		)
∫	Это ( ,	)(	)	=				∫			( )(									)				+		∫		(			( )						)(		)	(85)
																																								(85)
	выражение может быть упрощено, если выполнить интегрирование по
полусфере 2		≥ 0. Так как (								) =						, то																						,
		∫					= 2 ∫					∫		( )										= 2		= 2 ∫											=		(− )
		= 2(− )						(−(			))													= 2			(− )			(− )							=		(− )
	Из этих уравнений непосредственно/															следует, что
				1							1									1													1
							s z d																	z s d
					4		s z d								4	и			4					z s d									4		.
						2 0										и							2 0												.
	Аналогично получаем, что
												2								2								1									2
			z s sd 2 z d s z																	2	sin d 2 z										2	d					2	z
			z s sd 2 z d s z																		sin d 2 z											d					3	z
		2 0								0	0																	0										,
																														0								,
																	2													0				2				2
		z s sd 2 z d									s z						2			sin d 2 z														2		d		2	z
		z s sd 2 z d									s z									sin d 2 z																d		3	z	.
	2 0					0				2																				1										.
	После выполнения интегрирования уравнение (85) принимает вид:
							Id r,s s z d												1		d r					1	Fd r z 0
							Id r,s s z d														d r						Fd r z 0									.				(86)
					2 0													4								2										.				(86)
					2 0													4								2
	Найдем из уравнения (81) проекцию потока Fd r на ось Z.
				Fd r z						1		d r										g		s	1 rs F0 r e										t	z
				Fd r z					3 tr				z									tr			1 rs F0 r e										t	.				(87)
									3 tr				z									tr														.				(87)

Подставляя уравнение (87) в (86) и упрощая, получаем граничные условия для диффузной компоненты на верхней границе среды.

2 0

d r h		d	r	Q r ,	z 0	(88)
	z
					,

где (rs 0 при согласовании показателей преломления на границе раздела двух

сред) h	2	и Q r 3hg F		r e tz .	(89)

		s	0
	3 tr
Анизотропия поверхностного источника Q r					есть результат различия в

рассеянии в переднюю и заднюю полусферы на границе раздела сред при анизотропном рассеянии. Этот источник обращается в нуль в том случае, когда рассеяние изотропно.

Граничные условия для света на нижней границе среды (т.е. при z d ):

Id r,s z s d 0,

z d

Внутренняя нормаль, для слоя, на нижней границе равна -z, поэтому:

и граничные условия на нижней границе принимают форму:

(90)

(91)

d r h		d	r	Q r ,	z d	(92)
	z
						.

где h и Q r определяются формулами (89).

Показатели преломления на границе раздела (воздух-среда) согласованны, поверхность образца освещается диффузным источником света.

Когда образец освещается диффузным источником света (либо вместе с коллимированным источником, либо как отдельный источник), то этот источник включается в граничные условия. Поскольку поток излучения идущего от границы раздела вглубь среды равен потоку падающего на среду диффузного света, то

Id r,s s z d Idi r,s s z d ,							z 0	(93)
2 0				2 0				.

Уравнение (93) может быть упрощено при использовании уравнения (86) и
условия изотропности падающего диффузного излучения Idi r,s
		1	d	r	1	Fd r z Idi r,s		(94)
4							.
				2
Подставляя выражение для Fd r z из уравнения (87) и упрощая, получим
d r h	d r			Q r 4 Idi r,s ,			z 0	(95)
	z
							,

где h и Q r определяются формулами (89).

Когда диффузный свет падает на нижнюю поверхность среды, то граничные условия будут определяться выражением

	d r
d r h		Q r 4 Idi r,s ,	z d	(96)

	z			,

Q r

где h и определяются формулами (89).

Показатели преломления на границе раздела (воздух-среда) не согласованны (различны), поверхность образца освещается коллимированным источником света.

Если показатели преломления на границе среда-воздух не согласованны и поверхность среды освещается коллимированным источником света, то граничные условия на верхней (освещаемой) поверхности среды имеют вид:

	Id r,s s z d		r z s Id r,s z s d ,	z 0	(97)
2 0		2 0			.
					.

