ДискретнаяМатематика / ДисциплинаМатематическая Логика +
.docДисциплина: Математическая логика и теория автоматов.
Задания на типовой расчёт по теме: Исчисление высказываний.
№ 1. Докажите с помощью таблиц истинности и с помощью алгебраических преобразований тождественную истинность следующих формул алгебры высказываний: 3 балла
-
~
-
~
-
-
~
-
~
-
~
-
~
-
~
-
~(X~Y)
-
(X~Y) ~(X→Y)
-
X→
-
-
~
-
~
-
(X→Y)~
-
~
-
~(
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
(X~Y) (Y~Z)→(X~Z)
№ 2. По заданной таблице истинности логической функции F от трех аргументов X, Y и Z постройте алгебраическое выражение этой функции F(X, Y, Z) и соответствующую ей диаграмму Эйлера-Венна.
Варианты логических функций представлены в таблице 1.
Таблица 1
X |
Y |
Z |
F1 |
F2 |
F3 |
F4 |
F5 |
F6 |
F7 |
F8 |
F9 |
F10 |
0 0 0 0 |
0 0 1 1 |
0 1 0 1 |
1 0 0 0 |
1 0 0 0 |
1 0 0 0 |
1 0 0 0 |
0 1 0 0 |
0 1 0 0 |
0 1 0 0 |
0 1 0 0 |
0 0 1 0 |
0 0 1 0 |
1 1 1 1 |
0 0 1 1 |
0 1 0 1 |
1 0 0 0 |
0 1 0 0 |
0 0 1 0 |
0 0 0 1 |
1 0 0 0 |
0 1 0 0 |
0 0 1 0 |
0 0 0 1 |
1 0 0 0 |
0 1 0 0 |
Продолжение табл. 1
X |
Y |
Z |
F11 |
F12 |
F13 |
F14 |
F15 |
F16 |
F17 |
F18 |
F19 |
F20 |
0 0 0 0 |
0 0 1 1 |
0 1 0 1 |
0 0 1 0 |
0 0 1 0 |
0 0 0 1 |
0 0 0 1 |
0 0 0 1 |
0 0 0 1 |
1 1 0 0 |
1 1 0 0 |
1 1 0 0 |
1 1 0 0 |
1 1 1 1 |
0 0 1 1 |
0 1 0 1 |
0 0 1 0 |
0 0 0 1 |
1 0 0 0 |
0 1 0 0 |
0 0 1 0 |
0 0 0 1 |
1 0 0 0 |
0 1 0 0 |
0 0 1 0 |
0 0 0 1 |
Продолжение табл. 1
X |
Y |
Z |
F21 |
F22 |
F23 |
F24 |
F25 |
F26 |
F27 |
F28 |
F29 |
F30 |
0 0 0 0 |
0 0 1 1 |
0 1 0 1 |
0 1 1 0 |
0 0 0 0 |
1 0 1 0 |
1 0 0 1 |
0 0 0 0 |
1 0 0 0 |
0 1 0 0 |
1 0 0 1 |
1 0 1 0 |
1 0 1 0 |
1 1 1 1 |
0 0 1 1 |
0 1 0 1 |
0 0 1 0 |
1 0 1 0 |
0 0 1 0 |
0 0 1 0 |
1 0 0 1 |
1 0 0 1 |
1 0 0 1 |
0 0 0 1 |
0 1 0 0 |
0 0 0 1 |
№ 3. Определите порядок выполнения операций в заданной формуле и постройте синтаксическое дерево: 1 балл
-
Z
-
XYZ→Y
-
XYZ
-
XYZ
-
X→YZ
-
X→YZ
-
X~Y→Z
-
X~YZ
-
X→YZ
-
XY→YZ
-
XY→YZ
-
XY→XZ
-
XY→XZ
-
XYYZ
-
XYYZ
-
XYYZ
-
XYXZ
-
XY→XZ
-
XY→XZ
-
X→YZX
-
XZ ~XY
-
XZ ~XY
-
XZ ~XY
-
XZ ~XY
-
XY→
-
X Y→Z
-
-
-
X→Y Z
-
X→YZ
№ 4. Формализуйте и решите логическую задачу. 5 баллов
1. Три школьника, Алексей, Владимир и Сергей, вызваны к директору. В беседе с директором Алексей сказал, что Владимир врет, Владимир сказал, что Сергей врет, а Сергей утверждал, что они оба, Алексей и Владимир, врут. Что может заключить директор?
2. Встретились три подруги: Белова, Краснова и Чернова. На одной из них было черное платье, на другой – красное, на третьей – белое. Девочка в белом платье говорит Черновой: «Нам надо поменяться платьями, а то цвет наших платьев не соответствует фамилиям». Кто, в какое платье был одет?
