Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

ДискретнаяМатематика / ДисциплинаМатематическая Логика +

.doc
Скачиваний:
12
Добавлен:
20.03.2016
Размер:
540.67 Кб
Скачать

Дисциплина: Математическая логика и теория автоматов.

Задания на типовой расчёт по теме: Исчисление высказываний.

1. Докажите с помощью таблиц истинности и с помощью алгебраических преобразований тождественную истинность следующих формул алгебры высказываний: 3 балла

  1. ~

  2. ~

  3. ~

  4. ~

  5. ~

  6. ~

  7. ~

  8. ~(X~Y)

  9. (X~Y) ~(X→Y)

  10. X→

  11. ~

  12. ~

  13. (X→Y)~

  14. ~

  15. ~(

  16. (X~Y) (Y~Z)→(X~Z)

2. По заданной таблице истинности логической функции F от трех аргументов X, Y и Z постройте алгебраическое выражение этой функции F(X, Y, Z) и соответствующую ей диаграмму Эйлера-Венна.

Варианты логических функций представлены в таблице 1.

Таблица 1

X

Y

Z

F1

F2

F3

F4

F5

F6

F7

F8

F9

F10

0

0

0

0

0

0

1

1

0

1

0

1

1

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

1

0

1

1

1

1

0

0

1

1

0

1

0

1

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

1

0

0

0

0

1

0

0

Продолжение табл. 1

X

Y

Z

F11

F12

F13

F14

F15

F16

F17

F18

F19

F20

0

0

0

0

0

0

1

1

0

1

0

1

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0

1

1

1

0

0

1

1

0

0

1

1

0

0

1

1

0

0

1

1

1

1

0

0

1

1

0

1

0

1

0

0

1

0

0

0

0

1

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

Продолжение табл. 1

X

Y

Z

F21

F22

F23

F24

F25

F26

F27

F28

F29

F30

0

0

0

0

0

0

1

1

0

1

0

1

0

1

1

0

0

0

0

0

1

0

1

0

1

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

1

0

0

1

1

0

1

0

1

0

1

0

1

1

1

1

0

0

1

1

0

1

0

1

0

0

1

0

1

0

1

0

0

0

1

0

0

0

1

0

1

0

0

1

1

0

0

1

1

0

0

1

0

0

0

1

0

1

0

0

0

0

0

1

3. Определите порядок выполнения операций в заданной формуле и постройте синтаксическое дерево: 1 балл

  1. Z

  2. XYZ→Y

  3. XYZ

  4. XYZ

  5. X→YZ

  6. X→YZ

  7. X~Y→Z

  8. X~YZ

  9. X→YZ

  10. XY→YZ

  11. XY→YZ

  12. XY→XZ

  13. XY→XZ

  14. XYYZ

  15. XYYZ

  16. XYYZ

  17. XYXZ

  18. XY→XZ

  19. XY→XZ

  20. X→YZX

  21. XZ ~XY

  22. XZ ~XY

  23. XZ ~XY

  24. XZ ~XY

  25. XY→

  26. X Y→Z

  27. X→Y Z

  28. X→YZ

4. Формализуйте и решите логическую задачу. 5 баллов

1. Три школьника, Алексей, Владимир и Сергей, вызваны к директору. В беседе с директором Алексей сказал, что Владимир врет, Владимир сказал, что Сергей врет, а Сергей утверждал, что они оба, Алексей и Владимир, врут. Что может заключить директор?

2. Встретились три подруги: Белова, Краснова и Чернова. На одной из них было черное платье, на другой – красное, на третьей – белое. Девочка в белом платье говорит Черновой: «Нам надо поменяться платьями, а то цвет наших платьев не соответствует фамилиям». Кто, в какое платье был одет?

3. В кафе встретились три друга: скульптор Белов, скрипач Чернов и художник Рыжов. «Замечательно, что у одного из нас белые, у другого черные, а у третьего рыжие волосы, но ни у кого цвет волос не соответствует фамилии», заметил черноволосый. «Ты прав», - сказал Белов. Какой цвет волос у художника?

4. Коля, Боря, Вова и Юра заняли первые четыре места в соревновании. На вопрос, какие места они заняли, трое из них ответили:

    1. Коля ни первое, ни четвертое;

    2. Боря второе;

    3. Вова не был последним.

Какое место занял каждый мальчик?

