12. Выносливость при совместном изгибе и кручении

При расчете валов обычно встречаются случаи одновременного действия изгиба и кручения. Для вычисления запаса усталостной прочности нужно вычислить отдельно запас по нормальным напряже­ниям и по касательным по выведенным ранее формулам. Общий запас усталостной прочности вала определяется по эмпирической Формуле Гафа – Полларда

,

которая приводится к виду,

.

Расчет толстостенных цилиндров

1.Определение напряжений.

Теория расчета толстостенных цилиндров связана с именами фран­цузского ученого Ламэ и русского ученого Гадолина. Гадолиным впер­вые была создана теория расчета стволов артиллеристских орудий.

Рассмотрим толстостенный цилиндр, имеющий очень большую длину и постоянное поперечное сечение (рис. 173).

Введем обозначения:

- наружный радиус цилиндра,

- внутреннее давление,

- наружное давление,

- наружный радиус цилиндра.

Предположим, что толстостенный цилиндр не имеет днищ. Выделим из цилиндра двумя радиальными и двумя меридиональными сечениями элемент (рис.174). Его размер вдоль оси примем равным 1. Вследствие симметрии задачи по выделенным граням элемента не будет действовать касательных напряжений. Следовательно, выделенные грани будут главными площадками. На выделенных гранях эле­мента будут действовать только нормальные напряжения. Введем обозначения:

- радиальные напряжения,

- окружные напряжения.

и - главные напряжения.

Так как не равны нулю, то напряженное состояние - плоское. При переходе от сечения радиуса , к сечению радиуса радиальное напряжение получает приращение , т.к. точки располагаются на разном расстоянии от оси цилиндра.

Рассмотрим условие равновесия выделенного элемента. Спроецируем все силы, действующие по граням выделенного элемента на направление .

(1)

Дифференциальное уравнение (1) содержит две неизвестные величины:

и .Задача определения напряжений в толстостенном цилиндре - задача статически неопределимая. Поэтому обратимся к рассмотрению деформаций элемента. Предположим, что внутреннее давление больше чем внешнее. Обозначим смещение нижней грани элемента через , тогда смещение верхней грани (рис. 175).

Радиальная деформация элемента:

(2)

О

дновременно происходит и увеличение длин дуг, будет иметь место и окружная деформация:

(3)

Из обобщенного закона Гука следует:

- осевое давление. Если днищ нет, то равно нулю.

-

осевая деформация. Если днищ нет, то , при наличии днищ ее величина постоянна. Это возможно, если .

Примем (4)

Сложив почленно правые и левые части равенств (1),(4) получим:

Разделим переменные:

(5)

(6)

П

роизвольные постоянные определим из граничных условий:

При

При

(7)

(8)

Подставляя и из (7), (8) в (5), (6) получим:

(9)

(10)

Формулы (9), (10) определяют окружные и радиальные напряжения в толстостенном цилиндре.

Подставив значения и в формулы обобщенного закона Гука, получим деформации:

Перемещение

По полученным зависимостям построим эпюры напряжений (рис. 176)

Как видно из построенных эпюр, опасными точками толстостенных цилиндров являются точки, расположенные на внутренней поверхности. Определим величину расчетного напряжения, используя теорию наибольших касательных напряжений.

Условие прочности:

Обозначим

Как видно из полученного выражения вопрос повышения прочности толстостенных цилиндров за счет увеличения радиуса можно решать только при условии :

УСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСИЯ ДЕФОРМИРУЕМЫХ СИСТЕМ