3. В кафе встретились три друга: скульптор Белов, скрипач Чернов и художник Рыжов. «Замечательно, что у одного из нас белые, у другого черные, а у третьего рыжие волосы, но ни у кого цвет волос не соответствует фамилии», заметил черноволосый. «Ты прав», - сказал Белов. Какой цвет волос у художника?
4. Коля, Боря, Вова и Юра заняли первые четыре места в соревновании. На вопрос, какие места они заняли, трое из них ответили:
-
Коля ни первое, ни четвертое;
-
Боря второе;
-
Вова не был последним.
Какое место занял каждый мальчик?
-
Ваня, Петя, Саша и Коля носят фамилии, начинающиеся на буквы В, П, С и К. Известно, что : 1) Ваня и С. – отличники; 2) Петя и В. – троечники; 3) В. ростом выше П.; 4) Коля ростом ниже П.; 5) Саша и Петя имеют одинаковый рост. На какую букву начинается фамилия каждого мальчика?
-
Один из островов населен «рыцарями», которые всегда горят правду, и «лжецами», изрекающими только ложь. Известно, что каждый житель острова либо рыцарь, либо лжец.
Трое жителей острова А, В и С разговаривают между собой. Проходивший мимо незнакомец, не являющийся жителем острова, спросил у А: «Вы рыцарь или лжец?» Тот ответил неразборчиво. Тогда незнакомец спросил у В: «Что сказал А?» «А сказал, что он лжец», - ответил В. «Не верьте В! Он лжет!» – вмешался в разговор С.
Кто из островитян В и С рыцарь и кто лжец?
-
Один из островов населен «рыцарями», которые всегда горят правду, и «лжецами», изрекающими только ложь. Известно, что каждый житель острова либо рыцарь, либо лжец.
Трое жителей острова А, В и С разговаривают между собой. Проходивший мимо незнакомец, не являющийся жителем острова, спросил у А: «Сколько среди вас рыцарей?». А ответил неразборчиво. Поэтому незнакомец обратился к В: «Что сказал А?». В ответил: «А сказал, что среди нас один рыцарь». И тогда С закричал: «Не верьте В! Он лжец!».
Кто из двух жителей В и С рыцарь и кто лжец?
8. Жители некоторого острова являются либо «рыцарями», которые всегда говорят правду, либо «лжецами», которые всегда лгут.
Два обитателя этого острова А и В беседуют между собой. А говорит: «По крайней мере один из нас лжец». Кто из двух жителей рыцарь, а кто лжец?
9. Жители некоторого острова являются либо «рыцарями», которые всегда говорят правду, либо «лжецами», которые всегда лгут.
Два обитателя этого острова А и В беседуют между собой. Пусть А говорит: «Или я лжец, или В рыцарь». Кто из них есть кто?
10. Жители одного острова являются либо «рыцарями», которые всегда говорят правду, либо «лжецами», которые всегда лгут.
Беседуют три островитянина А,В и С, о каждом из которых известно, что он либо рыцарь, либо лжец. А говорит: «Мы все лжецы». В утверждает:
«Один из нас рыцарь».
Кто из трех жителей есть кто?
11. На некотором острове живут «рыцари», которые всегда горят правду, «лжецы», которые всегда лгут, и нормальные люди, которые иногда лгут, иногда говорят правду.
Трое жителей острова А,В и С, среди которых есть рыцарь, лжец и нормальный человек, высказывают следующие утверждения:
-
А говорит: «Я нормальный человек».
-
В говорит: «Это правда».
-
С говорит: «Я не нормальный человек».
Кто же такие А,В и С?
12. На некотором острове живут «рыцари», которые всегда горят правду, «лжецы», которые всегда лгут, и нормальные люди, которые иногда лгут, иногда говорят правду.
Два жителя острова А и В, о которых известно, что каждый из них либо «рыцарь», либо «лжец», либо нормальный человек, высказывают следующие утверждения:
-
А говорит: «В – рыцарь».
-
В говорит: «А – не рыцарь».
Докажите, что по крайней мере один из них горит правду, но это не рыцарь.
13. На некотором острове обитают «рыцари», которые всегда говорят правду, и «лжецы», которые всегда лгут. Кроме того в местном лесу водятся оборотни, превращающиеся в волков и пожирающие людей. Оборотень может быть либо «рыцарем», либо «лжецом».
Вы берете интервью у трех обитателей острова А, В и С. Известно, что каждый из них либо «рыцарь», либо «лжец» и среди них есть ровно один оборотень.
А и В говорят одно и то же: «Я оборотень», а С утверждает: «Не более чем один из нас «рыцарь».
Проведите полную классификацию А,В и С.
14. На некотором острове обитают «рыцари», которые всегда говорят правду, и «лжецы», которые всегда лгут. Кроме того в местном лесу водятся оборотни, превращающиеся в волков и пожирающие людей. Оборотень может быть либо «рыцарем», либо «лжецом».