  1. Ваня, Петя, Саша и Коля носят фамилии, начинающиеся на буквы В, П, С и К. Известно, что : 1) Ваня и С. – отличники; 2) Петя и В. – троечники; 3) В. ростом выше П.; 4) Коля ростом ниже П.; 5) Саша и Петя имеют одинаковый рост. На какую букву начинается фамилия каждого мальчика?

  1. Один из островов населен «рыцарями», которые всегда горят правду, и «лжецами», изрекающими только ложь. Известно, что каждый житель острова либо рыцарь, либо лжец.

Трое жителей острова А, В и С разговаривают между собой. Проходивший мимо незнакомец, не являющийся жителем острова, спросил у А: «Вы рыцарь или лжец?» Тот ответил неразборчиво. Тогда незнакомец спросил у В: «Что сказал А?» «А сказал, что он лжец», - ответил В. «Не верьте В! Он лжет!» – вмешался в разговор С.

Кто из островитян В и С рыцарь и кто лжец?

  1. Один из островов населен «рыцарями», которые всегда горят правду, и «лжецами», изрекающими только ложь. Известно, что каждый житель острова либо рыцарь, либо лжец.

Трое жителей острова А, В и С разговаривают между собой. Проходивший мимо незнакомец, не являющийся жителем острова, спросил у А: «Сколько среди вас рыцарей?». А ответил неразборчиво. Поэтому незнакомец обратился к В: «Что сказал А?». В ответил: «А сказал, что среди нас один рыцарь». И тогда С закричал: «Не верьте В! Он лжец!».

Кто из двух жителей В и С рыцарь и кто лжец?

8. Жители некоторого острова являются либо «рыцарями», которые всегда говорят правду, либо «лжецами», которые всегда лгут.

Два обитателя этого острова А и В беседуют между собой. А говорит: «По крайней мере один из нас лжец». Кто из двух жителей рыцарь, а кто лжец?

9. Жители некоторого острова являются либо «рыцарями», которые всегда говорят правду, либо «лжецами», которые всегда лгут.

Два обитателя этого острова А и В беседуют между собой. Пусть А говорит: «Или я лжец, или В рыцарь». Кто из них есть кто?

10. Жители одного острова являются либо «рыцарями», которые всегда говорят правду, либо «лжецами», которые всегда лгут.

Беседуют три островитянина А,В и С, о каждом из которых известно, что он либо рыцарь, либо лжец. А говорит: «Мы все лжецы». В утверждает:

«Один из нас рыцарь».

Кто из трех жителей есть кто?

11. На некотором острове живут «рыцари», которые всегда горят правду, «лжецы», которые всегда лгут, и нормальные люди, которые иногда лгут, иногда говорят правду.

Трое жителей острова А,В и С, среди которых есть рыцарь, лжец и нормальный человек, высказывают следующие утверждения:

  1. А говорит: «Я нормальный человек».

  2. В говорит: «Это правда».

  3. С говорит: «Я не нормальный человек».

Кто же такие А,В и С?

12. На некотором острове живут «рыцари», которые всегда горят правду, «лжецы», которые всегда лгут, и нормальные люди, которые иногда лгут, иногда говорят правду.

Два жителя острова А и В, о которых известно, что каждый из них либо «рыцарь», либо «лжец», либо нормальный человек, высказывают следующие утверждения:

  1. А говорит: «В – рыцарь».

  2. В говорит: «А – не рыцарь».

Докажите, что по крайней мере один из них горит правду, но это не рыцарь.

13. На некотором острове обитают «рыцари», которые всегда говорят правду, и «лжецы», которые всегда лгут. Кроме того в местном лесу водятся оборотни, превращающиеся в волков и пожирающие людей. Оборотень может быть либо «рыцарем», либо «лжецом».

Вы берете интервью у трех обитателей острова А, В и С. Известно, что каждый из них либо «рыцарь», либо «лжец» и среди них есть ровно один оборотень.

А и В говорят одно и то же: «Я оборотень», а С утверждает: «Не более чем один из нас «рыцарь».

Проведите полную классификацию А,В и С.

14. На некотором острове обитают «рыцари», которые всегда говорят правду, и «лжецы», которые всегда лгут. Кроме того в местном лесу водятся оборотни, превращающиеся в волков и пожирающие людей. Оборотень может быть либо «рыцарем», либо «лжецом».

Вы встречаете в лесу острова трех местных жителей А,В и С, каждый из которых либо «рыцарь», либо «лжец». Кроме того известно, что по крайней мере один из них оборотень и ни один не является одновременно рыцарем и оборотнем. А говорит: «По крайней мере один из нас рыцарь».В говорит: «По крайней мере один из нас лжец», С молчит.

