3.4. Оценка определённого интеграла

Интеграл – это площадь под графиком подынтегральной функции. Один из самых простых способов оценки этой площади – метод трапеций. По этому методу промежуток интегрирования [a;b] разбивают на несколько (n) равных частей длинойh=(b-a)/n. Подынтегральную функциюf(x) заменяют на хорды, проведённые через её значения на концах каждого из полученных отрезков. После этого реальную площадь считают приближённо равной сумме площадей прямоугольных трапеций, основания которых – ординаты функции в точках дробления промежутка интегрирования (x_i,i=0, 1, 2, …,n) , а боковыми сторонами являются хорды, заменяющие функцию, и соответствующие отрезки на оси абсцисс. Математически площадь каждой трапеции выражается формулой

S_i= h(f(x_i-1)+f(x_i))/2

С учётом вышесказанного в Excel оценку интеграла можно выполнить следующим образом:

1. Составить таблицу значений подынтегральной функции (см. п. 3.1.).

2. Дополнить эту таблицу столбцом (строкой) с вычислением площадей элементарных трапеций.

3. Просуммировать эти площади.

Если помимо итогового интеграла интерес представляет и то, как он изменяется с увеличением промежутка интегрирования, в таблицу можно вставить ещё один столбец (строку), в которой будут расположены суммы площадей трапеций от начала до текущего аргумента.

Пример.

Составить таблицу значений интеграла как функции верхнего предела в диапазоне0<v<5. Отразить эти данные на графике. Подобрать функцию тренда.

Составим план размещения информации:

Ячейки	Информация	Значение
А1	Заголовок расчёта	Определённый интеграл как функция верхнего предела
А2:D2	Название констант расчёта	А2: a, В2: b, С2: n, D2: h
А3:D3	Значения констант расчёта	А3: 0, В3: 5, С3: 20; D3: =(B3-A3)/2
А4:С4	Заголовки таблицы	А4: v, В4: f(v), C4: Si, D4: S(v)
A5:A25	Промежуточные значения верхнего предела	А5: =А2, А6: =А5+$D$3, A7:A25 заполняются протяжкой ячейки A6
B5:B25	Формулы подынтегральной функции	В5: =(2,2^(A5+1)-3*A5)/(EXP(1,5*A5)+A5) В6:В25 заполняются протяжкой ячейки В5
С5:С25	Формулы площадей элементарных трапеций	С5: 0, С6: =$D$3*(B5+B6)/2 C7:C25 заполняются протяжкой ячейки C6
D5:D25	Значение интеграла от 0 до v	D5: 0, D6: =D5+C6 D7:D25 заполняются протяжкой ячейки D6

Задание.

Постройте диаграмму типа Точечная для зависимости интеграла от верхнего предела. Подберите тренд для него. Выведите уравнение тренда на диаграмму. Отформатируйте таблицу и диаграмму.

3.5. Нахождение корня уравнения

Помимо способа, изложенного в п. 3.1, для решения этой задачи можно воспользоваться командой СервисПодбор параметра… Перед обращением к этой команде следует ввести в таблицу алгоритм расчёта функции (он может быть представлен одной или несколькими формулами) и ввести в ячейку её аргумента ориентировочное значение, с которого следует начать поиск корня.

Команда СервисПодбор параметра… вызывает на экран окно Подбор параметра, в котором следует указать:

• адрес ячейки, в которой находится конечное значение функции;

• то число, к которому её надо приравнять;

• ячейку аргумента.

В процессе выполнения команды начальное значение аргумента заменится на найденное, при котором функция будет равна нужному значению (не обязательно нулю). Точность подбора аргумента и максимально допустимое количество итераций при решении задачи задаются в диалоговом окне команды СервисПараметры… на вкладке Вычисления.

Задание.

Найдите двумя способами с точностью 0,001 корень уравнения e^-0,5x-2x+4=3.