2. Компьютерный практикум по нечетким системам

   1. Аппроксимация функции одной переменной с использованием нечеткой системы

Цель выполнения лабораторной работы:

1. Освоить методику построения нечетких систем.

2. Используя нечеткую систему научиться аппроксимировать функцию одной переменной.

Задание:

Необходимо построить с помощью интерфейсной программы пакета нечеткой логики программной среды MATLAB нечеткую систему, необходимую для аппроксимации табличной функции ,. Варианты задания представлены в табл. 2.1.

Варианты заданий

Значения , , одинаковы для всех вариантов

Таблица 2.1

i	Значение
	№1	№2	№3	№4	№5	№6	№7	№8	№9	№10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	1.50 1.26 0.99 0.97 0.91 0.71 0.43 0.54 0.19 0.01	2.09 2.05 2.19 2.18 2.17 2.27 2.58 2.73 2.82 3.04	2.02 1.98 1.67 1.65 1.57 1.42 1.37 1.07 0.85 0.48	1.99 2.03 2.20 2.39 2.19 2.61 2.35 2.60 2.55 2.49	2.23 2.29 2.27 2.62 2.72 2.82 3.13 3.49 3.82 3.95	2.07 2.17 2.21 2.31 2.10 2.09 2.12 1.63 1.78 1.52	2.18 2.43 2.40 2.43 2.65 2.75 2.67 2.66 2.63 2.75	-0.10 -0.21 0.01 0.05 -0.13 -0.23 -0.21 -0.43 -0.57 -0.44	-0.16 0.01 0.10 0.16 0.05 0.35 0.19 0.50 0.74 1.03	2.09 2.31 2.72 2.77 2.78 2.97 3.00 3.51 3.43 3.58

Пример выполнения:

Зависимость между переменными y и х заданы с помощью табл. 2.2. Требуется построить нечеткую систему, с помощью которой возможно аппроксимировать предложенную функцию, заданную таблично.

Таблица 2.2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1	2.05 1.94 1.92 1.87 1.77 1.74 1.71 1.60 1.56 1.40

Для аппроксимации функции с одной переменной используем среду MATLAB. Командой fuzzy из режима командной строки запускается интерфейсная программа пакета Fuzzy Logic (Нечеткая логика) – редактор нечеткой системы вывода FIS (Fuzzy Inference System).

В меню File (Файл) выбираем опцию New Sugeno FIS (новая система типа Sugeno), появится окно редактора (рис. 4.1). В появившемся окне существуют поля входной, выходной функции и редактора правил. Необходимо переименовать блоки input1 в x, output1 в y.

Рис. 4.1. Окно редактора функции

В блоке параметров нечеткой системы типа Sugeno задаются:

• меню And method позволяет установить реализации логической операции И: min – минимум и prod – алгебраической произведение (см. раздел 4.2.1);

• меню Or method позволяет установить реализации логической операции ИЛИ: max – максимум и probor – алгебраическая сумма (см. раздел 4.2.1);

• меню Defuzzification позволяет выбрать один из методов дефаззификации: wtaver – метод взвешенного среднего, при котором илиwtsum – метод взвешенной суммы, при котором , где– количество правил базы знаний.

При щелчке по блоку x (input1) откроем окно редактора функций принадлежности (рис. 4.2). Необходимо добавить функции принадлежности, для этого в меню Edit (Редактирование) выбираем опцию Add MFs (рис. 4.3). В появившемся диалоговом окне задается тип и количество функций принадлежности (9, далее добавляем еще 1 для того, чтобы получить 10 функций принадлежности). В качестве функций принадлежности выберем гауссовы функции (gaussmf). Затем в окне редактора функций принадлежности в поле Range (Диапазон) устанавливаем диапазон изменения значений х от 0 до 1, т.е. диапазон соответствующий табл. 4.2. Далее необходимо подвинуть графики заданных функций принадлежности, чтобы ординаты их максимумов совпадали с заданными значениями аргумента х. Для этого в поле Params (Параметры) задаем размах кривой и положение ее центра.

Рис. 4.2. Окно редактора функции принадлежности для х

Рис. 4.3. Окно добавления функций принадлежности

Далее необходимо задать функции принадлежности для у, щелкнув по блоку у и перейдя к редактору функций принадлежности (рис. 4.4). Добавим функции принадлежности (меню Edit Add MFs). В качестве функции принадлежности выбираются 10 констант, по числу различных значений y_i в табл. 4.2. Таким образом сконструированная система является нечеткой системой типа Сугено 0-го порядка. В окне редактора функций принадлежности зададим значения функции у в поле Params.

В окне FIS-редактора (рис. 5.1), щелкнув по среднему блоку, откроем окно редактора правил (рис. 4.5).

При вводе правила необходимо обозначить соответствие между каждой функцией принадлежности аргумента х и числовым значением у.

Рис. 4.4. Окно редактора функций принадлежности для у

Существует возможность просмотра правил (рис. 4.6). Для этого выберем позицию меню View – rules. В левой части окна в графической форме представлены функции принадлежности аргумента х, в правой – переменной выхода у с пояснением механизма принятия решения. Вертикальная черта, пересекающая графики в левой части окна, позволяет изменять значения переменной входа, при этом соответственно изменяются значения у в правой части окна. Изменение аргумента путем перемещения вертикальной линии наглядно демонстрирует, как система определяет значения выхода.

Рис. 4.5. Окно редактора правил

Рис. 4.6. Окно просмотра правил

В результате была построена нечеткая система, которая решила задачу аппроксимации заданной табличной функции. В табл. 4.3 приведено сравнение выходов нечеткой системы с исходными значениями y (четвертый столбец в таблице – выходы нечеткой системы).

Как видно из табл. 4.3 максимальное отклонение выходов нечеткой системы от исходных данных составляет 0,02.

Выбрав в меню View – Surface, перейдем к окну просмотра поверхности выхода, в данном случае – к просмотру кривой у(х) (рис. 4.7).

Таблица 4.3

I	xi
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1	2.05 1.94 1.92 1.87 1.77 1.74 1.71 1.60 1.56 1.40	2.03 1.95 1.92 1.86 1.78 1.74 1.72 1.61 1.54 1.42	0.02 0.01 0 0.01 0.01 0 0.01 0.01 0.02 0.02

Рис. 4.7. График функции

В заключении следует отметить, что с помощью вышеуказанных программ-редакторов на любом этапе проектирования нечеткой модели в нее можно внести необходимые коррективы, вплоть до задания какой-либо особенной пользовательской функции принадлежности.

Выводы (пример):

В результате выполнения лабораторной работы я познакомился с теоретическими сведениями о нечетких множествах, их свойствах, базах знаний, нечетком логическом выводе. В ходе выполнения лабораторной работы мною была построена нечеткая система с помощью пакета нечеткой логики Fuzzy Logic среды MATLAB, которая аппроксимирует заданную табличную функцию. Было произведено сравнение выходов нечеткой системы с заданными значениями y, в результате чего было установлено, что максимальное отклонение составило 0.02 (например, при х=0.1), что составляет 1.025%.

Контрольные вопросы

1. Дайте определение нечеткого множества.

2. Опишите этапы нечеткого логического вывода

3. Какой алгоритм вывода использовался при выполнении лабораторной работы? Опишите данный алгоритм.

4. В чем отличие использованного алгоритма от остальных существующих?

5. Какие типы функций принадлежности были использованы при выполнении лабораторной работы и почему?