С кем из этих жителей острова вам не следует гулять в лесу?

15. На некотором острове обитают «рыцари», которые всегда говорят правду, и «лжецы», которые всегда лгут. Кроме того в местном лесу водятся оборотни, превращающиеся в волков и пожирающие людей. Оборотень может быть либо «рыцарем», либо «лжецом».

Вы встречаете в лесу острова трех местных жителей А,В и С, каждый из которых либо «рыцарь», либо «лжец». Известно, что ровно один из них оборотень и что он «рыцарь». А говорит: «По крайней мере один из нас лжец». В говорит: «С – рыцарь», С молчит.

Кто оборотень?

16. На некотором острове обитают «рыцари», которые всегда говорят правду, и «лжецы», которые всегда лгут. Кроме того в местном лесу водятся оборотни, превращающиеся в волков и пожирающие людей. Оборотень может быть либо «рыцарем», либо «лжецом».

Вы встретили на острове трех местных жителей А,В и С. Известно, что один из них оборотень и что он «рыцарь», а два остальных жителя – «лжецы». Заявление сделал только В: «С – оборотень».

Кто оборотень?

17. На некотором острове обитают «рыцари», которые всегда говорят правду, и «лжецы», которые всегда лгут. Кроме того в местном лесу водятся оборотни, превращающиеся в волков и пожирающие людей. Оборотень может быть либо «рыцарем», либо «лжецом».

Вы встречаете на острове двух жителей А и В и вам известно, что лишь один из них оборотень. А говорит: «Оборотень – рыцарь», а В утверждает: «Оборотень – лжец».

Кого из них вы бы выбрали себе в попутчики?

18. Когда Алиса входила в Лес забывчивости, то она забывала не все, а лишь кое-что. Особенно легко ей удавалось забыть дни недели.

В Лесу забывчивости часто бывали Лев и Единорог. Лев лгал по понедельникам, вторникам и средам, а в остальные дни недели говорил только правду. Единорог лгал по четвергам, пятницам и субботам, и говорил правду в остальные дни недели.

Однажды Алиса повстречала под деревом Льва и Единорога. Лев сказал: «Вчера был один из дней, когда я лгу», а Единорог добавил : «Вчера был один из дней, когда я тоже лгу».

Умная девочка Алиса сумела определить какой день недели был вчера. Какой это был день?

19. Когда Алиса входила в Лес забывчивости, то она забывала не все, а лишь кое-что. Особенно легко ей удавалось забыть дни недели.

В Лесу забывчивости часто бывали Лев и Единорог. Лев лгал по понедельникам, вторникам и средам, а в остальные дни недели говорил только правду.

Однажды Алиса повстречала в Лесу забывчивости Льва, который сказал: «Я лгал вчера, и после завтрашнего дня я буду лгать два дня подряд».

В какой день недели Алиса встретила Льва?

20. Когда Алиса входила в Лес забывчивости, то она забывала не все, а лишь кое-что. Особенно легко ей удавалось забыть дни недели.

В Лесу забывчивости часто бывали Лев и Единорог. Лев лгал по понедельникам, вторникам и средам, а в остальные дни недели говорил только правду.

В какие дни недели Лев может сказать: «Я лгал вчера и я буду лгать завтра».

21. У героини комедии Шекспира «Венецианский купец» Порции было три шкатулки из золота, серебра и свинца. В одной из шкатулок хранился портрет Порции. На крышках каждой шкатулки были сделаны надписи:

- на золотой: «Портрет в этой шкатулке»;

- на серебряной: «Портрет не в этой шкатулке»;

- на свинцовой: «Портрет не в золотой шкатулке».

Порция объяснила, что среди этих высказываний истинно только одно.

В какой шкатулке портрет Порции?

22. У героини комедии Шекспира «Венецианский купец» Порции было три шкатулки из золота, серебра и свинца. В одной из шкатулок хранился портрет Порции. На крышках каждой шкатулки были сделаны надписи:

- на золотой: «Портрет не в серебряной шкатулке»;

- на серебряной: «Портрет не в этой шкатулке»;

- на свинцовой: «Портрет в этой шкатулке».

Порция пояснила, что из трех высказываний по крайней мере одно истинно и по крайней мере одно ложно.

В какой шкатулке ее портрет?

23. У Фрэнка Стоктона есть сказка «Принцесса или тигр ?», в которой узник должен отгадать, в какой из двух комнат находится принцесса, а в какой – тигр. Если он отгадает где принцесса, то станет свободным, иначе – его растерзает тигр.