11)Дифференциальные уравнения изогнутой оси балки. Определение деформаций балки методом непосредственного интегрирования.

Угол поворота сечения (θ) - это угол между плоскостями поперечных сечений до и после деформации

Угол θ также можно задать угол между недеформированной осью и касательной проведенной к изогнутой оси в рассматриваемой точке.

Θ=dy/dx.

Прогиб (у)- перемещение центра тяжести сечения в направлении перпендикулярном недеформированной оси бруса.

Изогнутая ось балки искривляется в силовой плоскости, тоесть сечения получают поступательные перемещение и поворачивается.

Перемещение вверх-у>0

Перемещение вниз-y<0

Угол поворота по часовой - <0. Угол поворота против часовой- >0.

Кривизна изогнутой оси балки;

1/ρ=M(x)/EJ_z

Точное уравнение изогнутой оси бруса;

1/ρ=(d²y/dx²)/[1+(dy/dx)²]^3/2

Основное дифференциальное уравнение изогнутой оси балки;d²y/dx²=M(x)/EJ_Z

Закон изменения прогиба по длине балки;

y(x)=∫dx∫(M(x)/EJ_z)dx+cx+D

Производные постоянные С и D находятся из граничных условий. Уравнение изогнутой оси бруса, или уравнение упругой линии балки, или уравнение описывающую кривизну прямой, то есть геометрического места точек, центров тяжести деформированной оси бруса –у=у(х).

Коротко говоря, при определении перемещений методом непосредственного интегрирования необходимо для каждого участка балки составлять выражения изгибающих моментов и производить интегрирования основного диф. уравнения изогнутой оси балки. Но при двух или большем числе участков балки применение этого метода становится затруднительным. Поэтому лучше применять для определения прогиба и угла поворота такие методы; Мор, Верещагин, Кастильян, метод начальных параметров.

12)Распространение касательных напряжений в балках прямоугольного и двутаврового профиля.

Формула для определения касательного напряжения в сечении с координатой Х (формула Журавского) - Q(Х)·S^*_Z/в(у)·J_Z

Определим напряжения в точках на прямоугольном поперечном сечении (точки-1,2,3)

Точка 1; у=0, =М(х)·у/J_Z

σ=0

Точка 2;у=h/2→ σ=(M(x)·(h/2)/J_Z)≤σ_max

S^*_Z=y^*_Ц.Т.·А^*=у_Ц.Т.·0=0

Q(Х)·S^*_Z/в(у)·J_Z

τ=0

Точка С;

S^*_Z=у^*_Ц.Т.·А^*={у_Ц.Т.=1/2· ·((h/2)-у)+у,А^*=в(у)((h/2)- -у))}=((h/4)-((у/2)+у)в(у)· ·((h/2)-у)=в(у)1/2((h/2)+у) ·((h/2)-у=(1/2)·в(у)[(h/2)²- -у²]=S^*_Z

в(у)=в

J_Z=вh³/12

(Q(Х)·S^*_Z/в(у)·J_Z=Q(x)· ·1/2·в·[(h/2)²-у²])/в·(вh³/ /12)=6Q(x)/(вh³/12)[(h/2)² –y²]- закон предраспределения касательного напряжения по высоте прямоугольного сечения

Для точки 1 касательное напряжение можно определять по этой формуле.

Точка 3; у=h/2;τ=0

σ=(M(x)·(h/2)/J_Z)

Точка 1;

У=0, τ=(6Q(x)/h³в)·h²/4= =3/2·(Q/hв)=3Q/2A

τ_max- в точках принадлежащих нейтральной линии

τ=0-в точках максимально удаленных от нейтральной линии

Двутавровый профиль.

Точка 1; у=h/2, S^*_Z=у^*_Ц.Т.·А^*, А^*=0→τ=0

Точка 2; у=(h/2)-t

S^*_Z=y^*_Ц.Т.·A^*={A^*=вt, у^*_Ц.Т.=(h/2)-(t/2)}=1tв/2· ·(h-t)

Точка 2^'; в(у)=в

(Q(Х)·S^*_Z/в(у)·J_Z

Точка 2'';в(у)=d

Точка 3; у=0, S^*_Z=S_{Z max}

13) Экспериментальное изучение свойств материалов. Диаграмма растяжения. Коэффициенты запаса прочности. Определение допускаемых напряжений.

