7

Министерство образования Российской Федерации

Чувашский государственный университет им. И.Н.Ульянова

Энергетический институт

Факультет информатики и вычислительной техники

Кафедра вычислительной техники

УТВЕРЖДАЮ СОГЛАСОВАНО

Директор ЭИ Декан ФИВТ

проф._______________Щедрин В.А. проф._______________Артемьев И.Т.

"___"___________________2001 г. "___"__________________2001 г.

Рабочая программа

Дисциплина ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА

Направление 654600 – Информатика и вычислительная техника

Специальность 220400 – Программное обеспечение ВТ и АС

Бюджет времени (час.)

Семестр	Всего	Аудиторные занятия				Самост. работа, включая курсовое проектир-ие	Итоговый контроль
		Всего аудит.	лекции	практ	лабор		экз	зач	кур. проект (работа)
2	120	85	51	34		35	экз
3	20					20			работа
Всего	140	85	51	34		55

Рабочая программа составлена в соответствии с государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования направления подготовки дипломированного специалиста 654600 – Информатика и вычислительная техника, специальности 220400 – Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем, утвержденным 27 марта 2000 г. (Регистрационный номер 224 тех/дс).

Составитель: доцент кафедры ВТ В.Г.Стеценко

Рабочая программа обсуждена и одобрена на заседании кафедры ВТ

"___"________________2001 г., протокол N _____

Зав. кафедрой ВТ, доцент Б.М.Калмыков

Рабочая программа одобрена методическим советом ФИВТ

Председатель методсовета ФИВТ, доцент Л.А.Павлов

Чебоксары, 2001 г.

1. Цели и задачи дисциплины, ее место в учебном процессе

1.1. Целью настоящего курса является изучение основных разделов «невероятностной» дискретной математики: теории множеств, алгебры теории графов. Преподавание дискретной математики должно углубить математическую подготовку студентов, формируя систему знаний, необходимых в качестве общего фундамента профилирующих дисциплин специальности.

1.2. В результате изучения курса студенты должны знать:

• язык дискретной математики;

• основы теории множеств;

• отношения и функции;

• элементы общей алгебры; алгебраические структуры: группы, кольца, поля;

• основы теории графов.

После изучения данной дисциплины студенты должны:

• уметь использовать математический аппарат дискретной математики для решения типовых задач;

• иметь опыт решения задач с использованием теоретических положений теории множеств, теории графов и алгебры;

• уметь представлять алгебраические структуры в виде объектов, поддающихся машинной обработке.

2. Содержание дисциплины

ВВедение

Введение в дискретную математику. История развития. Рекомендуемая литература и ее характеристика.

1. Множества и их спецификации (8 часов).

Агрегатное и атрибутивное представления о множестве. Задание множеств. Подмножество множества, множество всех подмножеств. Синглетон, пустое множество. Конечные и бесконечные множества. Мощность множества. Теорема Кантора о мощности множества всех подмножеств.

Универсальное множество. Парадокс Кантора.

Счетность множества. Теорема Кантора о множестве всех действительных чисел отрезка [0,1). Парадокс Рассела.

Простейшие операции над множествами: дополнение, объединение, пересечение, разность, дизъюнктивная сумма. Свойства этих операций. Алгебра подмножеств.

Диаграммы Венна, целесообразность использования диаграмм Венна, ограничения. Прямое (декартово) произведение множеств, его свойства. Степень множества. Представление множеств в ЭВМ. Генерация подмножеств универcума.

2. Отношения и функции (8 часов).

n - местное отношение. Тождественные, универсальные, пустые отношения. Гетерогенные и гомогенные отношения. Область определения, область значений отношения. Обратное отношение, дополнение отношения. Сечение и проекция. Композиция отношений, свойства композиции.

Графическое представление отношений. Степень отношения. Ядро отношения.

Свойства отношений. Рефлексивные, симметричные, транзитивные, антисимметричные отношения. Объяснение свойств отношений на графах. Представление свойств предикатами. Представление отношений в ЭВМ.

Отношение эквивалентности, классы эквивалентности. Покрытие множества, разбиение множества.

Отношение порядка. Квазипорядок, строгий порядок, порядок, линейный порядок. Объяснение на графах. Минимум и максимум множества, верхняя и нижняя грань множества.

Составные отношения. Степень отношения. Транзитивное, симметричное и рефлексивное замыкания. Объяснение на графах.

