3.6. Решение систем уравнений

Для решения систем нелинейных уравнений можно использовать команду СервисПоиск решения…, преобразовав задачу в оптимизационную (см. п. 3.7).

Систему линейных уравнений можно решить, запрограммировав вручную метод Гаусса, но проще сделать это матричным методом, опираясь на функции работы с массивами. В матричном виде линейная система любого порядка и её решение записываются следующим образом:

АХ=В; Х=А^-1В

Здесь А– матрица коэффициентов при неизвестных,В– столбец свободных членов системы,Х– неизвестные решения,А^-1– обратная матрица коэффициентов системы.

В библиотеке Мастера функций Excel в категории Математические есть функции МУМНОЖ и МОБР, которые выполняют соответственно умножение и обращение матриц, необходимое для решения данной задачи. Так как результатом работы этих функций являются массивы чисел, их следует вводить как функции массива (см. п. п. 1.7, 1.8).

Рассмотрим систему четырёх линейных уравнений с четырьмя неизвестными. Введём исходные данные задачи по представленному ниже плану.

Ячейки	Информация	Значение
А1	Заголовок расчёта	Решение системы линейных уравнений
А4	Общий заголовок строк	№ уравнения
В4:В7	Номера строк	1; 2; 3; 4
С2	Общий заголовок столбцов	№ переменной
С3:F3	Номера переменных	1; 2; 3; 4
C4:F7	Коэффициенты при неизвестных системы	Любые числа
G2	Заголовок	Свободные члены
G4:G7	Свободные члены уравнений	Любые числа
H2	Заголовок	Решение системы
H4:H7	Формула массива	{=МУМНОЖ(МОБР(C4:F7);G4:G7)}
I2	Заголовок	Проверка
I4:I7	Формула массива	{=МУМНОЖ(C4:F7;H4:H7)}

Для удобства работы перед вводом коэффициентов системы и расчётных формул можно провести форматирование таблицы (см. п. 1.13):

• объединить ячейки, в которых размещены заголовки;

• разместить эти заголовки по центру объединённых ячеек;

• изменить направление текста в заголовке А4:А7 на вертикальное;

• разрешить перенос по словам в заголовках G2:G3,H2:H3,I2:I3;

• разделить тонкими линиями столбцы полученной таблицы;

• обвести жирной рамкой всю таблицу в целом и блоки заголовков (A2:B7 иA2:I3).

Перед вводом формулы массива следует выделить ячейки, в которых надо разместить результаты. При решении системы это блок Н4:Н7, при проверке правильности найденного решения – I4:I7. Затем формула набирается обычным способом с помощью Мастера функций, но ввод заканчивается нажатием клавиши <Enter> или кнопки <ОК> при дополнительно утопленных клавишах <Ctrl+Shift>. При вводе формула массива автоматически заключается в фигурные скобки.

3.7. Решение задач оптимизации

Команда СервисПоиск решения… предоставляет пользователю следующие возможности:

• поиск безусловных экстремумов функции одного или нескольких аргументов;

• поиск экстремумов функции одного или нескольких аргументов при наличии ограничений на найденное решение;

• поиск аргументов, при которых функция примет нужное значение;

• выбор метода решения поставленной задачи;

• ввод ограничения на точность и время выполнения задачи.

Эти возможности реализуются с помощью параметров, собранных в основном окне Поиск решения и дополнительном Параметры поиска решения. Дополнительное окно вызывается кнопкой <Параметры> из основного. Кнопка <Справка> вызывает окно с разъяснением смысла каждого параметра и возможностей, которые предоставляются при его заказе.

Методы оптимизации можно так же применять для решения систем нелинейных уравнений. Для этого из уравнений системы

f₁(x₁,x₂…,x_n)=0;f₂(x₁,x₂…,x_n)=0; …;f_n(x₁,x₂…,x_n)=0;

составляют вспомогательную целевую функцию

S=f₁²+ f₂²+…+ f_n²

S– неотрицательная функция, её минимальное значение равно нулю и достигается только тогда, когда все слагаемые одновременно равны нулю. А это и есть решения исходной задачи.

Рассмотрим в качестве примера систему двух нелинейных уравнений

x²+y²=3; 2x+3y=1

Введём исходные данные задачи по представленному ниже плану.

Для удобства дальнейшей работы можно провести форматирование созданной таблицы, аналогичное п. 3.5.

Вызовем команду СервисПоиск решения… В окне Поиск решения установим следующие параметры:

• "Установить целевую ячейку:" А9

• "Равной:" минимальному значению

• "Изменяя ячейки:" А4:В4

• Нажмём кнопку <Параметры> и в дополнительном окне Параметры поиска решения проверим, что флажок Линейная модель не установлен. Закроем дополнительное окно кнопкой <ОК>

• Запустим команду кнопкой <Выполнить> основного окна.

Когда команда закончит работу, на экране автоматически появляется окно Результаты поиска решения. Пояснения к параметрам, представленным в нём, вызываются кнопкой <Справка>. Закажем, к примеру, параметры "Сохранить найденное решение" и "Тип отчёта: результаты". В этом случае начальные значения переменных в ячейках А4:В4 заменятся на найденные и в таблицу будет вставлен новый лист "Отчёт по результатам 1". Просмотрите отчёт. Проверьте, какое значение приняла вспомогательная целевая функция в А9 при найденных решениях. Если она существенно отличается от нуля, то решение найдено неверно.

Ячейки	Информация	Значение
А1	Заголовок расчёта	Решение системы нелинейных уравнений
А2	Заголовок	Переменные
А3:В3	Название переменных	А3: Х, В3: Y
А4:В4	Начальные значения переменных	А3: 1, В3: -1
А5	Заголовок	Функции системы
А6:В6	Названия функций системы	А6: f1, B6: f2
А7:В7	Формулы для расчёта функций	=A4^2+B4^2-3 =2*A4+3*B4-1
А8	Заголовок	Вспомогательная целевая функция
А9	Формула целевой функции	=A7^2+B7^2

Успешность поиска решения во многом зависит от выбора начального приближения переменных. В случае двух уравнений с двумя переменными можно не делать аналитического исследования функций системы, а составить таблицу вспомогательной целевой функции (см. п. 3.2) и выбрать по ней те комбинации аргументов, при которых функция принимает наименьшие значения.

Задание.

Составьте таблицу значений целевой функции S=(x²+y²-3)²+(2x+3y-1)² в диапазоне аргументов-3<x<3, -3<y<3. Выберите 4 – 5 точек с наименьшими значениями функции, проведите поиск решения из каждой из них. В результатедолжно быть получено только два разных решения: х₁=-1,268; у₁=1,179 и х₂=1, 576; у₂=-0,717. Графически уравнения системы представляются окружностью и прямой линией. Система такого типа не может иметь больше двух точек пересечения.