Здесь s z - проекция единичного вектора, определяющего направление движения рассеянного фотона на ось Z, в цилиндрической системе координат, r( z s) - коэффициент отражения, определяемый с помощью формул Френеля.

Уравнение (97) показывает, что излучение, идущее от верхней границы в среду, равно излучению, падающему из среды на границу и умноженному на френелевский коэффициент отражения. Коэффициент френелевского отражения

можно записать как					функцию от					, и	из		вида этой функции					следует, что
r r . Перепишем							правую			часть		уравнения				(97) с использованием
соотношения Id r,s					1	d r		3	Fd r s.
соотношения Id r,s						d r			Fd r s.
				4				4
		Id r,s z s r s z d
2 0
	1				d r z s r s z d							3	Fd r s z s r s z d
	4				d r z s r s z d							4	Fd r s z s r s z d
	4	2 0										4	2 0					(98)
		2 0											2 0					(98)
Поскольку первый член правой части уравнения (98) не зависит от
азимутального угла
		1												1		0
		1					r s z d r z s d							1	d r r d
							r s z d r z s d								d r r d		,	(99)
			4		2 0								2			1	,	(99)
			4		2 0								2			1
то разложение потока на тангенциальную и нормальную составляющие
								Fd r Ft r t Fn r z								,		(100)
																,		(100)

позволяет упростить второй член в правой части уравнения (98). Интеграл от тангенциальной составляющей равен нулю, поскольку он азимутально независим

			2	0
	Fdt t s z s r s z d cos d r							1 2 d 0	(101)
2 0			0	1					.
2 0			0	1
Интеграл от нормальной составляющей диффузного потока излучения
равен:
		3	Fdn z s z s r s z d	3	Fdn	0	r 2d		(102)
		4 2 0	Fdn z s z s r s z d	2	Fdn	1	r 2d		(102)
		4 2 0		2		1		.
								.

Для использования френелевского коэффициента отражения на границе раздела двух сред в диффузионном приближении требуется несколько членов

разложения френелевского коэффициента отражения в ряд по сферическим гармоникам. Все они нормированы на единицу.

				R d			2
		R0		2			R sin d
		R0			d		R sin d
					d		0
					2
		R cos d					2
R1		2				2 R cos sin d
R1		cos d				2 R cos sin d
		cos d					0
		2
	R cos2 d						2
R2	2					3 R cos2 sin d
R2			2		d	3 R cos2 sin d
		cos			d		0
		2

Когда свет проходит в среду с большим показателем преломления, вышеприведенные интегралы интегрируются с помощью формулы Френеля, где0 - угол падения.

Когда свет проходит из оптически более плотной в оптически менее плотную среду, то возникает явление полного внутреннего отражения, и

существует критический угол падения, определяемый как c

arcsin

Косинус

критического угла равен c

cos c

cos arcsin

. В этом

случае,

уравнения для расчета

R0,

R1, R2

должны

быть

модифицированы.

Так как

R 1 при c , то R0

R sin d sin d . Следовательно,

1
R0 c R d	,
c	,
c
1
R1 c2 2 R d		,
c		,
c
1
R2 c3 3 R 2d		,
c		,
c
где cos .

В силу вышеизложенного, при разложении френелевского коэффициента отражения в ряд по сферическим гармоникам, можно определить первый и

второй члены этого разложения R1			и R2 как:
	R		1	0
	1	r d r d ,
2
			0	1	(103)
	R		1	0

	2	r 2d r 2d ,

3			0	1

где коэффициенты 1 и 1 включаются из соображений нормировки.