Экспериментальные изучения свойств материалов

В результате эксперимента определяются параметры характеризующие физ. (υ,Е) и мех.(σ_упр,σ_пропор,σ_текуч, σ_времен) свойства материалов. Физ. свойства не зависят от напряженного состояния образца (растяжение, изгиб, кручение), а механические зависят. Всех эти величины мы определяем по диаграмме. Для начала чертим диаграмму в координатах «сила- удлинение». Но для изучения свойств материала значительно удобнее иметь диаграммы, построенные в координатах «напряжение – относительная деформация» (рис- ниже).

Пока растягивающие напряжения не достигают некоторой величины σ_ПЦ., диаграмма представляет собой прямую линию, т.е. относительные удлинения Е прямопропорциональны удлинением σ; то есть, до этого предела справедлив закон Гука. Напряжение σ_ПЦ. называется пределом пропорциональности.

σ_ПЦ.=F_ПЦ./А₀

А₀-первоначальная (до деформации) площадь поперечного сечения образца. F_{ПЦ .}– максимальная сила, до которой F пропорционально ΔF.

После достижения условия пропорциональности следует участок- криволинейный, на котором присутствует предел упругости.

σ_УПР.=F_Упр./А₀

F_УПР.- максимальная сила до которой сохраняются упругие силы образца.

Предел упругости- напряжение до которого сохраняются упругие свойства материала, тесть остаточная деформация при разгрузке не обнаруживается.

Начиная с момента, когда напряжения достигнуть некоторой величины σ_Т., деформации растут без увеличения напряжений, тоесть без значительного увеличения силы, и на диаграмме получается участок, параллельный оси абсцисс. Это явление наз. текучестью материала, а напряжение σ_Т.- пределом текучести. Участок диаграммы, параллельный оси абсцисс, наз. площадкой текучести.

σ_Т.=F_T./A₀

F_T.- минимальная сила при которой начинает течь материал.

При дальнейшем растяжении образца напряжения, выдерживаемое образцом, наз. пределом прочности, или временным сопротивлением, и обозначается σ_Т.. Это напряжение соответствует точке 3 диаграммы. Последующее растяжение образца сопровождается уменьшением растягивающей силы. То есть, предел прочности представляет собой отношение наибольшей силы, которую выдерживает образец, к первоначальной площади его поперечного сечения.

σ_В.=F_MAX./A₀

F_MAX.-максимальная сила, которую выдерживает материал обраца до разрушения.

После достижения максимальной силы, при дальнейшем растяжении образца деформация происходит, главным образом, на небольшой длине образца. Это ведет к обрзованию местного сужения в виде шейки и к падению силы. Обозначим через F_K. Величину растягивающей силы в момент разрыва, получим

σ_К.=F_K./A₀

Допускаемое напряжение может быть определено по формуле;

σ _МАХ.≤[σ ]

[σ]=σ₀/ n

где σ₀-опасное напряжение (σ_Т. – для деталей из пластичного материала, σ_ВР.- для деталей из хрупкого материала)

n- коэффициент запаса прочности, показывающий, во сколько раз допускаемое напряжение меньше опасного.

Выбор величины коэффициента запаса прочности зависит от состояния материала (хруп- кое или пластичное), характера приложения нагрузки (статическая, динамическая, повторно- переменная) и некоторых общих факторов. К этим факторам относятся;

1)неоднородность материала, а, следовательно, различие его механических характеристик в малых образцах и деталях.

2) неточность задания величин внешних нагрузок.

3)приближенность расчетных схем и некоторая приближенность расчетных схем.

Для пластичных материалов в случае статической нагрузки опасным напряжением, следует считать предел текучести, т. е. σ⁰=σ_Т., а n=n_Т.. Тогда

[σ ]=σ⁰/n=σ_Т./n_T.

Для хрупких материалов при статической нагрузке опасным напряжением является временное сопротивление и тогда

[σ ]=σ⁰/n=σ_В../n_В.

Принимают, что запас прочности n_В.=2,5 до 3,0

Основная задача сопротивления материалов – обеспечить надежные размеры деталей, подверженных тому или иному силовому, температурному или другому воздействию. Такие размеры можно определить из расчета на прочность и жесткость. Отметим прежде всего, что опасность наступления разрушения характеризуется не столько величинами внутренних усилий и моментов в сечении, сколько величинами нормальных наибольших и касательных напряжений, которые действуют в опасных точках сечения. поэтому величины наибольших напряжений из условия надежности работы детали необходимо ограничивать некоторыми допустимыми напряжениями. Допускаемые напряжения можно обозначать [σ₊] – при растяжении, [σ_-]-при сжатии

Так допускаемые напряжения можно находить из формул запаса прочности.