Функция. Инъективная, сюръективная, биективная функции. Объяснение свойств функций на графах. Обратные функции. Некоторые специальные классы функций: подстановки, последовательности, функционалы и отображения, сохраняющие эквивалентность.

3. Алгебраические структуры (системы). Алгебра (4 часа).

Алгебра: носитель, сигнатура и тип алгебры.

Алгебраическая структура и подструктура.

Гомоморфизм, изоморфизм.

Операции на множестве как функции. Операнды. Унарные и бинарные операции. Инфиксная, постфиксная и префиксная формы обозначения. Законы композиции: замкнутость, ассоциативность, коммутативность, существование единицы и обратного элемента. Теоремы о единственности единицы и обратного элемента.

4. Решетки и булевы алгебры (4 часа).

Решетка. Представление решетки диаграммой Хасса.

Примеры решеток.

Булева алгебра. Булевы функции и их свойства. Полные системы булевых функций. Алгебра Жегалкина.

Замкнутые системы булевых функций. Полнота.

Двойственные функции. Принцип двойственности. Самодвойственные функции. Монотонные функции.

Теорема Поста о полноте системы булевых функций.

5. Группа (10 часов).

Подгруппа, моноид, группа. Конечные и бесконечные, аддитивные и мультипликативные, абелевы группы. Отношение изоморфизма между группами.

Циклическая группа. Группа с единицей со сложением по mod a. Операция умножения двух групп.

Подгруппа группы. Разложение группы по подгруппе на смежные классы. Теорема о единственности разложения группы по подгруппе. Следствие теоремы. Теорема о порядке конечной группы.

Группы подстановок с операцией композиции (умножения). Разложение подстановок на циклы. Транспозиция. Представление подстановки произведением транспозиций.

Знак подстановки. Теорема о знаке подстановки. Подстановки четные и нечетные. Порядок знакопеременной группы подстановок.

Теорема Кэли. Сопряженные элементы, множество классов сопряженных элементов.

Групповые корректирующие коды. Геометрическая интерпретация блоковых кодов. Расстояние Хэмминга. Образующая и проверочные матрицы групповых кодов. Корректирующие свойства кодов. Декодирование групповых кодов. Групповой код Хэмминга. Факторгруппа.

6. Кольцо. Поле. (10 часов).

Кольцо, кольцо с единицей. Примеры колец. Теоремы о единице и обратных элементах кольца. Делители нуля.

Структура кольца и его свойства. Идеал кольца. Разложение кольца по идеалу на классы вычетов. Кольцо классов вычетов.

Тела или кольца с делением. Поля. Конечные поля. Примеры тел и полей. Характеристика поля. Примитивный элемент поля Галуа.

Векторное пространство над полем. Базис этого пространства. Матричная алгебра. Кольцо целых чисел. НОД, алгоритм деления. Теорема об остатках. Алгоритм Евклида, два следствия. Группа обратимых элементов кольца. Функция Эйлера. Теорема Лагранжа. Малая теорема Ферма.

Кольцо многочленов. НОД двух многочленов, деление многочленов. Разложение многочленов. Китайские теоремы об остатках. Их использование в альтернативной арифметике.

Циклические коды. Операции "+" и "." в кольце многочленов. Неприводимые и примитивные над конечным полем многочлены.

Определение циклического кода, образующий и проверочный многочлены. Матричная запись кода. Циклический код Хэмминга, исправляющий одиночные ошибки.

7. Элементы теории графов (7 часов).

Граф. Вершины ребра графа. Ориентированный, неориентированный графы. Отношение инцидентности вершин и ребер графа. Полный граф, ноль-граф, обратный граф, соотнесенный неориентированный граф. Дополнение графа. Степень вершины. Две теоремы о степенях вершины графа. Способы представления графов: матрицы смежности, весов, инцидентности и достижимости, список дуг, структура смежности.

Путь в графе. Маршрут, цепь, цикл. Неттеров граф. Эйлеров граф. Путь простой, эйлеров, гамильтонов. Связный граф. Односторонне связный и сильно связный графы.

Части графов. Суграф, подграф, частичный граф. Компоненты связности графа, бикомпоненты. Эквивалентность (изоморфизм) графов.

Отношения на множествах и графы этих отношений. Транзитивное, рефлексивное и симметричное замыкания.

Определение и свойства дерева. Корневое дерево. Остовное дерево. Лес.

Операции над графами. объединение и пересечение графов, прямое произведение графов, композиция графов, дизъюнктивная сумма графов.

Графовые модели. Граф-схемы алгоритмов.

Заключение

Использование дискретной математики для решения прикладных задач.