				2		3
	Используя			уравнения			(99),			(102),			определения							(1.40),	и условие
Fdn r Fd r z , уравнение (98) можно переписать в виде:
						Id r,s r s z z s d								R1	d r			R2	Fd r z		(104)
						Id r,s r s z z s d									d r				Fd r z		(104)
				2 0									4				2			.
				2 0									4				2
	Уравнения (86) и (104) упрощают граничные условия (97):
						d r		Fd r		z		R	d r			R	Fd r z				(105)
												1				2
						4					4
						4	2				4		2							.
	Подставляя (87) в (105) и упрощая, получим смешанные неоднородные
граничные условия:									d r
						d r Atop h			d r		Atop Q r						,			z 0	(106)
						d r Atop h				z	Atop Q r						,			z 0	(106)
		1 R2		2						z										,
	A	1 R2	; h	2	;
где	top	1 R1		3 tr		Q r 3hg s F0				r 1 rs e t z .

Для нижней границы среды z d граничное условие запишется в виде:

	Id r,s z s d				r s z Id r,s s z d ,										z d
2 0				2 0											.
2 0				2 0
Поскольку
		Id r,s r s z s z d						R1	d r			R2	Fd r z
		Id r,s r s z s z d							d r				Fd r z		,
	2 0				4				2						,
	2 0				4				2
			Id r,s z s d			1	d r			1	Fd r z
			Id r,s z s d				d r				Fd r z			,
		2 0			4				2					,
		2 0			4				2

то, аналогично предыдущему, получим:

(107)

(108)

(109)

						d r
					d r Abottomh			AbottomQ r ,	z d	(110)
					d r Abottomh			AbottomQ r ,	z d
		1 R2		2			z		,
	A		; h	2	;


где	bottom	1 R1		3 tr	Q r 3hg s F0		r 1 rs e t z .

Показатели преломления на границе раздела (воздух-среда) не согласованны, поверхность образца освещается диффузным источником света.

Если показатели преломления на границе среда-воздух не согласованы и поверхность среды освещается диффузным источником света, то граничные условия на верхней поверхности среды будут определяться выражением (при условии z 0):

	Id r,s s z d r z s Id r,s z s d Idi t s z s z d (111)
2 0	2 0	2 0	,

где Idi r,s представляет интенсивность изотропного излучения,			падающего на
слой среды	и t s z 1 r s z	френелевский коэффициент	пропускания.

Поскольку интенсивность

диффузного света

Idi r,s не

зависит

от угла, то

уравнение (111) упрощается:

(112)

4 d r

2 Fd r z

4 d r

Fd r z Idi r,s 1 R1

Выражение (112) можно упростить как

d r

d r Atoph

AtopQ r 4 Idi r,s ,

z 0

(113)

Дополнительный член 4 Idi r,s , в правой части уравнения (113), возникает только в том случае, когда верхняя поверхность среды, дополнительно к коллимированному освещению, освещается и диффузным светом. В том случае, когда на поверхность среды падает только диффузный свет Q r 0.

Если диффузный свет падает на нижнюю поверхность среды, то, аналогично предыдущему, мы получим граничные условия на нижней границе. Они отличаются только изменением направления внутренней нормали к границе слоя. Граничное условие при z d , где d толщина слоя, имеет вид:

		Id r,s z s d			r z s Id r,s z s d			Idi	t s z z s d (114)
	2 0			2 0			2 0		,
	2 0			2 0			2 0
где Idi	r,s	-	интенсивность диффузного света,			падающего снизу на нижнюю

поверхность среды. В общем случае величина Idi r,s , которая характеризует

интенсивность диффузного света, падающего на верхнюю поверхность среды, может отличаться от величины Idi r,s , характеризующей интенсивность света,

падающего на нижнюю поверхность среды. Уравнение (114) упрощается до следующего вида:

	d r
d r Abottomh		AbottomQ r 4 Idi	r,s ,	z d	(115)

	z			.
Показатели преломления	на границе раздела		двух	рассеивающих	сред

согласованны, поверхность верхнего слоя освещается коллимированным источником света.