Вы встречаете в лесу острова трех местных жителей А,В и С, каждый из которых либо «рыцарь», либо «лжец». Кроме того известно, что по крайней мере один из них оборотень и ни один не является одновременно рыцарем и оборотнем. А говорит: «По крайней мере один из нас рыцарь».В говорит: «По крайней мере один из нас лжец», С молчит.
С кем из этих жителей острова вам не следует гулять в лесу?
15. На некотором острове обитают «рыцари», которые всегда говорят правду, и «лжецы», которые всегда лгут. Кроме того в местном лесу водятся оборотни, превращающиеся в волков и пожирающие людей. Оборотень может быть либо «рыцарем», либо «лжецом».
Вы встречаете в лесу острова трех местных жителей А,В и С, каждый из которых либо «рыцарь», либо «лжец». Известно, что ровно один из них оборотень и что он «рыцарь». А говорит: «По крайней мере один из нас лжец». В говорит: «С – рыцарь», С молчит.
Кто оборотень?
16. На некотором острове обитают «рыцари», которые всегда говорят правду, и «лжецы», которые всегда лгут. Кроме того в местном лесу водятся оборотни, превращающиеся в волков и пожирающие людей. Оборотень может быть либо «рыцарем», либо «лжецом».
Вы встретили на острове трех местных жителей А,В и С. Известно, что один из них оборотень и что он «рыцарь», а два остальных жителя – «лжецы». Заявление сделал только В: «С – оборотень».
Кто оборотень?
17. На некотором острове обитают «рыцари», которые всегда говорят правду, и «лжецы», которые всегда лгут. Кроме того в местном лесу водятся оборотни, превращающиеся в волков и пожирающие людей. Оборотень может быть либо «рыцарем», либо «лжецом».
Вы встречаете на острове двух жителей А и В и вам известно, что лишь один из них оборотень. А говорит: «Оборотень – рыцарь», а В утверждает: «Оборотень – лжец».
Кого из них вы бы выбрали себе в попутчики?
18. Когда Алиса входила в Лес забывчивости, то она забывала не все, а лишь кое-что. Особенно легко ей удавалось забыть дни недели.
В Лесу забывчивости часто бывали Лев и Единорог. Лев лгал по понедельникам, вторникам и средам, а в остальные дни недели говорил только правду. Единорог лгал по четвергам, пятницам и субботам, и говорил правду в остальные дни недели.
Однажды Алиса повстречала под деревом Льва и Единорога. Лев сказал: «Вчера был один из дней, когда я лгу», а Единорог добавил : «Вчера был один из дней, когда я тоже лгу».
Умная девочка Алиса сумела определить какой день недели был вчера. Какой это был день?
19. Когда Алиса входила в Лес забывчивости, то она забывала не все, а лишь кое-что. Особенно легко ей удавалось забыть дни недели.
В Лесу забывчивости часто бывали Лев и Единорог. Лев лгал по понедельникам, вторникам и средам, а в остальные дни недели говорил только правду.
Однажды Алиса повстречала в Лесу забывчивости Льва, который сказал: «Я лгал вчера, и после завтрашнего дня я буду лгать два дня подряд».
В какой день недели Алиса встретила Льва?
20. Когда Алиса входила в Лес забывчивости, то она забывала не все, а лишь кое-что. Особенно легко ей удавалось забыть дни недели.
В Лесу забывчивости часто бывали Лев и Единорог. Лев лгал по понедельникам, вторникам и средам, а в остальные дни недели говорил только правду.
В какие дни недели Лев может сказать: «Я лгал вчера и я буду лгать завтра».
21. У героини комедии Шекспира «Венецианский купец» Порции было три шкатулки из золота, серебра и свинца. В одной из шкатулок хранился портрет Порции. На крышках каждой шкатулки были сделаны надписи:
- на золотой: «Портрет в этой шкатулке»;
- на серебряной: «Портрет не в этой шкатулке»;
- на свинцовой: «Портрет не в золотой шкатулке».
Порция объяснила, что среди этих высказываний истинно только одно.
В какой шкатулке портрет Порции?
22. У героини комедии Шекспира «Венецианский купец» Порции было три шкатулки из золота, серебра и свинца. В одной из шкатулок хранился портрет Порции. На крышках каждой шкатулки были сделаны надписи:
- на золотой: «Портрет не в серебряной шкатулке»;
- на серебряной: «Портрет не в этой шкатулке»;
- на свинцовой: «Портрет в этой шкатулке».
Порция пояснила, что из трех высказываний по крайней мере одно истинно и по крайней мере одно ложно.
В какой шкатулке ее портрет?
23. У Фрэнка Стоктона есть сказка «Принцесса или тигр ?», в которой узник должен отгадать, в какой из двух комнат находится принцесса, а в какой – тигр. Если он отгадает где принцесса, то станет свободным, иначе – его растерзает тигр.