Если соединить два слоя с одинаковыми показателями преломления, то для получения граничных условий на границе раздела этих слоев, мы должны потребовать выполнения условия непрерывности излучения на границе раздела для первых двух членов разложения интенсивности излучения в ряд Тейлора.

d1 r d2 r	,	z z0	,	(116)
Fd1 r z Fd 2	r z,
		z z0 ,		(117)

здесь z0 это z-координата границы раздела двух рассеивающих сред, а индексы

(1) и (2) обозначают, соответственно, верхнюю и нижнюю среду. Уравнение (117) можно упростить, используя выражение (87):

1		1 d1 z0		g 1	1	1
Fd	z0 z			s		1 rs F0 exp t	z0
Fd	z0 z	1	z	1		1 rs F0 exp t	z0
	3	tr		tr			.
	3	tr		tr

1 d2 0

g 2 2

0 z

1 rs F0 exp t

1 z

g 1

1 rs F0

exp t

3 tr

1 d2 0

g 2

1 rs F0

exp t

z0 .

3 tr

(118)

Таким образом, уравнения (116) и (118) являются искомыми граничными условиями.

Показатели преломления на границе раздела двух рассеивающих сред не согласованны, поверхность верхнего слоя освещается коллимированным источником света.

Для света, идущего через границу снизу-вверх имеем:

	I 1 r,s z s
			d
	2		d
2 0	n1
	I 1 r,s	s z r		1	s z d		I 2 r,s	z s t	2	s z d .
	n2	s z r			s z d		n2	z s t		s z d .
2 0	1					2 0	2			(119)

Индексы (1) и (2) обозначают, соответственно, верхнюю и нижнюю среду, а t s z - френелевский коэффициент пропускания.

Физический смысл этого уравнения в том, что свет, падающий на границу раздела снизу (из нижней среды) может быть разложен на свет, который отражается обратно в нижнюю среду, и на свет, который проходит в верхнюю среду.

Аналогично, для света, идущего через границу сверху вниз имеем:

	I 2 r,s	z s d
	n2	z s d
2 0	2
	I 2 r,s	s z r	2	s z d		I 1 r,s	z s t	1	s z d .
	n2	s z r		s z d		n2	z s t		s z d .
2 0	2				2 0	1			(120)

Преобразуем полученные уравнения (119), (120):

I 1

r,s

z s d

I 1 r,s

s z r

s z d

2 0

I 2 r,s

z s d

I 2

r,s

z s r

z s d .

2 0

(121)

I 2 r,s

s z d

I 2

r,s

z s r

s z d

2 0

I 1 r,s

s z d

I 1 r,s

s z r

s z d .

2 0

(122)

Согласно предыдущим выкладкам, мы можем записать, что:

												I 1			r,s z s d															1					1 r											1				F 1			r z
												I 1			r,s z s d																				1 r															F 1			r z				,
								2 0																						4													2														,
								2 0																						4													2
						I 1 r,s s z r 1 s z d																													R112				1 r												R212			F 1		r z
						I 1 r,s s z r 1 s z d																																	1 r															F 1		r z
				2 0																																4																2							,
				2 0																																4																2
												I 2			r,s z s d														1				2							r							1			F 2 r z
												I 2			r,s z s d																		2							r										F 2 r z
								2 0																						4																	2								F 2 ,r z
					I 2				r,s z s r 2 z s d																												R121				2 r											R221
					I 2				r,s z s r 2 z s d																																2 r																			,
				2 0																																4																2								,
				2 0																																4																2
												I 2 r,s s z d															1					2 r													1				F 2				r z
												I 2 r,s s z d																				2 r																	F 2				r z				,
								2 0																		4																	2														,
								2 0																		4																	2
													I 1 r,s s z d															1				1 r												1				F 1 r z
													I 1 r,s s z d																			1 r																F 1 r z								.
									2 0																	4																	2													.
									2 0																	4																	2
Таким образом, система уравнений (119), (120) (или (121), (122))
записывается следующим образом:
1		1 r						F 1 r z

	n2			4					2
	n2			4					2
1														F				r z																																											F			r z
1				12 1	r							12				1						1									2						r					F	2						r z				21				2		r	21			2
1				R1	r						R2											1															r					F							r z						R1				r	R2
	n2			4												2							n2											4															2							4							2
1																						2
1		2 r							F 2			r z

	n2			4								2
	n2			4								2
2														F					z																																										F			r z
1				21 2	r							21				2		r				1									1					r						F	1						r z				12				1		r	12			1
1			R1		r						R2							r				1														r						F							r z						R1				r	R2
	n2			4												2								n2										4															2							4							2
2																						1
	1 R112 1						r 2 1 R212 F 1 r z																														1 R121 2															r 2 1 R221 F 2										r z
													n2																																										n2										(123)
													n2																																										n2
														1																																							2
	1 R112 1 r 2 1 R212 F 1 r z																																				1 R121 2															r 2 1 R221 F 2										r z

												n2																																											n2										(124)
												n2																																											n2
														1																																							2
Вычтем из уравнения (124) уравнение (123):
												1		r					12						12										F						1	r z														12				12
														r			1 R1 1 R1																		F							r z										2 2R2						2 2R2
																																							n2
																																							n2
										F					r z																										1
													2									21																			21
																			2 2R2							2 2R2																	.
																					n2																						.
																					n2
																						2
																				F 1		r z												F 2						r z
																						n2																n2									.																		(125)
																						n2																n2
																						1																			2
																						1																			2

Сложим уравнения (123) и (124):

r z

r 1 R1

1 R1

2 2 R2 2 2 R2

r F

2 1 R1

z 2 2 R2

2 2 R2

2 1 R112 1 r 4R212 F 1

r z

2 1 R121 2

r 4R221 F 2 r z

1 R112 1 r 2R212 F 1

r z

1 R121 2 r 2R221 F 2 r z

(126)

Уравнения (125)

и (126)

являются искомыми граничными условиями. С

учетом уравнения (87) уравнения (125)-(126) можно переписать в виде (127) (z0 это z-координата границы раздела двух сред):

								1				1	z		0		g 1			1													1
												d			0				s			1 rs F0						exp t						z0
									1			z							1			1 rs F0						exp t						z0
						3 tr						z						tr
								1			d2			0			g 2 2					1 rs F0						exp					1		z0	.
																			s												t
									2			z							2												t											(127)
						3 tr						z						tr																								(127)
1				12			1		z		h		1			12 1 z0									1		1		1			12	1 r			F		1
			1 R											R									3 h			g				R							exp		z
n2			1 R											R				z					3 h			g				R							exp		z
n2				1						0						2		z											s		2				s	0		t		0
1
		1		1 R21				2		0 h 2 R21									2		0			3 h 2 g				2		2 R21				1 r F exp					1	z	0
		1																			0																		1
	n2																		z
	n2				1											2			z											s			2			s	0		t
		2																																								(128)

Безразмерная форма диффузионного уравнения

Диффузионное уравнение (83) зависит от размерных величин (коэффициентов поглощения и рассеяния среды). В то же время, оно может быть достаточно легко преобразовано в безразмерную форму, и определяться безразмерными оптическими параметрами, а именно: альбедо единичного акта рассеяния а, оптической толщиной среды и фактором анизотропии g. Подобная замена позволяет значительно упростить расчеты с использованием диффузионного уравнения, а при решении обратных задач наложить естественные ограничения на искомые оптические параметры среды. Значения альбедо и оптической толщины образца определяются соотношениями (129) и (130).

a		s
	a s			(129)

a		s d	,	(130)

где d - физическая толщина среды.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 106 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
28.09.20198.4 Mб58Копия 3_1isp.doc
#
05.09.2019105.98 Кб10Коренной перелом1.doc
#
26.09.20194.81 Mб2Коробейников_НКМ.doc
#
20.03.201687.04 Кб10Корпоративные финансы_задание.doc
#
08.08.2019128.03 Кб3Кочелаев_сессия.docx
#
21.03.20162.19 Mб126Кочубей СПЕКТРОСКОПИЯ РАССЕИВАЮЩИХ СРЕД.pdf
#
16.08.201913.67 Mб27КР_ИСТПП.doc
#
14.04.2015112.04 Кб4кризис.docx
#
21.03.20166.52 Mб7Крылов - Басни - 1947.pdf
#
14.04.201582.84 Кб18КСЕ семинар 2.docx
#
17.09.2019259.58 Кб2Кто знает причину болезней.doc